Страница 203 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.95. Сбербанк России с 1 октября 1993 года начислял доход из расчёта: 150 % за хранение денег в банке в течение года; 65 % за хранение денег в банке в течение 6 месяцев; 30 % за хранение денег в банке в течение 3 месяцев. Каким образом при этих условиях можно было получить наибольший доход на сумму 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

Для того чтобы определить, каким образом можно получить наибольший доход, необходимо рассчитать и сравнить итоговую сумму через год для каждой из предложенных стратегий вложения 100 000 рублей. Будем исходить из того, что при вкладах на срок менее года вся сумма (вклад и начисленные проценты) реинвестируется на следующий период.

Рассмотрим все возможные стратегии в течение одного года (12 месяцев):

1. Вклад на 1 год.

Процентная ставка составляет 150 % за год. Итоговая сумма в конце года будет:

$S_1 = 100 \, 000 \times (1 + \frac{150}{100}) = 100 \, 000 \times 2.5 = 250 \, 000 \text{ рублей.}$

Доход: $Д_1 = 250 \, 000 - 100 \, 000 = 150 \, 000 \text{ рублей.}$

2. Два последовательных вклада по 6 месяцев.

Процентная ставка составляет 65 % за 6 месяцев. В течение года можно сделать два таких вклада подряд, реинвестируя всю сумму.

Итоговая сумма в конце года рассчитывается по формуле сложных процентов:

$S_2 = 100 \, 000 \times (1 + \frac{65}{100})^2 = 100 \, 000 \times (1.65)^2 = 100 \, 000 \times 2.7225 = 272 \, 250 \text{ рублей.}$

Доход: $Д_2 = 272 \, 250 - 100 \, 000 = 172 \, 250 \text{ рублей.}$

3. Четыре последовательных вклада по 3 месяца.

Процентная ставка составляет 30 % за 3 месяца. В течение года можно сделать четыре таких вклада подряд.

Итоговая сумма будет рассчитана по формуле сложных процентов:

$S_3 = 100 \, 000 \times (1 + \frac{30}{100})^4 = 100 \, 000 \times (1.3)^4 = 100 \, 000 \times 2.8561 = 285 \, 610 \text{ рублей.}$

Доход: $Д_3 = 285 \, 610 - 100 \, 000 = 185 \, 610 \text{ рублей.}$

4. Смешанная стратегия (один вклад на 6 месяцев и два на 3 месяца).

Такая комбинация также покрывает ровно год. Порядок вложения не влияет на итоговый результат. Общая сумма в конце года:

$S_4 = 100 \, 000 \times (1 + \frac{65}{100})^1 \times (1 + \frac{30}{100})^2 = 100 \, 000 \times 1.65 \times 1.69 = 278 \, 850 \text{ рублей.}$

Доход: $Д_4 = 278 \, 850 - 100 \, 000 = 178 \, 850 \text{ рублей.}$

Сравнивая полученные доходы ($150 \, 000 < 172 \, 250 < 178 \, 850 < 185 \, 610$), мы видим, что максимальный доход достигается при четырехкратном вложении денег на 3 месяца.

Каким образом при этих условиях можно было получить наибольший доход на сумму 100 000 р.?

Чтобы получить наибольший доход, необходимо было вложить сумму 100 000 рублей на 3 месяца под 30%. По истечении этого срока всю полученную сумму (первоначальный вклад плюс начисленные проценты) снова вложить на 3 месяца на тех же условиях и повторить эту операцию еще два раза. Таким образом, в течение года совершается четыре последовательных трехмесячных вклада с капитализацией процентов.

Ответ: Наибольший доход можно было получить, вкладывая деньги четыре раза подряд на срок 3 месяца с реинвестированием всей суммы после каждого срока.

Каков этот наибольший доход?

Расчет наибольшего дохода был произведен при анализе стратегии с четырьмя вкладами по 3 месяца. Итоговая сумма на счете через год составит 285 610 рублей. Наибольший доход — это разница между итоговой и начальной суммой:

$Д_{макс} = 285 \, 610 - 100 \, 000 = 185 \, 610 \text{ рублей.}$

Ответ: Наибольший доход составляет 185 610 рублей.

5.96. Обломов похудел на 25 %, потом прибавил в весе на 20 %, похудел на 10 %, потом прибавил в весе на 20 %. Прибавил Обломов в весе или похудел?

Чтобы определить, прибавил Обломов в весе или похудел, необходимо последовательно рассчитать изменение его веса. Обозначим первоначальный вес Обломова как $x$.

Можно представить все изменения веса как последовательное умножение на коэффициенты:

• Похудение на 25% — это умножение на $(1 - 0.25) = 0.75$.
• Прибавка в весе на 20% — это умножение на $(1 + 0.20) = 1.2$.
• Похудение на 10% — это умножение на $(1 - 0.10) = 0.9$.
• Прибавка в весе на 20% — это умножение на $(1 + 0.20) = 1.2$.

Теперь найдем итоговый вес, перемножив первоначальный вес на все эти коэффициенты:

Итоговый вес $= x \cdot 0.75 \cdot 1.2 \cdot 0.9 \cdot 1.2$

Выполним вычисления по шагам:

1. После похудения на 25% и прибавки на 20%:

$x \cdot 0.75 \cdot 1.2 = 0.9x$

На этом этапе вес Обломова составляет 90% от первоначального.

2. После похудения на 10% и прибавки на 20%:

Теперь берем текущий вес $0.9x$ и применяем к нему оставшиеся изменения:

$0.9x \cdot 0.9 \cdot 1.2 = 0.81x \cdot 1.2 = 0.972x$

Итак, итоговый вес Обломова составил $0.972x$.

Сравнение итогового и первоначального веса:

Первоначальный вес был $x$ (или $1x$), а конечный вес — $0.972x$.

Поскольку $0.972 < 1$, конечный вес меньше начального. Следовательно, Обломов похудел.

Чтобы узнать, на сколько процентов он похудел, найдем разницу между начальным и конечным весом в процентах:

$(1 - 0.972) \cdot 100\% = 0.028 \cdot 100\% = 2.8\%$

Ответ: Обломов похудел (его итоговый вес стал на 2,8% меньше первоначального).

5.97. Служащая фирмы сказала: «Производство продукции нашей фирмы увеличится на 200 %, или в 2 раза. Исправьте её ошибку, если верно условие:

a) на 200 %;

б) в 2 раза.

Служащая фирмы допустила ошибку, так как увеличение на 200 % и увеличение в 2 раза — это не одно и то же. Разберём оба случая, чтобы исправить её высказывание.

а) на 200 %;

Если условие «увеличится на 200 %» верно, нужно найти, во сколько раз увеличится производство.
Пусть первоначальный объём производства — это $P$ (что составляет 100 %).
Увеличение на 200 % означает, что к первоначальному объёму $P$ прибавляется ещё 200 % от $P$.
Новый объём производства будет равен сумме первоначального объёма и его прироста:
$P_{новый} = P + (P \cdot \frac{200}{100}) = P + 2P = 3P$.
Чтобы узнать, во сколько раз увеличилось производство, нужно новый объём разделить на первоначальный:
$\frac{P_{новый}}{P} = \frac{3P}{P} = 3$.
Таким образом, производство увеличится в 3 раза.

Ответ: Производство продукции нашей фирмы увеличится на 200 %, или в 3 раза.

б) в 2 раза.

Если условие «увеличится в 2 раза» верно, нужно найти, на сколько процентов увеличится производство.
Пусть первоначальный объём производства — это $P$.
Увеличение в 2 раза означает, что новый объём станет в два раза больше первоначального:
$P_{новый} = 2 \cdot P$.
Прирост производства составит:
$\Delta P = P_{новый} - P = 2P - P = P$.
Чтобы выразить прирост в процентах, нужно разделить его на первоначальный объём и умножить на 100 %:
$\frac{\Delta P}{P} \cdot 100\% = \frac{P}{P} \cdot 100\% = 1 \cdot 100\% = 100\%$.
Следовательно, производство увеличится на 100 %.

Ответ: Производство продукции нашей фирмы увеличится в 2 раза, или на 100 %.

5.98. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

На сколько процентов увеличилась его площадь?

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле:
$S_1 = a \cdot b$

Увеличим одну пару противоположных сторон, например, стороны длиной $a$, на 10%. Новая длина этих сторон составит:
$a_{новая} = a + a \cdot \frac{10}{100} = a + 0.1a = 1.1a$

Длина другой пары сторон $b$ осталась без изменений. Новая площадь прямоугольника $S_2$ будет равна:
$S_2 = a_{новая} \cdot b = (1.1a) \cdot b = 1.1 \cdot (a \cdot b) = 1.1 \cdot S_1$

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, найдем разницу между новой и старой площадью, разделим ее на старую площадь и умножим на 100%:
$\frac{S_2 - S_1}{S_1} \cdot 100\% = \frac{1.1 S_1 - S_1}{S_1} \cdot 100\% = \frac{0.1 S_1}{S_1} \cdot 100\% = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$

Ответ: площадь увеличилась на 10%.

Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10%?

Рассмотрим второй случай, когда мы увеличиваем на 10% другую пару сторон, длиной $b$. Новая длина этих сторон составит:
$b_{новая} = b + 0.1b = 1.1b$

Длина сторон $a$ остаётся прежней. Новая площадь $S_3$ будет равна:
$S_3 = a \cdot b_{новая} = a \cdot (1.1b) = 1.1 \cdot (a \cdot b) = 1.1 \cdot S_1$

В этом случае новая площадь $S_3$ равна площади $S_2$ из первого случая. Это следует из переместительного свойства умножения: $(1.1 \cdot a) \cdot b = a \cdot (1.1 \cdot b)$. Следовательно, процентное увеличение площади также составит 10%.

Ответ: нет, результат не зависит от того, какую пару сторон увеличили.

5.99. a) Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

б) Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие стороны уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?

а)

Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его первоначальная площадь $S$ равна произведению сторон:

$S = a \cdot b$

После увеличения каждой стороны на 10% новые длины сторон, $a_1$ и $b_1$, будут равны:

$a_1 = a + a \cdot \frac{10}{100} = a + 0.1a = 1.1a$

$b_1 = b + b \cdot \frac{10}{100} = b + 0.1b = 1.1b$

Новая площадь $S_1$ будет равна произведению новых сторон:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = (1.1a) \cdot (1.1b) = 1.21 \cdot (a \cdot b) = 1.21S$

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, найдем разницу между новой и старой площадью, разделим ее на старую площадь и умножим на 100%:

$\frac{S_1 - S}{S} \cdot 100\% = \frac{1.21S - S}{S} \cdot 100\% = \frac{0.21S}{S} \cdot 100\% = 0.21 \cdot 100\% = 21\%$

Ответ: площадь увеличилась на 21%.

б)

Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его площадь $S = a \cdot b$.

Две противоположные стороны (например, со стороной $a$) увеличили на 20%. Новая длина этой стороны, $a_1$, составит:

$a_1 = a + a \cdot \frac{20}{100} = a + 0.2a = 1.2a$

Две другие стороны (со стороной $b$) уменьшили на 20%. Новая длина этой стороны, $b_1$, составит:

$b_1 = b - b \cdot \frac{20}{100} = b - 0.2b = 0.8b$

Новая площадь $S_1$ будет равна:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = (1.2a) \cdot (0.8b) = 0.96 \cdot (a \cdot b) = 0.96S$

Новая площадь составляет 96% от первоначальной. Чтобы найти, на сколько процентов изменилась площадь, вычтем из 100% полученное значение:

$100\% - 96\% = 4\%$

Поскольку новая площадь меньше первоначальной ($0.96S < S$), то площадь уменьшилась.

Ответ: площадь уменьшилась на 4%.

5.100. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие стороны уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

Обозначим первоначальные длины сторон прямоугольника как $a$ и $b$. Тогда его первоначальная площадь $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = a \cdot b$.

По условию задачи, две противоположные стороны (например, стороны с длиной $a$) увеличили на 20%. Новая длина этих сторон, $a'$, будет равна: $a' = a + a \cdot \frac{20}{100} = a + 0.2a = 1.2a$.

Две другие стороны (с длиной $b$) уменьшили на 10%. Их новая длина, $b'$, будет равна: $b' = b - b \cdot \frac{10}{100} = b - 0.1b = 0.9b$.

Площадь нового прямоугольника, $S_2$, будет произведением новых сторон: $S_2 = a' \cdot b' = (1.2a) \cdot (0.9b) = 1.08 \cdot (a \cdot b)$.

Так как $S_1 = a \cdot b$, мы можем выразить новую площадь через первоначальную: $S_2 = 1.08 \cdot S_1$.

Чтобы найти, на сколько процентов изменилась площадь, сравним новую площадь со старой. Новая площадь составляет 1.08 от старой, что равно 108%. Прирост площади в процентах равен: $\frac{S_2 - S_1}{S_1} \cdot 100\% = \frac{1.08S_1 - S_1}{S_1} \cdot 100\% = \frac{0.08S_1}{S_1} \cdot 100\% = 0.08 \cdot 100\% = 8\%$.

Следовательно, площадь прямоугольника увеличилась.

Ответ: на 8%.

5.101. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $L$, а первоначальная ширина — $W$. Тогда его первоначальная площадь $S$ равна произведению длины на ширину:

$S = L \times W$

Длину прямоугольника уменьшили на 20%. Чтобы найти новую длину $L_1$, нужно вычесть 20% от первоначальной длины. 20% — это 0.2 в десятичной форме.

$L_1 = L - 0.2 \times L = 0.8 \times L$

Пусть ширину нужно увеличить на $x$ процентов, чтобы площадь не изменилась. Новая ширина $W_1$ будет равна:

$W_1 = W + \frac{x}{100} \times W = W \times (1 + \frac{x}{100})$

Новая площадь $S_1$ должна быть равна первоначальной площади $S$:

$S_1 = L_1 \times W_1 = S$

Подставим выражения для $L_1$, $W_1$ и $S$ в это равенство:

$(0.8 \times L) \times (W \times (1 + \frac{x}{100})) = L \times W$

Теперь можно сократить обе части уравнения на $L \times W$ (поскольку ни длина, ни ширина не равны нулю):

$0.8 \times (1 + \frac{x}{100}) = 1$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

$1 + \frac{x}{100} = \frac{1}{0.8}$

$1 + \frac{x}{100} = 1.25$

$\frac{x}{100} = 1.25 - 1$

$\frac{x}{100} = 0.25$

$x = 0.25 \times 100 = 25$

Таким образом, ширину прямоугольника необходимо увеличить на 25%.

Ответ: на 25%.

5.102. В драмкружке число мальчиков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $Д$ – это число девочек в драмкружке, а $М$ – число мальчиков.

По условию, число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Переведем проценты в десятичную дробь: $80\% = 0.8$.

Теперь мы можем записать это соотношение в виде формулы:

$М = 0.8 \times Д$

Нам нужно найти, сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков. Это значит, что нам нужно найти отношение числа девочек к числу мальчиков, то есть $\frac{Д}{М}$, и затем умножить его на 100%.

Выразим $Д$ из полученной ранее формулы. Для этого разделим обе части уравнения на 0.8:

$Д = \frac{М}{0.8}$

Теперь найдем отношение $\frac{Д}{М}$:

$\frac{Д}{М} = \frac{\frac{М}{0.8}}{М} = \frac{1}{0.8}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{1}{0.8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$

Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$1.25 \times 100\% = 125\%$

Таким образом, число девочек составляет 125% от числа мальчиков.

Ответ: 125%.

5.103. Имеется 600 г раствора, содержащего 15 % соли. Сколько воды требуется добавить в раствор, чтобы он стал содержать 10 % соли?

Сначала найдем массу соли в исходном 600-граммовом растворе. Концентрация соли составляет 15%, следовательно, масса соли ($m_{соли}$) равна:
$m_{соли} = 600 \text{ г} \times \frac{15}{100} = 600 \times 0.15 = 90 \text{ г}$.

При добавлении воды масса соли в растворе не изменяется, она остается равной 90 г. Изменяется только общая масса раствора и, как следствие, процентное содержание соли.

Пусть $x$ — это масса воды (в граммах), которую нужно добавить. Тогда масса нового раствора станет $(600 + x)$ г. В этом новом растворе масса соли (90 г) должна составлять 10% от общей массы. Составим уравнение:
$\frac{90}{600 + x} = \frac{10}{100}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$\frac{90}{600 + x} = 0.1$
$90 = 0.1 \times (600 + x)$
$90 = 60 + 0.1x$
$90 - 60 = 0.1x$
$30 = 0.1x$
$x = \frac{30}{0.1} = 300$

Таким образом, чтобы концентрация соли в растворе стала 10%, необходимо добавить 300 г воды.

Ответ: 300 г.

5.104. Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, в котором содержится 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов. Сначала найдем массу сахара в исходном растворе, а затем, зная, что эта масса не изменится, вычислим, сколько воды нужно добавить для получения новой концентрации.

1. Находим массу сахара в исходном растворе.
Масса всего раствора составляет 120 г, а концентрация сахара в нем — 30%. Чтобы найти массу сахара, умножим массу раствора на долю сахара:
$m_{сахара} = 120 \text{ г} \cdot 30\% = 120 \text{ г} \cdot 0,3 = 36 \text{ г}$.

2. Определяем массу нового раствора и количество добавленной воды.
При добавлении воды масса сахара в растворе не меняется и остается равной 36 г. В новом растворе эти 36 г сахара должны составлять 20% от его общей массы.
Пусть $x$ — масса воды, которую нужно добавить в граммах. Тогда масса нового раствора станет $(120 + x)$ г.
Составим уравнение, исходя из того, что доля сахара в новом растворе равна 20% (или 0,2):
$\frac{\text{масса сахара}}{\text{масса нового раствора}} = \text{концентрация}$
$\frac{36}{120 + x} = 0,2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$36 = 0,2 \cdot (120 + x)$
$36 = 24 + 0,2x$
$0,2x = 36 - 24$
$0,2x = 12$
$x = \frac{12}{0,2} = 60$

Таким образом, чтобы получить раствор с 20% содержанием сахара, необходимо добавить 60 граммов воды.

Ответ: 60 г.