Страница 204 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.105. Кусок сплава массой 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

Для того чтобы определить процентное содержание олова в полученном сплаве, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем массу чистого олова в первоначальном куске сплава.
Масса сплава составляет 700 г, а содержание олова в нем — 80 %. Чтобы найти массу олова, нужно массу сплава умножить на долю олова:

$m_{олова1} = 700 \text{ г} \times \frac{80}{100} = 700 \times 0.8 = 560 \text{ г}$

Таким образом, в первоначальном сплаве содержалось 560 г олова.

2. Найдем общую массу нового сплава.
Новый сплав получен путем сплавления первоначального куска массой 700 г и куска олова весом 300 г. Общая масса составит:

$m_{общая} = 700 \text{ г} + 300 \text{ г} = 1000 \text{ г}$

3. Найдем общую массу олова в новом сплаве.
Она складывается из массы олова в первом куске (560 г) и массы добавленного чистого олова (300 г):

$m_{олова\_общая} = 560 \text{ г} + 300 \text{ г} = 860 \text{ г}$

4. Определим процентное содержание олова в полученном сплаве.
Для этого разделим общую массу олова на общую массу нового сплава и умножим результат на 100 %:

$\text{Процент олова} = \frac{m_{олова\_общая}}{m_{общая}} \times 100\% = \frac{860}{1000} \times 100\% = 0.86 \times 100\% = 86\%$

Ответ: процентное содержание олова в полученном сплаве составляет 86 %.

5.106. Имеется 500 г раствора, содержащего 40 % кислоты. Сколько воды требуется добавить в раствор, чтобы он стал содержать 25 % кислоты?

Для решения задачи сначала определим, сколько граммов кислоты содержится в исходном растворе. Масса раствора — 500 г, а концентрация кислоты — 40%.

1. Находим массу кислоты в исходном растворе.
Чтобы найти массу вещества в растворе, нужно массу раствора умножить на его концентрацию, выраженную в долях.$40\% = 0.40$
Масса кислоты = $500 \text{ г} \times 0.40 = 200 \text{ г}$.
Таким образом, в 500 г раствора содержится 200 г кислоты.

2. Составляем уравнение для нового раствора.
При добавлении воды масса кислоты в растворе не меняется, она остается равной 200 г. Изменяется общая масса раствора и, как следствие, процентное содержание кислоты.Пусть $x$ — это масса воды (в граммах), которую нужно добавить.Тогда новая масса раствора станет $(500 + x)$ г.Новая концентрация кислоты должна составить 25%, или 0.25 в долях.Концентрация вычисляется по формуле:$Концентрация = \frac{Масса\_кислоты}{Масса\_раствора}$
Подставим наши значения в формулу:$0.25 = \frac{200}{500 + x}$

3. Решаем уравнение и находим x.
$0.25 \times (500 + x) = 200$
$0.25 \times 500 + 0.25x = 200$
$125 + 0.25x = 200$
$0.25x = 200 - 125$
$0.25x = 75$
$x = \frac{75}{0.25}$
$x = 300$
Следовательно, для получения 25% раствора кислоты необходимо добавить 300 г воды.

Ответ: 300 г.

5.107. В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на $2\%$, во второй день он перевыполнил дневное задание на $4\%$. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

Для решения задачи примем дневное задание (норму) за $x$.

1. Определим, сколько работы выполнил рабочий в первый день. Он перевыполнил норму на 2%, следовательно, он выполнил $100\% + 2\% = 102\%$ от нормы. В долях это составляет $1.02x$.

2. Определим, сколько работы выполнил рабочий во второй день. Он перевыполнил норму на 4%, следовательно, он выполнил $100\% + 4\% = 104\%$ от нормы. В долях это составляет $1.04x$.

3. Найдем общее плановое задание за два дня. Плановое задание за два дня равно сумме дневных заданий: $x + x = 2x$.

4. Найдем общее количество выполненной работы за два дня. Суммируем работу, выполненную в первый и второй день: $1.02x + 1.04x = 2.06x$.

5. Вычислим, на сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней. Для этого найдем отношение абсолютного перевыполнения ($2.06x - 2x = 0.06x$) к плановому заданию за два дня ($2x$) и выразим его в процентах.
$\frac{2.06x - 2x}{2x} \times 100\% = \frac{0.06x}{2x} \times 100\% = 0.03 \times 100\% = 3\%$.

Также можно найти средний процент перевыполнения за два дня, так как дневная норма была одинаковой:
$\frac{2\% + 4\%}{2} = \frac{6\%}{2} = 3\%$.

Ответ: рабочий перевыполнил задание двух дней на 3%.

5.108. В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

Для решения задачи обозначим количество мальчиков в спортивной секции за $М$.

Согласно условию, количество девочек ($Д$) составляет 60% от числа мальчиков. Выразим это в виде формулы, предварительно переведя проценты в десятичную дробь: $60\% = 0.6$.

$Д = 0.6 \times М$

Теперь найдем общее количество участников в секции ($В$), которое является суммой количества мальчиков и девочек:

$В = М + Д$

Подставим в эту формулу выражение для $Д$ через $М$:

$В = М + 0.6 \times М = (1 + 0.6) \times М = 1.6 \times М$

Чтобы найти, какую долю от общего числа участников составляют девочки, нужно разделить количество девочек на общее количество участников:

Доля девочек $= \frac{Д}{В} = \frac{0.6 \times М}{1.6 \times М}$

Переменная $М$ в числителе и знаменателе сокращается:

Доля девочек $= \frac{0.6}{1.6} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим ее на 100%:

Процент девочек $= \frac{3}{8} \times 100\% = 0.375 \times 100\% = 37.5\%$

Ответ: 37,5%