Номер 4.278, страница 184 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Занимательные задачи. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.278, страница 184.

Условие.

4.278. В первенстве по футболу принимают участие 8 команд. Каждая команда играет с каждой по одному разу. За выигрыш команда получает 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Какая наибольшая и какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом, если известно, что первое место заняла одна команда и последнее место заняла одна команда?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

В турнире участвуют 8 команд. Каждая команда играет с каждой другой командой ровно один раз. Это означает, что каждая команда проводит 7 игр. Общее количество игр в турнире равно числу сочетаний из 8 по 2:

$C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ игр.

За победу дается 2 очка, за ничью — 1, за поражение — 0. В каждой игре сумма очков, получаемых двумя командами, всегда равна 2 (либо 2+0, либо 1+1). Таким образом, общая сумма очков всех команд в турнире является постоянной величиной:

$28 \text{ игр} \times 2 \text{ очка/игру} = 56$ очков.

Какая наибольшая разница очков может быть между первым и последним местом

Чтобы разница очков между первым ($P_1$) и последним ($P_8$) местом была максимальной, команда, занявшая первое место, должна набрать как можно больше очков, а команда, занявшая последнее место, — как можно меньше.

Максимально возможное количество очков для одной команды достигается, если она выигрывает все свои игры. Каждая команда играет 7 игр, поэтому максимальное количество очков равно:

$P_{max} = 7 \text{ побед} \times 2 \text{ очка} = 14 \text{ очков}$.

Минимально возможное количество очков для одной команды достигается, если она проигрывает все свои игры:

$P_{min} = 7 \text{ поражений} \times 0 \text{ очков} = 0 \text{ очков}$.

Теперь проверим, возможен ли сценарий, при котором одна команда набирает 14 очков, а другая — 0, и при этом первое и последнее места заняты единственными командами. Пусть команда T1 выиграла у всех 7 соперников (её счёт $P_1 = 14$), а команда T8 проиграла всем 7 соперникам (её счёт $P_8 = 0$). Это возможно, так как в матче T1-T8 победу одержала T1.

Рассмотрим оставшиеся 6 команд (T2, T3, T4, T5, T6, T7). Каждая из них проиграла команде T1, но выиграла у команды T8. За эти две игры каждая из них получила по 2 очка. Пусть все игры между этими 6 командами закончились вничью. Каждая из них сыграет 5 таких игр и наберёт 5 очков. Тогда итоговый счёт для каждой из этих 6 команд будет:

$0 \text{ (от T1)} + 2 \text{ (от T8)} + 5 \times 1 \text{ (ничьи)} = 7$ очков.

Таким образом, мы имеем следующее распределение очков: {14, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 0}. Условия задачи выполнены: первое место единолично занимает команда с 14 очками, а последнее — команда с 0 очками. Следовательно, такой сценарий реален.

Наибольшая разница очков составляет $14 - 0 = 14$.

Ответ: 14

Какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом

Чтобы разница очков была минимальной, очки команд должны быть как можно ближе друг к другу. Обозначим очки команд в порядке невозрастания: $P_1, P_2, \dots, P_8$. По условию, первое и последнее места заняты единственными командами, это значит:

$P_1 > P_2 \ge P_3 \ge P_4 \ge P_5 \ge P_6 \ge P_7 > P_8$

Поскольку количество очков — целое число, эти неравенства означают, что $P_1 \ge P_2 + 1$ и $P_7 \ge P_8 + 1$. Из этого следует, что $P_1 \ge P_7 + 1 \ge (P_8 + 1) + 1 = P_8 + 2$.

Таким образом, минимально возможная разница очков между первым и последним местом не может быть меньше 2.

Проверим, возможна ли разница в 2 очка. Если разница равна 2, то $P_1 = P_8 + 2$. Из приведённых выше неравенств следует, что все команды со 2-го по 7-е место должны иметь очки $P_i = P_8 + 1 = P_1 - 1$. То есть, распределение очков должно выглядеть так: $\{x, x-1, x-1, x-1, x-1, x-1, x-1, x-2\}$.

Сумма очков всех команд должна быть равна 56:

$x + 6 \times (x-1) + (x-2) = 56$

$x + 6x - 6 + x - 2 = 56$

$8x - 8 = 56$

$8x = 64$

$x = 8$

Итак, мы получили возможное распределение очков: {8, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 6}. Теперь нужно показать, что такой исход турнира возможен.

Пусть команда T1 (8 очков) выиграла у команды T8 (6 очков). Оставшиеся 6 команд (назовём их группой M) пусть сыграли все матчи между собой вничью. Каждая команда из группы M получает по 5 очков за эти 5 игр. Чтобы в итоге набрать 7 очков, каждой из них нужно получить по 2 очка в играх с T1 и T8. Разделим группу M на две подгруппы: M_A = {T2, T3, T4} и M_B = {T5, T6, T7}.

• Пусть T1 выиграет у всех команд из M_A и проиграет всем командам из M_B.
• Пусть T8, наоборот, проиграет всем командам из M_A и выиграет у всех команд из M_B.

Подсчитаем очки:

• $P_1 = 2$ (победа над T8) $+ 3 \times 2$ (победы над M_A) $+ 3 \times 0$ (поражения от M_B) = 8 очков.
• $P_8 = 0$ (поражение от T1) $+ 3 \times 0$ (поражения от M_A) $+ 3 \times 2$ (победы над M_B) = 6 очков.
• Очки любой команды из M_A: $5$ (ничьи в M) $+ 0$ (поражение от T1) $+ 2$ (победа над T8) = 7 очков.
• Очки любой команды из M_B: $5$ (ничьи в M) $+ 2$ (победа над T1) $+ 0$ (поражение от T8) = 7 очков.

Все условия задачи выполнены, и такое распределение очков возможно. Следовательно, наименьшая возможная разница составляет $8 - 6 = 2$.

Ответ: 2