Страница 195 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.38. Выразите частное в виде обыкновенной дроби:

а) $\frac{3}{0,7}$;

б) $\frac{3,5}{1,2}$;

в) $\frac{1,25}{1,4}$.

а) Чтобы представить частное $3 : 0,7$ в виде обыкновенной дроби, запишем это выражение как дробь, где делимое — это числитель, а делитель — знаменатель:
$3 : 0,7 = \frac{3}{0,7}$
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, воспользуемся основным свойством дроби и умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{3 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = \frac{30}{7}$
Данная дробь является несократимой, так как числа 30 и 7 не имеют общих делителей, кроме 1.
Ответ: $\frac{30}{7}$.

б) Запишем частное $3,5 : 1,2$ в виде дроби:
$3,5 : 1,2 = \frac{3,5}{1,2}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножим их оба на 10:
$\frac{3,5 \cdot 10}{1,2 \cdot 10} = \frac{35}{12}$
Проверим, можно ли сократить эту дробь. Число 35 делится на 5 и 7, а число 12 делится на 2, 3, 4, 6. Общих делителей, кроме 1, нет, следовательно, дробь несократимая.
Ответ: $\frac{35}{12}$.

в) Представим частное $1,25 : 1,4$ в виде дроби:
$1,25 : 1,4 = \frac{1,25}{1,4}$
В числителе два знака после запятой, а в знаменателе — один. Чтобы избавиться от десятичных знаков в обоих числах, нужно умножить числитель и знаменатель на 100 (выбираем наибольшую степень 10):
$\frac{1,25 \cdot 100}{1,4 \cdot 100} = \frac{125}{140}$
Теперь сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 5:
$\frac{125 \div 5}{140 \div 5} = \frac{25}{28}$
Числа 25 и 28 являются взаимно простыми, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{25}{28}$.

5.39. По какому правилу делят десятичную дробь на натуральное число?

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, необходимо следовать правилу деления "в столбик" (или "уголком"), которое состоит из следующих шагов:

1. Записать деление в столбик, как будто вы делите натуральные числа, не обращая внимания на запятую в делимом.
2. Начать деление с целой части десятичной дроби. Выполнять деление до тех пор, пока не будут использованы все цифры целой части.
3. Как только деление целой части будет завершено, в частном (результате) необходимо поставить запятую. Это делается перед тем, как снести первую цифру из дробной части делимого.
4. Продолжить деление, последовательно снося цифры из дробной части делимого и записывая результат в частное после запятой.
5. Если цифры в делимом закончились, а остаток от деления не равен нулю, к остатку нужно приписать справа ноль и продолжить деление. Эту операцию можно повторять до тех пор, пока остаток не станет равным нулю или не будет достигнута необходимая точность.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Делимое больше делителя

Разделим $25.56$ на $4$.

1. Делим целую часть $25$ на $4$. Ближайшее меньшее число, делящееся на $4$ — это $24$. $24 \div 4 = 6$. Записываем $6$ в частное. Остаток $25 - 24 = 1$.

2. Деление целой части закончилось. Ставим в частном запятую. Частное теперь выглядит как $6,$.

3. К остатку $1$ сносим первую цифру дробной части — $5$. Получаем число $15$.

4. Делим $15$ на $4$. Ближайшее — $12$. $12 \div 4 = 3$. Записываем $3$ в частное после запятой. Частное: $6,3$. Остаток $15 - 12 = 3$.

5. К остатку $3$ сносим следующую цифру — $6$. Получаем $36$.

6. Делим $36$ на $4$. $36 \div 4 = 9$. Записываем $9$ в частное. Частное: $6,39$. Остаток $36 - 36 = 0$.

Деление завершено. Результат: $25.56 \div 4 = 6.39$.

Пример 2: Целая часть делимого меньше делителя

Разделим $3.54$ на $6$.

1. Делим целую часть $3$ на $6$. Так как $3$ меньше $6$, целая часть частного равна $0$. Записываем $0$ в частное.

2. Деление целой части закончилось. Сразу ставим в частном запятую. Частное: $0,$.

3. Теперь рассматриваем делимое как число $35$ (снесли цифру $5$). Делим $35$ на $6$. Ближайшее — $30$. $30 \div 6 = 5$. Записываем $5$ в частное. Частное: $0,5$. Остаток $35 - 30 = 5$.

4. К остатку $5$ сносим следующую цифру — $4$. Получаем $54$.

5. Делим $54$ на $6$. $54 \div 6 = 9$. Записываем $9$ в частное. Частное: $0,59$. Остаток $54 - 54 = 0$.

Деление завершено. Результат: $3.54 \div 6 = 0.59$.

Пример 3: Деление с добавлением нулей

Разделим $19$ на $4$. (Здесь натуральное число делится на натуральное, но результат — десятичная дробь. Правило то же самое: $19$ можно представить как $19.0$).

1. Делим $19$ на $4$. Ближайшее — $16$. $16 \div 4 = 4$. Записываем $4$ в частное. Остаток $19 - 16 = 3$.

2. Целая часть закончилась. Ставим в частном запятую. Частное: $4,$.

3. Цифры в делимом закончились, но остаток не ноль. Приписываем к делимому ноль ($19.0$). Сносим этот ноль к остатку $3$. Получаем $30$.

4. Делим $30$ на $4$. Ближайшее — $28$. $28 \div 4 = 7$. Записываем $7$ в частное. Частное: $4,7$. Остаток $30 - 28 = 2$.

5. Остаток снова не ноль. Приписываем еще один ноль. Сносим его к остатку $2$. Получаем $20$.

6. Делим $20$ на $4$. $20 \div 4 = 5$. Записываем $5$ в частное. Частное: $4,75$. Остаток $20 - 20 = 0$.

Деление завершено. Результат: $19 \div 4 = 4.75$.

Ответ: Для деления десятичной дроби на натуральное число используется метод деления "в столбик". Деление выполняется так же, как и с натуральными числами, но в частном ставится запятая в тот момент, когда заканчивается деление целой части делимого.

5.40. По какому правилу делят десятичные дроби?

Для деления десятичных дробей используется правило, которое сводит операцию к делению на натуральное число. Алгоритм деления следующий:

1. Перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их стоит после запятой в делителе. Это делается для того, чтобы делитель стал целым (натуральным) числом.
2. Если в делимом не хватает цифр для переноса запятой, справа к нему дописывают необходимое количество нулей.
3. После переноса запятой выполнить деление полученной дроби (или целого числа) на натуральное число. Это деление удобно выполнять "уголком".
4. В частном (результате) поставить запятую в тот момент, когда заканчивается деление целой части делимого.

Рассмотрим применение этого правила на примерах.

Ответ: Чтобы разделить десятичную дробь, нужно сначала перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их в делителе, чтобы превратить делитель в натуральное число, а затем выполнить деление по правилам деления на натуральное число.

5.41. Всегда ли при делении десятичных дробей частное можно записать в виде десятичной дроби? Приведите примеры.

Нет, не всегда. Частное от деления двух десятичных дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если это частное, представленное в виде несократимой обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, имеет знаменатель $q$, разложение которого на простые множители содержит только числа 2 и 5. Если же в разложении знаменателя на простые множители встречаются другие числа (например, 3, 7, 11 и т.д.), то частное будет представлять собой бесконечную периодическую десятичную дробь.

Примеры

1. Случай, когда частное можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Разделим $3.5$ на $0.25$:$3.5 \div 0.25 = \frac{3.5}{0.25} = \frac{350}{25} = 14$.Результат — целое число, которое является конечной десятичной дробью ($14.0$).

Разделим $0.9$ на $0.4$:$0.9 \div 0.4 = \frac{0.9}{0.4} = \frac{9}{4} = 2.25$.Результат $2.25$ — конечная десятичная дробь. Знаменатель соответствующей обыкновенной дроби $4 = 2^2$, что удовлетворяет условию.

2. Случай, когда частное нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

Разделим $1.0$ на $0.3$:$1.0 \div 0.3 = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3}$.Знаменатель дроби равен 3. Так как 3 не является множителем 2 или 5, результат деления нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При вычислении получается бесконечная периодическая дробь:$\frac{10}{3} = 3.333... = 3.(3)$.

Разделим $0.5$ на $0.6$:$0.5 \div 0.6 = \frac{0.5}{0.6} = \frac{5}{6}$.Знаменатель дроби $6 = 2 \cdot 3$. Он содержит простой множитель 3, поэтому результат также будет бесконечной периодической дробью:$\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8(3)$.

Ответ: Нет, не всегда. Частное можно записать в виде конечной десятичной дроби только тогда, когда знаменатель соответствующей несократимой обыкновенной дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. Например, $0.9 \div 0.4 = 2.25$ (конечная дробь), но $1.0 \div 0.3 = 3.333...$ (бесконечная периодическая дробь).

Вычислите (5.42—5.45):

5.42. a) $12.5 : 10$; б) $72.6 : 100$; в) $173.56 : 100$;

г) $0.3 : 100$; д) $0.73 : 1000$; е) $1.664 : 10000$.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

а) $12,5 : 10$

В делителе 10 один ноль, поэтому переносим запятую в числе 12,5 на один знак влево.

$12,5 : 10 = 1,25$

Ответ: 1,25

б) $72,6 : 100$

В делителе 100 два ноля, поэтому переносим запятую в числе 72,6 на два знака влево.

$72,6 : 100 = 0,726$

Ответ: 0,726

в) $173,56 : 100$

В делителе 100 два ноля, поэтому переносим запятую в числе 173,56 на два знака влево.

$173,56 : 100 = 1,7356$

Ответ: 1,7356

г) $0,3 : 100$

В делителе 100 два ноля, поэтому переносим запятую в числе 0,3 на два знака влево. Так как цифр слева не хватает, дописываем перед числом недостающие нули.

$0,3 : 100 = 0,003$

Ответ: 0,003

д) $0,73 : 1000$

В делителе 1000 три ноля, поэтому переносим запятую в числе 0,73 на три знака влево. Дописываем слева недостающие нули.

$0,73 : 1000 = 0,00073$

Ответ: 0,00073

е) $1,664 : 10 000$

В делителе 10 000 четыре ноля, поэтому переносим запятую в числе 1,664 на четыре знака влево. Дописываем слева недостающие нули.

$1,664 : 10 000 = 0,0001664$

Ответ: 0,0001664

5.43. a) $783 : 10;$

б) $988 : 100;$

в) $54000 : 10000;$

г) $7800 : 1000;$

д) $3 : 1000;$

е) $5 : 1000000.$

а) Чтобы разделить натуральное число на 10, нужно перенести запятую, которая по умолчанию стоит в конце числа, на один знак влево. Если справа от запятой остаются только нули, их можно отбросить.

$783 : 10 = 78,3$

Ответ: 78,3

б) Чтобы разделить натуральное число на 100, нужно перенести запятую на два знака влево.

$988 : 100 = 9,88$

Ответ: 9,88

в) При делении одного круглого числа на другое можно сначала сократить одинаковое количество нулей в конце делимого и делителя. В данном случае можно убрать по три нуля.

$54000 : 10000 = 54 : 10$

Теперь, чтобы разделить 54 на 10, переносим запятую на один знак влево.

$54 : 10 = 5,4$

Ответ: 5,4

г) Чтобы разделить 7800 на 1000, перенесем запятую на три знака влево.

$7800 : 1000 = 7,800 = 7,8$

Ответ: 7,8

д) Чтобы разделить 3 на 1000, нужно перенести запятую на три знака влево. Для этого перед тройкой нужно дописать нули.

$3 : 1000 = 0,003$

Ответ: 0,003

е) Чтобы разделить 5 на 100 000, нужно перенести запятую на пять знаков влево. Для этого перед пятеркой нужно дописать необходимое количество нулей.

$5 : 100000 = 0,00005$

Ответ: 0,00005

5.44. а) $3,6 : 3$;

б) $75,5 : 5$;

в) $1,24 : 4$;

г) $2,53 : 11$;

д) $7,81 : 11$;

е) $13,2 : 24$.

а) Чтобы найти частное $3,6 : 3$, выполним деление десятичной дроби на натуральное число.
1. Сначала делим целую часть числа $3,6$, то есть $3$, на $3$. Получаем $3 : 3 = 1$. Это целая часть нашего ответа.
2. После того как мы разделили целую часть, в частном ставим запятую.
3. Затем делим дробную часть. Делим $6$ на $3$, получаем $6 : 3 = 2$. Это дробная часть ответа.
Соединив результаты, получаем: $3,6 : 3 = 1,2$.
Ответ: $1,2$.

б) Чтобы найти частное $75,5 : 5$, выполним деление десятичной дроби на натуральное число.
1. Делим целую часть $75$ на $5$. Можно сделать это пошагово: $7$ делим на $5$, получаем $1$ и $2$ в остатке. Сносим $5$, получаем $25$. Делим $25$ на $5$, получаем $5$. Таким образом, $75 : 5 = 15$. Это целая часть ответа.
2. Ставим в частном запятую, так как деление целой части завершено.
3. Делим дробную часть. Делим $5$ на $5$, получаем $1$. Записываем $1$ после запятой.
Соединив результаты, получаем: $75,5 : 5 = 15,1$.
Ответ: $15,1$.

в) Чтобы найти частное $1,24 : 4$, выполним деление десятичной дроби на натуральное число.
1. Делим целую часть $1$ на $4$. Так как $1 < 4$, целая часть частного будет равна $0$. Записываем $0$.
2. Ставим в частном запятую.
3. Теперь делим $12$ (первые две цифры, игнорируя запятую) на $4$. Получаем $12 : 4 = 3$. Записываем $3$ после запятой.
4. Сносим следующую цифру, $4$. Делим $4$ на $4$, получаем $4 : 4 = 1$. Записываем $1$ в частное.
Таким образом, $1,24 : 4 = 0,31$.
Ответ: $0,31$.

г) Чтобы найти частное $2,53 : 11$, выполним деление десятичной дроби на натуральное число.
1. Делим целую часть $2$ на $11$. Так как $2 < 11$, целая часть частного равна $0$. Записываем $0$.
2. Ставим в частном запятую.
3. Теперь делим $25$ на $11$. Ближайшее произведение, не превышающее $25$, это $11 \cdot 2 = 22$. Записываем $2$ в частное. Остаток $25 - 22 = 3$.
4. К остатку $3$ сносим следующую цифру $3$, получаем $33$.
5. Делим $33$ на $11$, получаем $33 : 11 = 3$. Записываем $3$ в частное.
Таким образом, $2,53 : 11 = 0,23$.
Ответ: $0,23$.

д) Чтобы найти частное $7,81 : 11$, выполним деление десятичной дроби на натуральное число.
1. Делим целую часть $7$ на $11$. Так как $7 < 11$, целая часть частного равна $0$. Записываем $0$.
2. Ставим в частном запятую.
3. Теперь делим $78$ на $11$. Ближайшее произведение, не превышающее $78$, это $11 \cdot 7 = 77$. Записываем $7$ в частное. Остаток $78 - 77 = 1$.
4. К остатку $1$ сносим следующую цифру $1$, получаем $11$.
5. Делим $11$ на $11$, получаем $11 : 11 = 1$. Записываем $1$ в частное.
Таким образом, $7,81 : 11 = 0,71$.
Ответ: $0,71$.

е) Чтобы найти частное $13,2 : 24$, выполним деление десятичной дроби на натуральное число.
1. Делим целую часть $13$ на $24$. Так как $13 < 24$, целая часть частного равна $0$. Записываем $0$.
2. Ставим в частном запятую.
3. Теперь делим $132$ на $24$. Подберем частное. $24 \cdot 5 = 120$. $24 \cdot 6 = 144$. Значит, берем по $5$. Записываем $5$ в частное. Остаток $132 - 120 = 12$.
4. К остатку $12$ приписываем справа ноль, получаем $120$.
5. Делим $120$ на $24$, получаем $120 : 24 = 5$. Записываем $5$ в частное.
Таким образом, $13,2 : 24 = 0,55$.
Ответ: $0,55$.

5.45. а) $0,48 : 8$;

б) $0,84 : 21$;

в) $0,001 : 5$;

г) $0,002 : 4$;

д) $0,125 : 25$;

е) $0,0625 : 25$.

а)

Чтобы разделить десятичную дробь 0,48 на целое число 8, выполним деление столбиком.
Сначала делим целую часть делимого (0) на 8. Получаем 0. Записываем 0 в частное и ставим запятую, так как мы закончили деление целой части.
Далее берем первую цифру после запятой — 4. 4 меньше 8, поэтому в частное записываем 0.
Берем следующую цифру 8, получаем число 48. Делим 48 на 8.
$48 : 8 = 6$.
Записываем 6 в частное.
Таким образом, $0,48 : 8 = 0,06$.
Другой способ — через обыкновенные дроби:
$0,48 : 8 = \frac{48}{100} : 8 = \frac{48}{100} \cdot \frac{1}{8} = \frac{48 \cdot 1}{100 \cdot 8} = \frac{6}{100} = 0,06$.

Ответ: 0,06.

б)

Чтобы разделить 0,84 на 21, действуем аналогично.
Целая часть (0) меньше 21, поэтому в частном пишем 0 и ставим запятую.
Берем цифру 8. 8 меньше 21, поэтому в частном после запятой пишем 0.
Берем следующую цифру 4, получаем число 84. Делим 84 на 21.
$84 : 21 = 4$.
Записываем 4 в частное.
Таким образом, $0,84 : 21 = 0,04$.

Ответ: 0,04.

в)

Делим 0,001 на 5.
Целая часть (0) меньше 5, ставим в частном 0 и запятую.
Первая цифра после запятой (0) при делении на 5 дает 0. Пишем 0 в частное.
Вторая цифра после запятой (0) при делении на 5 дает 0. Пишем 0 в частное.
Третья цифра после запятой (1) меньше 5. Пишем 0 в частное.
К остатку 1 мысленно приписываем 0, получаем 10. Делим 10 на 5.
$10 : 5 = 2$.
Записываем 2 в частное.
Таким образом, $0,001 : 5 = 0,0002$.
Другой способ:
$0,001 : 5 = \frac{1}{1000} : 5 = \frac{1}{1000 \cdot 5} = \frac{1}{5000} = \frac{2}{10000} = 0,0002$.

Ответ: 0,0002.

г)

Делим 0,002 на 4.
Целая часть равна 0, поэтому в ответе будет 0 целых.
Последовательно делим цифры после запятой: 0 делим на 4, получаем 0. Еще раз 0 делим на 4, получаем 0.
Затем делим 2 на 4. Так как 2 меньше 4, в частное пишем 0.
К остатку 2 приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 4.
$20 : 4 = 5$.
Собираем все цифры в частном: $0,0005$.
Проверка: $0,0005 \cdot 4 = 0,002$.

Ответ: 0,0005.

д)

Делим 0,125 на 25.
Целая часть равна 0, поэтому в частном будет 0 целых.
Берем 1, 1 меньше 25, пишем 0 в частное после запятой.
Берем 12, 12 меньше 25, пишем еще один 0 в частное.
Берем 125. Делим 125 на 25.
$125 : 25 = 5$.
Таким образом, $0,125 : 25 = 0,005$.
Можно также умножить делимое и делитель на 4, чтобы делитель стал 100, что упрощает деление:
$0,125 : 25 = (0,125 \cdot 4) : (25 \cdot 4) = 0,5 : 100 = 0,005$.

Ответ: 0,005.

е)

Делим 0,0625 на 25.
Целая часть равна 0, в частном ставим 0 и запятую.
Берем 0, пишем 0 в частное.
Берем 6, 6 меньше 25, пишем 0 в частное.
Берем 62. Делим 62 на 25.
$62 : 25 = 2$ и остаток $12$ ($25 \cdot 2 = 50$). Пишем 2 в частное.
К остатку 12 сносим следующую цифру 5, получаем 125.
Делим 125 на 25.
$125 : 25 = 5$. Пишем 5 в частное.
В результате получаем $0,0025$.
Также можно заметить, что $625 = 25^2$, и решить через обыкновенные дроби:
$0,0625 : 25 = \frac{625}{10000} : 25 = \frac{625}{10000 \cdot 25} = \frac{25}{10000} = 0,0025$.

Ответ: 0,0025.

5.46. Выполните деление и проверьте полученный результат:

а) $3,1 : 0,1;$

б) $7,21 : 0,01;$

в) $6,3571 : 0,01;$

г) $4,729 : 0,001;$

д) $4,29 : 0,1;$

е) $7,1 : 0,001.$

а) Для того чтобы разделить число на 0,1, необходимо перенести запятую в делимом на один знак вправо.
$3,1 : 0,1 = 31$
Проверка: $31 \times 0,1 = 3,1$.
Ответ: 31

б) Для того чтобы разделить число на 0,01, необходимо перенести запятую в делимом на два знака вправо.
$7,21 : 0,01 = 721$
Проверка: $721 \times 0,01 = 7,21$.
Ответ: 721

в) Для того чтобы разделить число на 0,01, необходимо перенести запятую в делимом на два знака вправо.
$6,3571 : 0,01 = 635,71$
Проверка: $635,71 \times 0,01 = 6,3571$.
Ответ: 635,71

г) Для того чтобы разделить число на 0,001, необходимо перенести запятую в делимом на три знака вправо.
$4,729 : 0,001 = 4729$
Проверка: $4729 \times 0,001 = 4,729$.
Ответ: 4729

д) Для того чтобы разделить число на 0,1, необходимо перенести запятую в делимом на один знак вправо.
$4,29 : 0,1 = 42,9$
Проверка: $42,9 \times 0,1 = 4,29$.
Ответ: 42,9

е) Для того чтобы разделить число на 0,001, необходимо перенести запятую в делимом на три знака вправо. Если знаков после запятой не хватает, нужно дописать справа нули ($7,1 = 7,100$).
$7,1 : 0,001 = 7100$
Проверка: $7100 \times 0,001 = 7,1$.
Ответ: 7100

ВЫЧИСЛИТЕ (ОТР. 543);

5.47. а) $6 : 0,1;$

б) $7 : 0,001;$

в) $8 : 0,001;$

г) $35 : 0,1;$

д) $49 : 0,01;$

е) $56 : 0,001.$

Для того чтобы разделить число на десятичную дробь, необходимо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их стоит после запятой в делителе. После этого выполнить деление на получившееся натуральное число.

а) 6 : 0,1

В делителе 0,1 один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо и в делимом (6), и в делителе (0,1). Это эквивалентно умножению обоих чисел на 10.

$6 : 0,1 = (6 \times 10) : (0,1 \times 10) = 60 : 1 = 60$

Ответ: 60

б) 7 : 0,001

В делителе 0,001 три знака после запятой. Перенесем запятую на три знака вправо в обоих числах, что равносильно их умножению на 1000.

$7 : 0,001 = (7 \times 1000) : (0,001 \times 1000) = 7000 : 1 = 7000$

Ответ: 7000

в) 8 : 0,001

В делителе 0,001 три знака после запятой. Переносим запятую на три знака вправо в делимом и делителе (умножаем на 1000).

$8 : 0,001 = (8 \times 1000) : (0,001 \times 1000) = 8000 : 1 = 8000$

Ответ: 8000

г) 35 : 0,1

В делителе 0,1 один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо в обоих числах (умножаем на 10).

$35 : 0,1 = (35 \times 10) : (0,1 \times 10) = 350 : 1 = 350$

Ответ: 350

д) 49 : 0,01

В делителе 0,01 два знака после запятой. Переносим запятую на два знака вправо в обоих числах (умножаем на 100).

$49 : 0,01 = (49 \times 100) : (0,01 \times 100) = 4900 : 1 = 4900$

Ответ: 4900

е) 56 : 0,001

В делителе 0,001 три знака после запятой. Переносим запятую на три знака вправо в обоих числах (умножаем на 1000).

$56 : 0,001 = (56 \times 1000) : (0,001 \times 1000) = 56000 : 1 = 56000$

Ответ: 56000

5.48 a) $1 : 0,2$;

б) $1 : 0,25$;

в) $1 : 0,125$;

г) $1 : 0,4$;

д) $1 : 0,5$.

а) Для выполнения деления на десятичную дробь 0,2, можно преобразовать её в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $1 : \frac{1}{5} = 1 \cdot \frac{5}{1} = 5$. Другой способ заключается в том, чтобы умножить и делимое, и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом: $(1 \cdot 10) : (0,2 \cdot 10) = 10 : 2 = 5$.

Ответ: 5

б) Чтобы найти частное от деления 1 на 0,25, представим 0,25 в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Тогда $1 : 0,25 = 1 : \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4$. Альтернативно, можно умножить делимое и делитель на 100: $(1 \cdot 100) : (0,25 \cdot 100) = 100 : 25 = 4$.

Ответ: 4

в) Для решения примера 1 : 0,125, преобразуем делитель в обыкновенную дробь: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Тогда $1 : 0,125 = 1 : \frac{1}{8} = 1 \cdot 8 = 8$. Другой способ — умножить делимое и делитель на 1000: $(1 \cdot 1000) : (0,125 \cdot 1000) = 1000 : 125 = 8$.

Ответ: 8

г) Чтобы найти частное от деления 1 на 0,4, представим 0,4 в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Тогда $1 : 0,4 = 1 : \frac{2}{5} = 1 \cdot \frac{5}{2} = 2,5$. Также можно умножить делимое и делитель на 10: $(1 \cdot 10) : (0,4 \cdot 10) = 10 : 4 = 2,5$.

Ответ: 2,5

д) Для решения примера 1 : 0,5, преобразуем делитель 0,5 в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Тогда $1 : 0,5 = 1 : \frac{1}{2} = 1 \cdot 2 = 2$. Альтернативно, можно умножить делимое и делитель на 10: $(1 \cdot 10) : (0,5 \cdot 10) = 10 : 5 = 2$.

Ответ: 2

5.49. Как изменится частное, если:

а) делимое увеличить в 5 раз;

б) делитель увеличить в 3 раза;

в) делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз?

Для решения этой задачи обозначим исходное делимое как $a$, делитель как $b$, а частное как $c$. Их связь выражается формулой: $c = a / b$.

а) делимое увеличить в 5 раз;

Если делимое увеличить в 5 раз, то новое делимое будет равно $5a$. Делитель $b$ останется без изменений. Найдем новое частное $c_1$:

$c_1 = \frac{5a}{b} = 5 \cdot \frac{a}{b} = 5c$

Таким образом, частное увеличится в 5 раз.

Ответ: частное увеличится в 5 раз.

б) делитель увеличить в 3 раза;

Если делитель увеличить в 3 раза, то новый делитель будет равен $3b$. Делимое $a$ останется без изменений. Найдем новое частное $c_2$:

$c_2 = \frac{a}{3b} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{b} = \frac{c}{3}$

Таким образом, частное уменьшится в 3 раза.

Ответ: частное уменьшится в 3 раза.

в) делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз?

Пусть делимое и делитель увеличили в $k$ раз, где $k$ - любое число, не равное нулю. Новое делимое будет равно $k \cdot a$, а новый делитель - $k \cdot b$. Найдем новое частное $c_3$:

$c_3 = \frac{k \cdot a}{k \cdot b}$

Так как $k$ является общим множителем в числителе и знаменателе, его можно сократить:

$c_3 = \frac{a}{b} = c$

Таким образом, частное не изменится. Это следует из основного свойства дроби.

Ответ: частное не изменится.

Вычислите (5.50-5.51):

5.50. а) $48 : 4,8$; б) $536 : 5,36$; в) $921 : 92,1$;

г) $39 : 0,39$; д) $4 : 0,4$; е) $999 : 99,9$.

а) Для того чтобы разделить число $48$ на десятичную дробь $4,8$, необходимо преобразовать делитель в целое число. Для этого умножим и делимое, и делитель на $10$, так как в делителе один знак после запятой. Эта операция равносильна переносу запятой на один знак вправо в обоих числах.
$48 : 4,8 = (48 \cdot 10) : (4,8 \cdot 10) = 480 : 48$.
Теперь выполним деление целых чисел:
$480 : 48 = 10$.
Ответ: 10.

б) В этом примере делитель $5,36$ имеет два знака после запятой. Чтобы сделать его целым числом, умножим и делимое, и делитель на $100$.
$536 : 5,36 = (536 \cdot 100) : (5,36 \cdot 100) = 53600 : 536$.
Выполним деление:
$53600 : 536 = 100$.
Ответ: 100.

в) Делитель $92,1$ имеет один знак после запятой. Умножим делимое и делитель на $10$, чтобы делитель стал целым числом.
$921 : 92,1 = (921 \cdot 10) : (92,1 \cdot 10) = 9210 : 921$.
Выполним деление:
$9210 : 921 = 10$.
Ответ: 10.

г) Делитель $0,39$ имеет два знака после запятой. Умножим делимое и делитель на $100$.
$39 : 0,39 = (39 \cdot 100) : (0,39 \cdot 100) = 3900 : 39$.
Выполним деление:
$3900 : 39 = 100$.
Ответ: 100.

д) Делитель $0,4$ имеет один знак после запятой. Умножим делимое и делитель на $10$.
$4 : 0,4 = (4 \cdot 10) : (0,4 \cdot 10) = 40 : 4$.
Выполним деление:
$40 : 4 = 10$.
Ответ: 10.

е) Делитель $99,9$ имеет один знак после запятой. Умножим делимое и делитель на $10$.
$999 : 99,9 = (999 \cdot 10) : (99,9 \cdot 10) = 9990 : 999$.
Выполним деление:
$9990 : 999 = 10$.
Ответ: 10.

5.51. а) $53,6 : 5,36$;

б) $5,36 : 0,01$;

в) $72,34 : 7,234$;

г) $7,234 : 0,01$;

д) $372,9 : 3,729$;

е) $3,729 : 0,1$.

а) Чтобы разделить 53,6 на 5,36, можно избавиться от дроби в делителе. Для этого нужно перенести запятую в делителе и делимом на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. В делителе 5,36 два знака после запятой, поэтому переносим запятую на 2 знака вправо в обоих числах. $ 53,6 : 5,36 = 5360 : 536 $. Теперь выполним деление: $ 5360 : 536 = 10 $.

Ответ: 10

б) Чтобы разделить число на 0,01, нужно перенести запятую в этом числе на два знака вправо (так как в делителе 0,01 два знака после запятой). $ 5,36 : 0,01 = 536 $.

Ответ: 536

в) Чтобы разделить 72,34 на 7,234, перенесем запятую в делителе и делимом на 3 знака вправо (по количеству знаков после запятой в делителе 7,234). $ 72,34 : 7,234 = 72340 : 7234 $. Выполним деление: $ 72340 : 7234 = 10 $.

Ответ: 10

г) Чтобы разделить число на 0,01, нужно перенести запятую в этом числе на два знака вправо. $ 7,234 : 0,01 = 723,4 $.

Ответ: 723,4

д) Чтобы разделить 372,9 на 3,729, перенесем запятую в делителе и делимом на 3 знака вправо. $ 372,9 : 3,729 = 372900 : 3729 $. Выполним деление: $ 372900 : 3729 = 100 $.

Ответ: 100

е) Чтобы разделить число на 0,1, нужно перенести запятую в этом числе на один знак вправо (так как в делителе 0,1 один знак после запятой). $ 3,729 : 0,1 = 37,29 $.

Ответ: 37,29

Выполните деление, проверьте результат (5.52–5.53):

5.52. а) $4 : 0,5$;

б) $3 : 0,2$;

в) $2 : 0,02$;

г) $14 : 0,07$;

д) $12 : 0,004$;

е) $10 : 0,005$.

а) Чтобы разделить целое число на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делителе вправо до тех пор, пока он не станет целым числом, и на столько же знаков перенести запятую вправо в делимом. Если в делимом не хватает знаков, дописываем нули.
В выражении $4 : 0,5$ переносим запятую на один знак вправо в обоих числах: $40 : 5$.
$4 : 0,5 = 40 : 5 = 8$.
Проверка: Умножим полученное частное на делитель: $8 \cdot 0,5 = 4$. Результат совпадает с делимым, значит, деление выполнено верно.
Ответ: 8.

б) В выражении $3 : 0,2$ переносим запятую на один знак вправо в обоих числах: $30 : 2$.
$3 : 0,2 = 30 : 2 = 15$.
Проверка: $15 \cdot 0,2 = 3$. Результат верный.
Ответ: 15.

в) В выражении $2 : 0,02$ переносим запятую на два знака вправо в обоих числах: $200 : 2$.
$2 : 0,02 = 200 : 2 = 100$.
Проверка: $100 \cdot 0,02 = 2$. Результат верный.
Ответ: 100.

г) В выражении $14 : 0,07$ переносим запятую на два знака вправо в обоих числах: $1400 : 7$.
$14 : 0,07 = 1400 : 7 = 200$.
Проверка: $200 \cdot 0,07 = 14$. Результат верный.
Ответ: 200.

д) В выражении $12 : 0,004$ переносим запятую на три знака вправо в обоих числах: $12000 : 4$.
$12 : 0,004 = 12000 : 4 = 3000$.
Проверка: $3000 \cdot 0,004 = 12$. Результат верный.
Ответ: 3000.

е) В выражении $10 : 0,005$ переносим запятую на три знака вправо в обоих числах: $10000 : 5$.
$10 : 0,005 = 10000 : 5 = 2000$.
Проверка: $2000 \cdot 0,005 = 10$. Результат верный.
Ответ: 2000.

5.53. а) $7.6 : 0.2$;

г) $0.49 : 0.7$;

б) $6.3 : 0.3$;

д) $0.01 : 0.05$;

В) $0.64 : 3.2$;

е) $0.004 : 0.8$.

а) Чтобы разделить десятичную дробь 7,6 на десятичную дробь 0,2, необходимо сделать делитель целым числом. Для этого нужно перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе. В делителе 0,2 один знак после запятой, поэтому переносим запятую вправо на один знак и в делимом, и в делителе. Эта операция равносильна умножению обоих чисел на 10.
$7,6 : 0,2 = (7,6 \cdot 10) : (0,2 \cdot 10) = 76 : 2$.
Теперь выполним деление целых чисел:
$76 : 2 = 38$.
Ответ: 38

б) В этом примере, как и в предыдущем, в делителе 0,3 один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо в делимом 6,3 и делителе 0,3.
$6,3 : 0,3 = (6,3 \cdot 10) : (0,3 \cdot 10) = 63 : 3$.
Выполним деление:
$63 : 3 = 21$.
Ответ: 21

в) В делителе 3,2 один знак после запятой. Поэтому переносим запятую на один знак вправо и в делимом 0,64, и в делителе 3,2.
$0,64 : 3,2 = (0,64 \cdot 10) : (3,2 \cdot 10) = 6,4 : 32$.
Теперь разделим 6,4 на 32. Целая часть делимого (6) меньше делителя (32), поэтому в частном ставим 0 и запятую. Далее делим 64 на 32.
$64 : 32 = 2$.
Таким образом, $6,4 : 32 = 0,2$.
Ответ: 0,2

г) В делителе 0,7 один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо в обоих числах.
$0,49 : 0,7 = (0,49 \cdot 10) : (0,7 \cdot 10) = 4,9 : 7$.
Целая часть делимого (4) меньше делителя (7), поэтому в частном ставим 0 и запятую. Затем делим 49 на 7.
$49 : 7 = 7$.
Следовательно, $4,9 : 7 = 0,7$.
Ответ: 0,7

д) В делителе 0,05 два знака после запятой. Поэтому переносим запятую на два знака вправо в делимом 0,01 и в делителе 0,05. Это равносильно умножению на 100.
$0,01 : 0,05 = (0,01 \cdot 100) : (0,05 \cdot 100) = 1 : 5$.
Выполним деление:
$1 : 5 = 0,2$.
Ответ: 0,2

е) В делителе 0,8 один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо в делимом 0,004 и в делителе 0,8.
$0,004 : 0,8 = (0,004 \cdot 10) : (0,8 \cdot 10) = 0,04 : 8$.
Теперь разделим 0,04 на 8. Можно представить это деление в виде дроби:
$0,04 : 8 = \frac{0,04}{8} = \frac{4/100}{8} = \frac{4}{100 \cdot 8} = \frac{4}{800} = \frac{1}{200}$.
Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, приведем знаменатель к 1000, умножив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{1}{200} = \frac{1 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{5}{1000} = 0,005$.
Ответ: 0,005