Страница 188 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.1. В какую сторону и на сколько цифр надо перенести запятую, чтобы увеличить десятичную дробь:

а) в 10 раз;

б) в 100 раз;

в) в 1000 раз;

г) в 10 000 раз;

д) в 100 000 раз;

е) в 1 000 000 раз?

Чтобы увеличить десятичную дробь, ее нужно умножить на соответствующее число. Умножение десятичной дроби на $10, 100, 1000$ и так далее, сводится к переносу запятой вправо на столько цифр, сколько нулей в множителе. Если цифр в дробной части не хватает, справа дописываются нули.

а) в 10 раз
Чтобы увеличить дробь в 10 раз, нужно умножить её на 10. В числе 10 один нуль, поэтому запятую нужно перенести на 1 цифру вправо.
Например: $5,67 \times 10 = 56,7$.
Ответ: вправо на 1 цифру.

б) в 100 раз
Чтобы увеличить дробь в 100 раз, нужно умножить её на 100. В числе 100 два нуля, поэтому запятую нужно перенести на 2 цифры вправо.
Например: $5,67 \times 100 = 567$.
Ответ: вправо на 2 цифры.

в) в 1000 раз
Чтобы увеличить дробь в 1000 раз, нужно умножить её на 1000. В числе 1000 три нуля, поэтому запятую нужно перенести на 3 цифры вправо.
Например: $5,67 \times 1000 = 5670$.
Ответ: вправо на 3 цифры.

г) в 10 000 раз
Чтобы увеличить дробь в 10 000 раз, нужно умножить её на 10 000. В числе 10 000 четыре нуля, поэтому запятую нужно перенести на 4 цифры вправо.
Например: $5,67 \times 10000 = 56700$.
Ответ: вправо на 4 цифры.

д) в 100 000 раз
Чтобы увеличить дробь в 100 000 раз, нужно умножить её на 100 000. В числе 100 000 пять нулей, поэтому запятую нужно перенести на 5 цифр вправо.
Например: $5,67 \times 100000 = 567000$.
Ответ: вправо на 5 цифр.

е) в 1 000 000 раз
Чтобы увеличить дробь в 1 000 000 раз, нужно умножить её на 1 000 000. В числе 1 000 000 шесть нулей, поэтому запятую нужно перенести на 6 цифр вправо.
Например: $5,67 \times 1000000 = 5670000$.
Ответ: вправо на 6 цифр.

5.2. В какую сторону и на сколько цифр надо перенести запятую, чтобы уменьшить десятичную дробь:

а) в 10 раз;

б) в 100 раз;

в) в 1000 раз;

г) в 10 000 раз;

д) в 100 000 раз;

е) в 1 000 000 раз?

Чтобы уменьшить десятичную дробь в $10^n$ раз, необходимо разделить её на это число. Деление на степень десяти эквивалентно переносу запятой влево на $n$ позиций, где $n$ — это количество нулей в делителе.

а) Чтобы уменьшить дробь в 10 раз, нужно перенести запятую влево на 1 цифру, так как число 10 имеет один ноль. Например, $54.2 \div 10 = 5.42$.
Ответ: влево на 1 цифру.

б) Чтобы уменьшить дробь в 100 раз, нужно перенести запятую влево на 2 цифры, так как число 100 ($10^2$) имеет два нуля. Например, $321.5 \div 100 = 3.215$.
Ответ: влево на 2 цифры.

в) Чтобы уменьшить дробь в 1000 раз, нужно перенести запятую влево на 3 цифры, так как число 1000 ($10^3$) имеет три нуля. Например, $4567.8 \div 1000 = 4.5678$.
Ответ: влево на 3 цифры.

г) Чтобы уменьшить дробь в 10 000 раз, нужно перенести запятую влево на 4 цифры, так как число 10 000 ($10^4$) имеет четыре нуля. Например, $87654.3 \div 10000 = 8.76543$.
Ответ: влево на 4 цифры.

д) Чтобы уменьшить дробь в 100 000 раз, нужно перенести запятую влево на 5 цифр, так как число 100 000 ($10^5$) имеет пять нулей. Например, $123456.7 \div 100000 = 1.234567$.
Ответ: влево на 5 цифр.

е) Чтобы уменьшить дробь в 1 000 000 раз, нужно перенести запятую влево на 6 цифр, так как число 1 000 000 ($10^6$) имеет шесть нулей. Например, $9876543.2 \div 1000000 = 9.8765432$.
Ответ: влево на 6 цифр.

5.3. a) Как изменится дробь, если в её десятичной записи запятую перенести на 3 цифры вправо? на 3 цифры влево?

а)

Позиция запятой в десятичной записи числа определяет разряд (и, следовательно, значение) каждой цифры. Смещение запятой изменяет разряды всех цифр, что приводит к изменению значения самого числа.

При переносе запятой на 3 цифры вправо, каждая цифра числа перемещается на три разряда влево, в сторону увеличения значения. Например, цифра из разряда десятых (0,1) станет цифрой в разряде сотен (100). Такое изменение равносильно умножению исходного числа на 10 три раза подряд, то есть умножению на $10^3 = 1000$. Таким образом, дробь увеличится в 1000 раз.
Пример: в дроби 12,3456 переносим запятую на 3 цифры вправо и получаем 12345,6.
$12,3456 \times 1000 = 12345,6$.

При переносе запятой на 3 цифры влево, каждая цифра числа перемещается на три разряда вправо, в сторону уменьшения значения. Например, цифра из разряда единиц (1) станет цифрой в разряде тысячных (0,001). Такое изменение равносильно делению исходного числа на 10 три раза подряд, то есть делению на $10^3 = 1000$. Таким образом, дробь уменьшится в 1000 раз.
Пример: в дроби 12345,6 переносим запятую на 3 цифры влево и получаем 12,3456.
$12345,6 : 1000 = 12,3456$.

Ответ: если перенести запятую на 3 цифры вправо, дробь увеличится в 1000 раз; если перенести запятую на 3 цифры влево, дробь уменьшится в 1000 раз.

5.4. Как изменится дробь, если:

а) запятую в её десятичной записи перенести сначала на 2 цифры вправо, а затем на 3 цифры влево;

б) запятую в её десятичной записи перенести сначала на 3 цифры влево, а затем на 2 цифры вправо?

а) Пусть исходная десятичная дробь равна $x$. Перенос запятой на 2 цифры вправо эквивалентен умножению числа на $10^2$, то есть на 100. После этого действия дробь станет равной $100x$. Затем перенос запятой на 3 цифры влево эквивалентен делению полученного числа на $10^3$, то есть на 1000. В результате итоговое значение дроби будет равно $\frac{100x}{1000} = \frac{x}{10}$. Это означает, что результирующий сдвиг запятой составил $3 - 2 = 1$ цифру влево от первоначального положения. Таким образом, дробь уменьшилась в 10 раз. Ответ: дробь уменьшится в 10 раз.

б) Пусть исходная десятичная дробь равна $x$. Перенос запятой на 3 цифры влево эквивалентен делению числа на $10^3$, то есть на 1000. После этого действия дробь станет равной $\frac{x}{1000}$. Затем перенос запятой на 2 цифры вправо эквивалентен умножению полученного числа на $10^2$, то есть на 100. В результате итоговое значение дроби будет равно $\frac{x}{1000} \cdot 100 = \frac{x}{10}$. Как и в предыдущем пункте, результирующий сдвиг запятой составил $3 - 2 = 1$ цифру влево от первоначального положения. Таким образом, дробь уменьшилась в 10 раз. Ответ: дробь уменьшится в 10 раз.

?5.5. Как изменится положение запятой в записи десятичной дроби, если эту дробь:

а) сначала увеличить в 10 раз, потом ещё в 100 раз;

б) сначала увеличить в 10 раз, а потом уменьшить в 100 раз;

в) сначала уменьшить в 10 раз, потом ещё в 100 раз;

г) сначала уменьшить в 10 раз, а потом увеличить в 100 раз?

Положение запятой в десятичной дроби изменяется в зависимости от операций умножения и деления на 10, 100, 1000 и так далее. Увеличение (умножение) дроби на $10^n$ сдвигает запятую на $n$ знаков вправо. Уменьшение (деление) дроби на $10^n$ сдвигает запятую на $n$ знаков влево.

а) сначала увеличить в 10 раз, потом ещё в 100 раз;

Увеличение дроби в 10 раз сдвигает запятую на 1 знак вправо. Последующее увеличение ещё в 100 раз сдвигает запятую ещё на 2 знака вправо. Общее изменение соответствует умножению на $10 \times 100 = 1000$. Таким образом, запятая сместится в общей сложности на $1 + 2 = 3$ знака вправо.
Пример: $1,2345 \times 10 = 12,345$. Затем $12,345 \times 100 = 1234,5$. Итоговое смещение на 3 знака вправо.
Ответ: Запятая сместится на 3 знака вправо.

б) сначала увеличить в 10 раз, а потом уменьшить в 100 раз;

Увеличение дроби в 10 раз сдвигает запятую на 1 знак вправо. Последующее уменьшение в 100 раз сдвигает запятую на 2 знака влево. Суммарное смещение: 1 знак вправо и 2 знака влево, что в итоге дает смещение на $2 - 1 = 1$ знак влево от исходного положения. Это эквивалентно делению на 10 ($10 \div 100 = 0,1$).
Пример: $12,345 \times 10 = 123,45$. Затем $123,45 \div 100 = 1,2345$. Итоговое смещение на 1 знак влево.
Ответ: Запятая сместится на 1 знак влево.

в) сначала уменьшить в 10 раз, потом ещё в 100 раз;

Уменьшение дроби в 10 раз сдвигает запятую на 1 знак влево. Последующее уменьшение ещё в 100 раз сдвигает запятую ещё на 2 знака влево. Общее изменение соответствует делению на $10 \times 100 = 1000$. Таким образом, запятая сместится в общей сложности на $1 + 2 = 3$ знака влево.
Пример: $1234,5 \div 10 = 123,45$. Затем $123,45 \div 100 = 1,2345$. Итоговое смещение на 3 знака влево.
Ответ: Запятая сместится на 3 знака влево.

г) сначала уменьшить в 10 раз, а потом увеличить в 100 раз?

Уменьшение дроби в 10 раз сдвигает запятую на 1 знак влево. Последующее увеличение в 100 раз сдвигает запятую на 2 знака вправо. Суммарное смещение: 1 знак влево и 2 знака вправо, что в итоге дает смещение на $2 - 1 = 1$ знак вправо от исходного положения. Это эквивалентно умножению на 10 ($100 \div 10 = 10$).
Пример: $12,345 \div 10 = 1,2345$. Затем $1,2345 \times 100 = 123,45$. Итоговое смещение на 1 знак вправо.
Ответ: Запятая сместится на 1 знак вправо.