Страница 184 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.275. Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Для решения этой задачи введем обозначения. Пусть $M$ — общее количество математиков, а $F$ — общее количество философов. Пусть $K$ — это количество людей, которые являются одновременно и математиками, и философами.

Согласно условию, среди математиков каждый седьмой является философом. Это означает, что число людей, обладающих обеими специальностями, составляет одну седьмую от общего числа математиков. Математически это можно выразить так:
$K = \frac{1}{7}M$

Также, по условию, среди философов каждый девятый является математиком. Это значит, что число людей, являющихся и математиками, и философами, составляет одну девятую от общего числа философов. Запишем это в виде уравнения:
$K = \frac{1}{9}F$

Поскольку $K$ представляет одну и ту же группу людей в обоих уравнениях, мы можем приравнять правые части этих выражений:
$\frac{1}{7}M = \frac{1}{9}F$

Чтобы сравнить числа $M$ и $F$, избавимся от дробей, умножив обе части равенства на 63 (наименьшее общее кратное чисел 7 и 9):
$63 \cdot \frac{1}{7}M = 63 \cdot \frac{1}{9}F$
$9M = 7F$

Из этого соотношения видно, что для сохранения равенства, число математиков $M$ должно быть меньше числа философов $F$, так как оно умножается на больший коэффициент (9 > 7).

Другой способ прийти к тому же выводу — выразить $M$ и $F$ через $K$:
Из первого уравнения: $M = 7K$
Из второго уравнения: $F = 9K$
Так как $K$ — это количество людей, оно должно быть целым положительным числом ($K \ge 1$). Сравнивая выражения $M=7K$ и $F=9K$, очевидно, что $9K > 7K$, а значит $F > M$.

Следовательно, философов больше, чем математиков.

Ответ: Философов больше.

4.276. Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется?

В задаче говорится о 8 подругах, которые решили обменяться фотографиями. Цель обмена — чтобы у каждой девушки оказались фотографии всех остальных.

Рассмотрим одну из подруг. Она должна подарить свою фотографию каждой из остальных. Количество остальных подруг равно общему числу подруг минус она сама. То есть, у каждой подруги есть $8 - 1 = 7$ других подруг, которым она должна отдать свою фотографию.

Это означает, что каждая из 8 подруг должна подготовить по 7 своих фотографий.

Чтобы найти общее количество фотографий, которое потребуется для обмена, нужно умножить общее количество подруг на количество фотографий, которое готовит каждая из них:

$8 \times 7 = 56$

Следовательно, для того чтобы осуществить такой обмен, потребуется 56 фотографий.

Ответ: 56

4.277. В нашем классе каждая девочка дружит ровно с тремя мальчиками, а каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками.

Сколько учащихся в нашем классе, если мальчиков на 5 больше, чем девочек?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $Д$ — это количество девочек в классе, а $М$ — количество мальчиков.

Согласно условию, каждая из $Д$ девочек дружит с тремя мальчиками. Если мы посчитаем все "дружеские связи" со стороны девочек, их общее число будет равно $3 \times Д$.

С другой стороны, каждый из $М$ мальчиков дружит с двумя девочками. Если посчитать все те же "дружеские связи" со стороны мальчиков, их общее число будет равно $2 \times М$.

Поскольку это одни и те же связи (каждая связь соединяет одного мальчика и одну девочку), мы можем приравнять эти два выражения и получить первое уравнение:
$3Д = 2М$

Второе условие задачи гласит, что мальчиков на 5 больше, чем девочек. Это можно записать в виде второго уравнения:
$М = Д + 5$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Подставим выражение для $М$ из второго уравнения в первое:
$3Д = 2(Д + 5)$

Решим полученное уравнение относительно $Д$:
$3Д = 2Д + 10$
$3Д - 2Д = 10$
$Д = 10$
Итак, в классе 10 девочек.

Теперь найдем количество мальчиков, подставив значение $Д$ во второе уравнение:
$М = 10 + 5$
$М = 15$
Итак, в классе 15 мальчиков.

Чтобы найти общее количество учащихся в классе, нужно сложить количество девочек и мальчиков:
$10 + 15 = 25$

Ответ: 25.

4.278. В первенстве по футболу принимают участие 8 команд. Каждая команда играет с каждой по одному разу. За выигрыш команда получает 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Какая наибольшая и какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом, если известно, что первое место заняла одна команда и последнее место заняла одна команда?

В турнире участвуют 8 команд. Каждая команда играет с каждой другой командой ровно один раз. Это означает, что каждая команда проводит 7 игр. Общее количество игр в турнире равно числу сочетаний из 8 по 2:

$C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ игр.

За победу дается 2 очка, за ничью — 1, за поражение — 0. В каждой игре сумма очков, получаемых двумя командами, всегда равна 2 (либо 2+0, либо 1+1). Таким образом, общая сумма очков всех команд в турнире является постоянной величиной:

$28 \text{ игр} \times 2 \text{ очка/игру} = 56$ очков.

Чтобы разница очков между первым ($P_1$) и последним ($P_8$) местом была максимальной, команда, занявшая первое место, должна набрать как можно больше очков, а команда, занявшая последнее место, — как можно меньше.

Максимально возможное количество очков для одной команды достигается, если она выигрывает все свои игры. Каждая команда играет 7 игр, поэтому максимальное количество очков равно:

$P_{max} = 7 \text{ побед} \times 2 \text{ очка} = 14 \text{ очков}$.

Минимально возможное количество очков для одной команды достигается, если она проигрывает все свои игры:

$P_{min} = 7 \text{ поражений} \times 0 \text{ очков} = 0 \text{ очков}$.

Теперь проверим, возможен ли сценарий, при котором одна команда набирает 14 очков, а другая — 0, и при этом первое и последнее места заняты единственными командами. Пусть команда T1 выиграла у всех 7 соперников (её счёт $P_1 = 14$), а команда T8 проиграла всем 7 соперникам (её счёт $P_8 = 0$). Это возможно, так как в матче T1-T8 победу одержала T1.

Рассмотрим оставшиеся 6 команд (T2, T3, T4, T5, T6, T7). Каждая из них проиграла команде T1, но выиграла у команды T8. За эти две игры каждая из них получила по 2 очка. Пусть все игры между этими 6 командами закончились вничью. Каждая из них сыграет 5 таких игр и наберёт 5 очков. Тогда итоговый счёт для каждой из этих 6 команд будет:

$0 \text{ (от T1)} + 2 \text{ (от T8)} + 5 \times 1 \text{ (ничьи)} = 7$ очков.

Таким образом, мы имеем следующее распределение очков: {14, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 0}. Условия задачи выполнены: первое место единолично занимает команда с 14 очками, а последнее — команда с 0 очками. Следовательно, такой сценарий реален.

Наибольшая разница очков составляет $14 - 0 = 14$.

Ответ: 14

Чтобы разница очков была минимальной, очки команд должны быть как можно ближе друг к другу. Обозначим очки команд в порядке невозрастания: $P_1, P_2, \dots, P_8$. По условию, первое и последнее места заняты единственными командами, это значит:

$P_1 > P_2 \ge P_3 \ge P_4 \ge P_5 \ge P_6 \ge P_7 > P_8$

Поскольку количество очков — целое число, эти неравенства означают, что $P_1 \ge P_2 + 1$ и $P_7 \ge P_8 + 1$. Из этого следует, что $P_1 \ge P_7 + 1 \ge (P_8 + 1) + 1 = P_8 + 2$.

Таким образом, минимально возможная разница очков между первым и последним местом не может быть меньше 2.

Проверим, возможна ли разница в 2 очка. Если разница равна 2, то $P_1 = P_8 + 2$. Из приведённых выше неравенств следует, что все команды со 2-го по 7-е место должны иметь очки $P_i = P_8 + 1 = P_1 - 1$. То есть, распределение очков должно выглядеть так: $\{x, x-1, x-1, x-1, x-1, x-1, x-1, x-2\}$.

Сумма очков всех команд должна быть равна 56:

$x + 6 \times (x-1) + (x-2) = 56$

$x + 6x - 6 + x - 2 = 56$

$8x - 8 = 56$

$8x = 64$

$x = 8$

Итак, мы получили возможное распределение очков: {8, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 6}. Теперь нужно показать, что такой исход турнира возможен.

Пусть команда T1 (8 очков) выиграла у команды T8 (6 очков). Оставшиеся 6 команд (назовём их группой M) пусть сыграли все матчи между собой вничью. Каждая команда из группы M получает по 5 очков за эти 5 игр. Чтобы в итоге набрать 7 очков, каждой из них нужно получить по 2 очка в играх с T1 и T8. Разделим группу M на две подгруппы: M_A = {T2, T3, T4} и M_B = {T5, T6, T7}.

• Пусть T1 выиграет у всех команд из M_A и проиграет всем командам из M_B.
• Пусть T8, наоборот, проиграет всем командам из M_A и выиграет у всех команд из M_B.

Подсчитаем очки:

• $P_1 = 2$ (победа над T8) $+ 3 \times 2$ (победы над M_A) $+ 3 \times 0$ (поражения от M_B) = 8 очков.
• $P_8 = 0$ (поражение от T1) $+ 3 \times 0$ (поражения от M_A) $+ 3 \times 2$ (победы над M_B) = 6 очков.
• Очки любой команды из M_A: $5$ (ничьи в M) $+ 0$ (поражение от T1) $+ 2$ (победа над T8) = 7 очков.
• Очки любой команды из M_B: $5$ (ничьи в M) $+ 2$ (победа над T1) $+ 0$ (поражение от T8) = 7 очков.

Все условия задачи выполнены, и такое распределение очков возможно. Следовательно, наименьшая возможная разница составляет $8 - 6 = 2$.

Ответ: 2

4.279. Большая коробка конфет в 2 раза дороже маленькой. Хотят купить 3 большие коробки и 2 маленькие, но если купить 2 большие коробки и 3 маленькие, то покупка будет дешевле на 200 р. Сколько стоит каждая коробка конфет?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это стоимость маленькой коробки конфет в рублях.

Согласно условию, большая коробка конфет в 2 раза дороже маленькой, следовательно, ее стоимость составляет $2x$ рублей.

Теперь выразим стоимость двух вариантов покупки:

1. Стоимость первого варианта (3 большие коробки и 2 маленькие):
$3 \cdot (2x) + 2 \cdot x = 6x + 2x = 8x$ рублей.

2. Стоимость второго варианта (2 большие коробки и 3 маленькие):
$2 \cdot (2x) + 3 \cdot x = 4x + 3x = 7x$ рублей.

В условии сказано, что второй вариант покупки дешевле первого на 200 рублей. Это значит, что разница между их стоимостями равна 200. Составим и решим уравнение:

$8x - 7x = 200$

$x = 200$

Таким образом, стоимость маленькой коробки конфет составляет 200 рублей.

Теперь найдем стоимость большой коробки:

$2x = 2 \cdot 200 = 400$ рублей.

Проверим полученные результаты:

Стоимость первой покупки: $3 \cdot 400\text{р.} + 2 \cdot 200\text{р.} = 1200 + 400 = 1600$ рублей.

Стоимость второй покупки: $2 \cdot 400\text{р.} + 3 \cdot 200\text{р.} = 800 + 600 = 1400$ рублей.

Разница в стоимости: $1600 - 1400 = 200$ рублей, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: маленькая коробка конфет стоит 200 рублей, большая коробка — 400 рублей.

4.280. Один экскаватор может вырыть траншею за 30 ч, другой — за 20 ч. Первый проработал 9 ч, потом второй закончил работу. За сколько часов была выполнена работа?

Примем весь объем работы по выкапыванию траншеи за 1.

1. Найдем производительность (скорость работы) каждого экскаватора.
Производительность — это часть работы, выполняемая за 1 час.
Производительность первого экскаватора: $P_1 = \frac{1}{30}$ часть работы в час.
Производительность второго экскаватора: $P_2 = \frac{1}{20}$ часть работы в час.

2. Вычислим, какую часть работы выполнил первый экскаватор.
Первый экскаватор работал 9 часов. Объем выполненной им работы $W_1$ равен: $W_1 = P_1 \times t_1 = \frac{1}{30} \times 9 = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$

3. Определим оставшуюся часть работы.
Чтобы найти оставшуюся часть работы $W_{ост}$, нужно из всей работы (1) вычесть уже выполненную часть: $W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

4. Рассчитаем, сколько времени потребовалось второму экскаватору, чтобы закончить работу.
Для этого разделим оставшуюся часть работы на производительность второго экскаватора: $t_2 = \frac{W_{ост}}{P_2} = \frac{7/10}{1/20} = \frac{7}{10} \times 20 = \frac{140}{10} = 14$ часов.

5. Найдем общее время выполнения всей работы.
Общее время $T_{общ}$ равно сумме времени работы первого и второго экскаваторов: $T_{общ} = t_1 + t_2 = 9 + 14 = 23$ часа.

Ответ: работа была выполнена за 23 часа.

4.281. (Индия, XI в.)

Есть кадамба цветок,

На один лепесток

Пчёлок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди,

Её трижды сложи

И тех пчёл на Кутай посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде.

Всё летала то взад, то вперёд и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчёлок всего здесь собралось.

Для решения этой задачи обозначим общее количество пчёл переменной $x$.

Проанализируем условия, описанные в стихотворении, и выразим каждую группу пчёл через $x$:

• На цветок кадамба опустилась пятая часть всех пчёл: $ \frac{1}{5}x $
• На цветок сименгда — третья часть всех пчёл: $ \frac{1}{3}x $
• На цветок Кутай — утроенная разность между количеством пчёл на сименгде и кадамбе. Сначала найдём разность (поскольку $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $, вычитаем из большего меньшее):
  $ \frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x = \frac{5x - 3x}{15} = \frac{2x}{15} $
  Затем утроим эту разность: $ 3 \cdot \frac{2x}{15} = \frac{6x}{15} = \frac{2x}{5} $
• И ещё одна пчела летала отдельно: 1

Сумма всех этих частей должна быть равна общему количеству пчёл, $x$. Составим и решим уравнение:

$ \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x + 1 = x $

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ (\frac{1}{5}x + \frac{2}{5}x) + \frac{1}{3}x + 1 = x $

$ \frac{3}{5}x + \frac{1}{3}x + 1 = x $

Приведём дроби к общему знаменателю 15:

$ \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3}x + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5}x + 1 = x $

$ \frac{9}{15}x + \frac{5}{15}x + 1 = x $

$ \frac{14}{15}x + 1 = x $

Теперь выразим $x$. Для этого перенесём $ \frac{14}{15}x $ в правую часть уравнения:

$ 1 = x - \frac{14}{15}x $

$ 1 = \frac{15}{15}x - \frac{14}{15}x $

$ 1 = \frac{1}{15}x $

Отсюда находим $x$:

$ x = 15 $

Проверим полученный результат. Если всего было 15 пчёл:

• На кадамбе: $ \frac{1}{5} \cdot 15 = 3 $ пчелы.
• На сименгде: $ \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 $ пчёл.
• На Кутае: $ 3 \cdot (5 - 3) = 3 \cdot 2 = 6 $ пчёл.
• Летала отдельно: 1 пчела.
• Сумма: $ 3 + 5 + 6 + 1 = 15 $ пчёл.

Результат проверки совпадает с нашим решением.

Ответ: всего собралось 15 пчёл.