Страница 198 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.76. a) $(1\frac{3}{8} + 1\frac{3}{4} - 0.411) : 0.59$;

б) $(6\frac{7}{15} - 1.4) : (2\frac{4}{5} + 1.2)$;

В) $12.8 \cdot \frac{1}{4} : (\frac{3}{4} - 0.125)$;

Г) $1\frac{17}{18} \cdot (3\frac{1}{4} - 2.95) : 3.5$.

а)

Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в десятичные дроби.

1) $1\frac{3}{8} = 1 + 3:8 = 1,375$

2) $1\frac{3}{4} = 1 + 3:4 = 1,75$

3) $1,375 + 1,75 = 3,125$

4) $3,125 - 0,411 = 2,714$

Теперь выполним деление результата, полученного в скобках, на $0,59$.

5) $2,714 : 0,59 = 4,6$

Ответ: $4,6$

б)

Решим по действиям. Сначала вычислим значения выражений в каждой из скобок, а затем разделим результаты.

1) Вычислим значение первого выражения в скобках, преобразовав десятичную дробь в обыкновенную:

$6\frac{7}{15} - 1,4 = 6\frac{7}{15} - 1\frac{4}{10} = 6\frac{7}{15} - 1\frac{2}{5} = 6\frac{7}{15} - 1\frac{6}{15} = 5\frac{1}{15}$

2) Вычислим значение второго выражения в скобках, преобразовав десятичную дробь в обыкновенную:

$2\frac{4}{5} + 1,2 = 2\frac{4}{5} + 1\frac{2}{10} = 2\frac{4}{5} + 1\frac{1}{5} = 3\frac{5}{5} = 4$

3) Выполним деление результатов:

$5\frac{1}{15} : 4 = \frac{76}{15} : 4 = \frac{76}{15 \cdot 4} = \frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$

Ответ: $1\frac{4}{15}$

в)

Решим по действиям, соблюдая их порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо.

1) Вычислим значение выражения в скобках, преобразовав обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{3}{4} - 0,125 = 0,75 - 0,125 = 0,625$

2) Выполним умножение:

$12,8 \cdot \frac{1}{4} = 12,8 : 4 = 3,2$

3) Выполним деление:

$3,2 : 0,625 = 3200 : 625 = 5,12$

Ответ: $5,12$

г)

Решим по действиям, соблюдая их порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо.

1) Вычислим значение выражения в скобках, преобразовав смешанное число в десятичную дробь:

$3\frac{1}{4} - 2,95 = 3,25 - 2,95 = 0,3$

2) Выполним умножение. Для удобства преобразуем все числа в обыкновенные дроби:

$1\frac{17}{18} \cdot 0,3 = \frac{18 \cdot 1 + 17}{18} \cdot \frac{3}{10} = \frac{35}{18} \cdot \frac{3}{10} = \frac{35 \cdot 3}{18 \cdot 10} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 3}{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{7}{12}$

3) Выполним деление, преобразовав десятичную дробь в обыкновенную:

$\frac{7}{12} : 3,5 = \frac{7}{12} : \frac{7}{2} = \frac{7}{12} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

5.77. Решите уравнение:

а) $x - 3\frac{1}{2} = 6{,}1;$

б) $2{,}5x + 6{,}3 = 7\frac{1}{3};$

в) $2\frac{2}{3}x - 5{,}1 = 3{,}7;$

г) $1{,}5x + 2\frac{1}{3} = 2{,}5.$

а) $x - 3\frac{1}{2} = 6,1$
Для решения уравнения представим все числа в одном виде. В данном случае удобнее использовать десятичные дроби.
Переведем смешанное число $3\frac{1}{2}$ в десятичную дробь:
$3\frac{1}{2} = 3,5$
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
$x - 3,5 = 6,1$
Чтобы найти $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое. Перенесем $-3,5$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x = 6,1 + 3,5$
$x = 9,6$
Ответ: $9,6$.

б) $2,5x + 6,3 = 7\frac{1}{3}$
В этом уравнении присутствует смешанное число $7\frac{1}{3}$, которое при переводе в десятичную дробь дает бесконечную периодическую дробь ($7,333...$). Поэтому для точного решения переведем все числа в обыкновенные дроби.
$2,5 = 2\frac{5}{10} = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
$6,3 = 6\frac{3}{10} = \frac{63}{10}$
$7\frac{1}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{22}{3}$
Уравнение примет вид:
$\frac{5}{2}x + \frac{63}{10} = \frac{22}{3}$
Перенесем $\frac{63}{10}$ в правую часть уравнения:
$\frac{5}{2}x = \frac{22}{3} - \frac{63}{10}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $30$:
$\frac{5}{2}x = \frac{22 \cdot 10}{30} - \frac{63 \cdot 3}{30}$
$\frac{5}{2}x = \frac{220 - 189}{30}$
$\frac{5}{2}x = \frac{31}{30}$
Чтобы найти $x$, разделим правую часть на коэффициент при $x$, то есть умножим на обратную дробь $\frac{2}{5}$:
$x = \frac{31}{30} \cdot \frac{2}{5}$
Сократим $2$ и $30$ на $2$:
$x = \frac{31}{15} \cdot \frac{1}{5} = \frac{31}{75}$
Ответ: $\frac{31}{75}$.

в) $2\frac{2}{3}x - 5,1 = 3,7$
Так как коэффициент $2\frac{2}{3}$ является бесконечной десятичной дробью, переведем все числа в уравнении в обыкновенные дроби.
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
$5,1 = 5\frac{1}{10} = \frac{51}{10}$
$3,7 = 3\frac{7}{10} = \frac{37}{10}$
Подставим эти значения в уравнение:
$\frac{8}{3}x - \frac{51}{10} = \frac{37}{10}$
Перенесем $\frac{51}{10}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$\frac{8}{3}x = \frac{37}{10} + \frac{51}{10}$
Сложим дроби в правой части:
$\frac{8}{3}x = \frac{37+51}{10}$
$\frac{8}{3}x = \frac{88}{10}$
Сократим дробь $\frac{88}{10}$ на $2$: $\frac{44}{5}$.
$\frac{8}{3}x = \frac{44}{5}$
Найдем $x$, умножив правую часть на дробь, обратную коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{3}{8}$:
$x = \frac{44}{5} \cdot \frac{3}{8}$
Сократим $44$ и $8$ на $4$:
$x = \frac{11}{5} \cdot \frac{3}{2}$
$x = \frac{33}{10} = 3,3$
Ответ: $3,3$.

г) $1,5x + 2\frac{1}{3} = 2,5$
Снова переведем все числа в обыкновенные дроби для точности вычислений.
$1,5 = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$2,5 = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
Уравнение примет вид:
$\frac{3}{2}x + \frac{7}{3} = \frac{5}{2}$
Перенесем $\frac{7}{3}$ в правую часть:
$\frac{3}{2}x = \frac{5}{2} - \frac{7}{3}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $6$:
$\frac{3}{2}x = \frac{5 \cdot 3}{6} - \frac{7 \cdot 2}{6}$
$\frac{3}{2}x = \frac{15 - 14}{6}$
$\frac{3}{2}x = \frac{1}{6}$
Найдем $x$, умножив обе части на $\frac{2}{3}$:
$x = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$
Сократим $2$ и $6$ на $2$:
$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$.

5.78. Решите пропорцию:

а) $\frac{x}{4,9} = \frac{1,5}{2,1}$

б) $\frac{1,8}{x} = \frac{0,36}{3,2}$

в) $\frac{2,7}{25} = \frac{x}{1,25}$

г) $x : 4,2 = \frac{3}{2} : 6,3$

д) $x : 3,8 = \frac{4}{5} : 1,9$

е) $2,5 : x = 3\frac{1}{3} : 1,2$

ж) $2\frac{1}{3} : x = 3,5 : 1,5$

з) $2x : 3,5 = 8 : 7$

и) $1,2x : 8 = 0,36 : 5$

а) $\frac{x}{4,9} = \frac{1,5}{2,1}$
Для решения пропорции воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$x \cdot 2,1 = 4,9 \cdot 1,5$
$2,1x = 7,35$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2,1:
$x = \frac{7,35}{2,1}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{73,5}{21}$
$x = 3,5$
Ответ: $x = 3,5$.

б) $\frac{1,8}{x} = \frac{0,36}{3,2}$
По основному свойству пропорции:
$1,8 \cdot 3,2 = x \cdot 0,36$
$5,76 = 0,36x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,36:
$x = \frac{5,76}{0,36}$
Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дробей:
$x = \frac{576}{36}$
$x = 16$
Ответ: $x = 16$.

в) $\frac{2,7}{25} = \frac{x}{1,25}$
По основному свойству пропорции:
$2,7 \cdot 1,25 = 25 \cdot x$
$3,375 = 25x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 25:
$x = \frac{3,375}{25}$
$x = 0,135$
Ответ: $x = 0,135$.

г) $x : 4,2 = \frac{3}{2} : 6,3$
Запишем пропорцию в виде дробей и преобразуем $\frac{3}{2}$ в десятичную дробь (1,5):
$\frac{x}{4,2} = \frac{1,5}{6,3}$
По основному свойству пропорции:
$x \cdot 6,3 = 4,2 \cdot 1,5$
$6,3x = 6,3$
$x = \frac{6,3}{6,3}$
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

д) $x : 3,8 = \frac{4}{5} : 1,9$
Запишем пропорцию в виде дробей и преобразуем $\frac{4}{5}$ в десятичную дробь (0,8):
$\frac{x}{3,8} = \frac{0,8}{1,9}$
По основному свойству пропорции:
$x \cdot 1,9 = 3,8 \cdot 0,8$
$1,9x = 3,04$
$x = \frac{3,04}{1,9}$
$x = \frac{30,4}{19}$
$x = 1,6$
Ответ: $x = 1,6$.

е) $2,5 : x = 3\frac{1}{3} : 1,2$
Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Запишем пропорцию в виде дробей:
$\frac{2,5}{x} = \frac{10/3}{1,2}$
По основному свойству пропорции:
$2,5 \cdot 1,2 = x \cdot \frac{10}{3}$
$3 = \frac{10}{3}x$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{10}$:
$x = 3 \cdot \frac{3}{10}$
$x = \frac{9}{10} = 0,9$
Ответ: $x = 0,9$.

ж) $2\frac{1}{3} : x = 3,5 : 1,5$
Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Запишем пропорцию в виде дробей:
$\frac{7/3}{x} = \frac{3,5}{1,5}$
Упростим правую часть отношения: $\frac{3,5}{1,5} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3}$.
Пропорция принимает вид:
$\frac{7/3}{x} = \frac{7}{3}$
Из этого равенства очевидно, что знаменатели должны быть равны, следовательно $x=1$.
Можно также решить по основному свойству пропорции:
$\frac{7}{3} \cdot 1,5 = x \cdot 3,5$
$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{2} = x \cdot \frac{7}{2}$
$\frac{7}{2} = \frac{7}{2}x$
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

з) $2x : 3,5 = 8 : 7$
Запишем пропорцию в виде дробей:
$\frac{2x}{3,5} = \frac{8}{7}$
По основному свойству пропорции:
$2x \cdot 7 = 3,5 \cdot 8$
$14x = 28$
$x = \frac{28}{14}$
$x = 2$
Ответ: $x = 2$.

и) $1,2x : 8 = 0,36 : 5$
Запишем пропорцию в виде дробей:
$\frac{1,2x}{8} = \frac{0,36}{5}$
По основному свойству пропорции:
$1,2x \cdot 5 = 8 \cdot 0,36$
$6x = 2,88$
$x = \frac{2,88}{6}$
$x = 0,48$
Ответ: $x = 0,48$.