Страница 196 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.54 а) $0.21 : 0.84;$

б) $0.19 : 0.095;$

в) $3.76 : 0.4;$

г) $7.05 : 1.5;$

д) $3.5 : 0.4;$

е) $25.9 : 3.7.$

а) Чтобы разделить 0,21 на 0,84, нужно избавиться от дроби в делителе. Для этого умножим и делимое, и делитель на 100, так как в делителе два знака после запятой.

$0,21 : 0,84 = (0,21 \times 100) : (0,84 \times 100) = 21 : 84$

Полученное выражение можно представить в виде обыкновенной дроби и сократить ее:

$\frac{21}{84} = \frac{21 \div 21}{84 \div 21} = \frac{1}{4}$

Теперь преобразуем дробь в десятичную:

$\frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25

б) Чтобы разделить 0,19 на 0,095, умножим оба числа на 1000 (так как в делителе 0,095 три знака после запятой), чтобы делитель стал целым числом.

$0,19 : 0,095 = (0,19 \times 1000) : (0,095 \times 1000) = 190 : 95$

Теперь выполним деление целых чисел:

$190 : 95 = 2$

Ответ: 2

в) Для деления 3,76 на 0,4, умножим оба числа на 10, чтобы делитель 0,4 стал целым числом.

$3,76 : 0,4 = (3,76 \times 10) : (0,4 \times 10) = 37,6 : 4$

Теперь разделим 37,6 на 4:

$37,6 : 4 = 9,4$

Ответ: 9,4

г) Чтобы разделить 7,05 на 1,5, умножим делимое и делитель на 10, чтобы делитель 1,5 стал целым.

$7,05 : 1,5 = (7,05 \times 10) : (1,5 \times 10) = 70,5 : 15$

Выполним деление:

$70,5 : 15 = 4,7$

Ответ: 4,7

д) Для деления 3,5 на 0,4, умножим оба числа на 10, чтобы делитель 0,4 стал целым числом.

$3,5 : 0,4 = (3,5 \times 10) : (0,4 \times 10) = 35 : 4$

Разделим 35 на 4:

$35 : 4 = 8,75$

Ответ: 8,75

е) Чтобы разделить 25,9 на 3,7, умножим оба числа на 10, чтобы делитель 3,7 стал целым числом.

$25,9 : 3,7 = (25,9 \times 10) : (3,7 \times 10) = 259 : 37$

Выполним деление 259 на 37:

$259 : 37 = 7$

Ответ: 7

5.55. a) $1,75 : 1,4$;

б) $18,4 : 7,36$;

в) $16,92 : 4,23$;

г) $86,1 : 2,46$;

д) $21,875 : 3,125$;

е) $183,96 : 5,256$.

а) 1,75 : 1,4

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе, чтобы делитель стал целым числом. В делителе (1,4) один знак после запятой, поэтому переносим запятую на один знак вправо в обоих числах.

$1,75 : 1,4 = 17,5 : 14$

Выполним деление столбиком:
Делим $17,5$ на $14$.
- Целая часть $17$ при делении на $14$ дает $1$. Остаток $17 - 14 = 3$.
- В частном ставим запятую. Сносим $5$, получаем $35$.
- $35$ делим на $14$, получаем $2$. Остаток $35 - 14 \times 2 = 35 - 28 = 7$.
- Приписываем ноль к остатку, получаем $70$.
- $70$ делим на $14$, получаем $5$. Остаток $70 - 70 = 0$.
Таким образом, $17,5 : 14 = 1,25$.

Ответ: 1,25

б) 18,4 : 7,36

В делителе (7,36) два знака после запятой. Перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо. В делимом (18,4) дописываем ноль.

$18,4 : 7,36 = 1840 : 736$

Выполним деление $1840$ на $736$:
- $1840$ делим на $736$, берем по $2$. $736 \times 2 = 1472$.
- Остаток: $1840 - 1472 = 368$.
- Целая часть закончилась, ставим запятую в частном и добавляем ноль к остатку, получаем $3680$.
- $3680$ делим на $736$, берем по $5$. $736 \times 5 = 3680$.
- Остаток: $3680 - 3680 = 0$.
Получаем $2,5$.

Ответ: 2,5

в) 16,92 : 4,23

В делителе (4,23) два знака после запятой. Перенесем запятую на два знака вправо в обоих числах.

$16,92 : 4,23 = 1692 : 423$

Выполним деление. Можно подобрать частное. Проверим число $4$:
$423 \times 4 = 1692$.
Следовательно, $1692 : 423 = 4$.

Ответ: 4

г) 86,1 : 2,46

В делителе (2,46) два знака после запятой. Перенесем запятую на два знака вправо в обоих числах, добавив ноль к делимому.

$86,1 : 2,46 = 8610 : 246$

Выполним деление $8610$ на $246$:
- Сначала делим $861$ на $246$. Берем по $3$. $246 \times 3 = 738$.
- Остаток: $861 - 738 = 123$.
- Сносим $0$, получаем $1230$.
- $1230$ делим на $246$. Берем по $5$. $246 \times 5 = 1230$.
- Остаток: $1230 - 1230 = 0$.
Получаем $35$.

Ответ: 35

д) 21,875 : 3,125

В делителе (3,125) три знака после запятой. Перенесем запятую на три знака вправо в обоих числах.

$21,875 : 3,125 = 21875 : 3125$

Выполним деление $21875$ на $3125$. Подберем частное. Проверим число $7$:
$3125 \times 7 = 21875$.
Следовательно, $21875 : 3125 = 7$.

Ответ: 7

е) 183,96 : 5,256

В делителе (5,256) три знака после запятой. Перенесем запятую на три знака вправо в обоих числах, добавив ноль к делимому.

$183,96 : 5,256 = 183960 : 5256$

Выполним деление $183960$ на $5256$:
- Сначала делим $18396$ на $5256$. Берем по $3$. $5256 \times 3 = 15768$.
- Остаток: $18396 - 15768 = 2628$.
- Сносим $0$, получаем $26280$.
- $26280$ делим на $5256$. Берем по $5$. $5256 \times 5 = 26280$.
- Остаток: $26280 - 26280 = 0$.
Получаем $35$.

Ответ: 35

5.56. а) $0.25 \div 4 + 15.3 \div 5 + 12.4 \div 8 + 0.15 \div 3;$

б) $96.7 \div 10 + 0.045 \div 5 + 140.4 \div 12 + 1.53 \div 15.$

а) $0,25 : 4 + 15,3 : 5 + 12,4 : 8 + 0,15 : 3$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции деления, а затем сложения.

1. Выполним деление $0,25 : 4$

$0,25 : 4 = 0,0625$

2. Выполним деление $15,3 : 5$

$15,3 : 5 = 3,06$

3. Выполним деление $12,4 : 8$

$12,4 : 8 = 1,55$

4. Выполним деление $0,15 : 3$

$0,15 : 3 = 0,05$

5. Теперь сложим все полученные результаты:

$0,0625 + 3,06 + 1,55 + 0,05 = 4,7225$

Ответ: $4,7225$

б) $96,7 : 10 + 0,045 : 5 + 140,4 : 12 + 1,53 : 15$

Решим пример по действиям. Сначала выполним все операции деления, а затем сложим полученные результаты.

1. Выполним деление $96,7 : 10$

$96,7 : 10 = 9,67$

2. Выполним деление $0,045 : 5$

$0,045 : 5 = 0,009$

3. Выполним деление $140,4 : 12$

$140,4 : 12 = 11,7$

4. Выполним деление $1,53 : 15$

$1,53 : 15 = 0,102$

5. Теперь сложим все полученные результаты:

$9,67 + 0,009 + 11,7 + 0,102 = 21,481$

Ответ: $21,481$

5.57. a) $4.912 \div 16 + (18.305 \div 7 + 0.0368 \div 4);$

б) $72.492 \div 12 + 78.156 \div 36 - 120.03 \div 15;$

в) $1.35 \div 2.7 + 6.02 - 5.9 + 0.4 \div 2.5 \cdot (4.2 - 0.075);$

г) $4.3 - 3.5 + 1.44 \div 3.6 + 3.6 \div 1.44 \cdot (0.1 - 0.02).$

а) $4,912 : 16 + (18,305 : 7 + 0,0368 : 4)$

Решим по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала выполняются действия в скобках (деление), затем деление вне скобок, и в конце сложение.
1. Выполним первое деление в скобках: $18,305 : 7 = 2,615$.
2. Выполним второе деление в скобках: $0,0368 : 4 = 0,0092$.
3. Найдем сумму результатов в скобках: $2,615 + 0,0092 = 2,6242$.
4. Теперь выполним деление вне скобок: $4,912 : 16 = 0,307$.
5. Наконец, выполним сложение: $0,307 + 2,6242 = 2,9312$.
Ответ: 2,9312

б) $72,492 : 12 + 78,156 : 36 - 120,03 : 15$

В этом выражении нет скобок, поэтому сначала выполняем все операции деления слева направо, а затем сложение и вычитание слева направо.
1. Первое деление: $72,492 : 12 = 6,041$.
2. Второе деление: $78,156 : 36 = 2,171$.
3. Третье деление: $120,03 : 15 = 8,002$.
4. Подставим полученные значения в выражение: $6,041 + 2,171 - 8,002$.
5. Сложение: $6,041 + 2,171 = 8,212$.
6. Вычитание: $8,212 - 8,002 = 0,21$.
Ответ: 0,21

в) $1,35 \cdot 2,7 + 6,02 - 5,9 + 0,4 : 2,5 \cdot (4,2 - 0,075)$

Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и деление в порядке их следования (слева направо), и в конце сложение и вычитание (слева направо).
1. Действие в скобках: $4,2 - 0,075 = 4,125$.
2. Первое умножение: $1,35 \cdot 2,7 = 3,645$.
3. Далее по порядку идет деление: $0,4 : 2,5 = 0,16$.
4. Теперь умножение: $0,16 \cdot 4,125 = 0,66$.
5. Собираем все в одно выражение: $3,645 + 6,02 - 5,9 + 0,66$.
6. Сложение: $3,645 + 6,02 = 9,665$.
7. Вычитание: $9,665 - 5,9 = 3,765$.
8. Сложение: $3,765 + 0,66 = 4,425$.
Ответ: 4,425

г) $4,3 - 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44 \cdot (0,1 - 0,02)$

Сначала выполняем действие в скобках, затем деление и умножение слева направо, а после этого — вычитание и сложение слева направо.
1. Действие в скобках: $0,1 - 0,02 = 0,08$.
2. Первое деление: $1,44 : 3,6 = 0,4$.
3. Второе деление: $3,6 : 1,44 = 2,5$.
4. Умножение: $2,5 \cdot 0,08 = 0,2$.
5. Теперь выражение выглядит так: $4,3 - 3,5 + 0,4 + 0,2$.
6. Вычитание: $4,3 - 3,5 = 0,8$.
7. Первое сложение: $0,8 + 0,4 = 1,2$.
8. Второе сложение: $1,2 + 0,2 = 1,4$.
Ответ: 1,4

5.58. Сколько сотых содержится в числе:

а) $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{2}{5} $;

в) $ \frac{1}{2} $;

г) $ \frac{7}{20} $;

д) $ \frac{3}{25} $?

Чтобы найти, сколько сотых долей содержится в числе, нужно представить это число в виде дроби со знаменателем 100. Числитель этой дроби и будет искомым количеством сотых. Это действие равносильно умножению исходного числа на 100.

а)
Чтобы найти, сколько сотых содержится в числе $\frac{3}{4}$, приведем эту дробь к знаменателю 100. Для этого найдем дополнительный множитель, разделив 100 на текущий знаменатель 4:
$100 \div 4 = 25$.
Теперь умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ на 25:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100}$.
Числитель полученной дроби равен 75. Следовательно, в числе $\frac{3}{4}$ содержится 75 сотых.
Ответ: 75.

б)
Чтобы найти, сколько сотых содержится в числе $\frac{2}{5}$, приведем эту дробь к знаменателю 100. Найдем дополнительный множитель: $100 \div 5 = 20$.
Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{5}$ на 20:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 20}{5 \times 20} = \frac{40}{100}$.
Числитель равен 40, значит, в числе $\frac{2}{5}$ содержится 40 сотых.
Ответ: 40.

в)
Чтобы найти, сколько сотых содержится в числе $\frac{1}{2}$, приведем эту дробь к знаменателю 100. Найдем дополнительный множитель: $100 \div 2 = 50$.
Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ на 50:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 50}{2 \times 50} = \frac{50}{100}$.
Таким образом, в числе $\frac{1}{2}$ содержится 50 сотых.
Ответ: 50.

г)
Чтобы найти, сколько сотых содержится в числе $\frac{7}{20}$, приведем эту дробь к знаменателю 100. Найдем дополнительный множитель: $100 \div 20 = 5$.
Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{7}{20}$ на 5:
$\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100}$.
В числе $\frac{7}{20}$ содержится 35 сотых.
Ответ: 35.

д)
Чтобы найти, сколько сотых содержится в числе $\frac{3}{25}$, приведем эту дробь к знаменателю 100. Найдем дополнительный множитель: $100 \div 25 = 4$.
Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{25}$ на 4:
$\frac{3}{25} = \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = \frac{12}{100}$.
В числе $\frac{3}{25}$ содержится 12 сотых.
Ответ: 12.

5.59. Не выполняя вычислений, сравните:

а) $19.95 \cdot 199.6$ и $1.995 \cdot 1996$;

б) $19.96 \cdot 1.997$ и $199.6 \cdot 19.97$;

в) $199.7 \cdot 199.8$ и $1.997 \cdot 1.998$;

г) $1.998 \cdot 199.9$ и $1.998 \cdot 1999$.

а) Сравнить $19,95 \cdot 199,6$ и $1,995 \cdot 1996$.

Для сравнения двух произведений преобразуем один из множителей. Заметим, что мы можем выразить множители одного произведения через множители другого, используя умножение на степени 10. Например, $19,95 = 1,995 \cdot 10$.

Преобразуем первое произведение:

$19,95 \cdot 199,6 = (1,995 \cdot 10) \cdot 199,6 = 1,995 \cdot (10 \cdot 199,6) = 1,995 \cdot 1996$.

Теперь мы сравниваем выражения $1,995 \cdot 1996$ и $1,995 \cdot 1996$. Очевидно, что они равны.

Ответ: $19,95 \cdot 199,6 = 1,995 \cdot 1996$.

б) Сравнить $19,96 \cdot 1,997$ и $199,6 \cdot 19,97$.

Приведем одно из произведений к виду, удобному для сравнения. Преобразуем второй множитель: $199,6 = 19,96 \cdot 10$.

Подставим это во второе произведение:

$199,6 \cdot 19,97 = (19,96 \cdot 10) \cdot 19,97 = 19,96 \cdot (10 \cdot 19,97) = 19,96 \cdot 199,7$.

Теперь задача сводится к сравнению $19,96 \cdot 1,997$ и $19,96 \cdot 199,7$.

Поскольку первый множитель $19,96$ в обоих произведениях одинаков и является положительным числом, результат сравнения зависит только от вторых множителей: $1,997$ и $199,7$.

Так как $1,997 < 199,7$, то и произведение $19,96 \cdot 1,997$ будет меньше произведения $19,96 \cdot 199,7$.

Следовательно, $19,96 \cdot 1,997 < 199,6 \cdot 19,97$.

Ответ: $19,96 \cdot 1,997 < 199,6 \cdot 19,97$.

в) Сравнить $199,7 \cdot 199,8$ и $1,997 \cdot 1998$.

Преобразуем первое произведение, чтобы один из его множителей совпал с множителем второго произведения. Заметим, что $199,7 = 1,997 \cdot 100$.

Подставим это в первое произведение:

$199,7 \cdot 199,8 = (1,997 \cdot 100) \cdot 199,8 = 1,997 \cdot (100 \cdot 199,8) = 1,997 \cdot 19980$.

Теперь сравним полученное выражение со вторым произведением: $1,997 \cdot 19980$ и $1,997 \cdot 1998$.

Так как общий множитель $1,997$ положителен, сравнение произведений сводится к сравнению вторых множителей: $19980$ и $1998$.

Очевидно, что $19980 > 1998$.

Следовательно, $1,997 \cdot 19980 > 1,997 \cdot 1998$, а значит и $199,7 \cdot 199,8 > 1,997 \cdot 1998$.

Ответ: $199,7 \cdot 199,8 > 1,997 \cdot 1998$.

г) Сравнить $1,998 \cdot 199,9$ и $1,998 \cdot 1999$.

В этом случае мы сравниваем два произведения, у которых есть общий множитель $1,998$.

Первое произведение: $1,998 \cdot 199,9$.

Второе произведение: $1,998 \cdot 1999$.

Поскольку общий множитель $1,998$ — положительное число, знак неравенства между произведениями будет таким же, как и знак неравенства между другими множителями, то есть между $199,9$ и $1999$.

Так как $199,9 < 1999$, то и первое произведение будет меньше второго.

Следовательно, $1,998 \cdot 199,9 < 1,998 \cdot 1999$.

Ответ: $1,998 \cdot 199,9 < 1,998 \cdot 1999$.

ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ

5.60. Не выполняя вычислений, объясните, почему верно равенство $35,48 \cdot 2,937 = 0,3548 \cdot 293,7$.

Придумайте несколько аналогичных верных равенств.

Не выполняя вычислений, объясните, почему верно равенство $35,48 \cdot 2,937 = 0,3548 \cdot 293,7$

Данное равенство основано на свойстве произведения: если один из множителей увеличить (или уменьшить) в несколько раз, а другой множитель уменьшить (или увеличить) во столько же раз, то произведение не изменится.

Математически это свойство можно записать так: $a \cdot b = (a : k) \cdot (b \cdot k)$ или $a \cdot b = (a \cdot k) \cdot (b : k)$.

Сравним левую и правую части данного равенства:

Левая часть: $35,48 \cdot 2,937$

Правая часть: $0,3548 \cdot 293,7$

Чтобы получить первый множитель правой части из первого множителя левой, нужно $35,48$ разделить на $100$:
$35,48 : 100 = 0,3548$

Чтобы получить второй множитель правой части из второго множителя левой, нужно $2,937$ умножить на $100$:
$2,937 \cdot 100 = 293,7$

Таким образом, первый множитель был уменьшен в 100 раз, а второй — увеличен в 100 раз. Эти два действия взаимно компенсируют друг друга, поэтому произведение остается неизменным, и равенство является верным.

Ответ: Равенство верно, потому что первый множитель ($35,48$) уменьшили в 100 раз, получив $0,3548$, а второй множитель ($2,937$) увеличили в 100 раз, получив $293,7$. Так как один множитель был поделен на 100, а другой умножен на 100, их произведение не изменилось.

Придумайте несколько аналогичных верных равенств

Используя тот же принцип, можно составить множество подобных равенств. Вот несколько примеров:

1. $14,5 \cdot 3,6 = 1,45 \cdot 36$
(Первый множитель уменьшили в 10 раз, а второй увеличили в 10 раз).

2. $87,62 \cdot 0,5 = 8762 \cdot 0,005$
(Первый множитель увеличили в 100 раз, а второй уменьшили в 100 раз).

3. $0,04 \cdot 5100 = 4 \cdot 51$
(Первый множитель увеличили в 100 раз, а второй уменьшили в 100 раз).

Ответ: $14,5 \cdot 3,6 = 1,45 \cdot 36$; $87,62 \cdot 0,5 = 8762 \cdot 0,005$; $0,04 \cdot 5100 = 4 \cdot 51$.

5.61. Не выполняя вычислений, объясните, почему верно неравенство $2,318 \cdot 12,547 > 23,17 \cdot 1,2547$.

Придумайте несколько аналогичных верных неравенств.

Чтобы объяснить верность данного неравенства без прямого вычисления произведений, мы можем преобразовать одну из его частей так, чтобы множители стали легко сопоставимы.

Рассмотрим левую часть неравенства: $2,318 \cdot 12,547$.

Заметим, что один из множителей в левой части ($12,547$) связан с множителем в правой части ($1,2547$) соотношением:

$12,547 = 1,2547 \cdot 10$

Подставим это выражение в левую часть исходного неравенства:

$2,318 \cdot (1,2547 \cdot 10)$

Используя сочетательное свойство умножения (от перестановки множителей произведение не меняется), мы можем перегруппировать множители:

$(2,318 \cdot 10) \cdot 1,2547 = 23,18 \cdot 1,2547$

Теперь мы можем переписать исходное неравенство, заменив его левую часть на полученное выражение:

$23,18 \cdot 1,2547 > 23,17 \cdot 1,2547$

Мы получили новое неравенство, в котором сравниваются два произведения с одинаковым положительным множителем ($1,2547$). В этом случае результат сравнения зависит только от первых множителей.

Сравнивая первые множители, мы видим, что $23,18 > 23,17$.

Поскольку $23,18$ больше чем $23,17$, то и произведение $23,18 \cdot 1,2547$ будет больше, чем $23,17 \cdot 1,2547$. Следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство верно, потому что его можно преобразовать к виду $23,18 \cdot 1,2547 > 23,17 \cdot 1,2547$. Так как $23,18 > 23,17$, а второй множитель в обеих частях одинаков и положителен, то левая часть больше правой.

Аналогичные неравенства можно составить по тому же принципу: "переместить" десятичную запятую в одном множителе вправо, а в другом — влево на такое же количество знаков, а затем немного изменить одно из чисел, чтобы получилось строгое неравенство.

Вот несколько примеров:

1. $5,43 \cdot 87,6 > 54,2 \cdot 8,76$
(Проверка: левая часть равна $(5,43 \cdot 10) \cdot (87,6 / 10) = 54,3 \cdot 8,76$. Так как $54,3 > 54,2$, неравенство верно.)

2. $9,876 \cdot 12,3 > 98,7 \cdot 1,23$
(Проверка: левая часть равна $(9,876 \cdot 10) \cdot (12,3 / 10) = 98,76 \cdot 1,23$. Так как $98,76 > 98,7$, неравенство верно.)

3. $0,152 \cdot 4321 > 15,1 \cdot 43,21$
(Проверка: левая часть равна $(0,152 \cdot 100) \cdot (4321 / 100) = 15,2 \cdot 43,21$. Так как $15,2 > 15,1$, неравенство верно.)

Ответ:
$5,43 \cdot 87,6 > 54,2 \cdot 8,76$
$9,876 \cdot 12,3 > 98,7 \cdot 1,23$
$0,152 \cdot 4321 > 15,1 \cdot 43,21$

5.62. Вычислите:

a) $\frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 32,1}$

б) $\frac{0,123 \cdot 321}{1,23 \cdot 3,21}$

в) $\frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 3,21}$

г) $\frac{0,123 \cdot 0,321}{1,23 \cdot 3,21}$

а)

Рассмотрим выражение $ \frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 32,1} $.
Чтобы упростить дробь, преобразуем множители в числителе и знаменателе так, чтобы они стали одинаковыми.
Заметим, что $12,3 = 1,23 \cdot 10$ и $32,1 = 3,21 \cdot 10$.
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$ \frac{(1,23 \cdot 10) \cdot 3,21}{1,23 \cdot (3,21 \cdot 10)} = \frac{1,23 \cdot 3,21 \cdot 10}{1,23 \cdot 3,21 \cdot 10} $.
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.
Ответ: 1

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{0,123 \cdot 321}{1,23 \cdot 3,21} $.
Представим все числа через целые множители 123 и 321, используя степени 10.
Числитель: $ 0,123 \cdot 321 = (123 \cdot 10^{-3}) \cdot 321 = 123 \cdot 321 \cdot 10^{-3} $.
Знаменатель: $ 1,23 \cdot 3,21 = (123 \cdot 10^{-2}) \cdot (321 \cdot 10^{-2}) = 123 \cdot 321 \cdot 10^{-4} $.
Теперь выполним деление:
$ \frac{123 \cdot 321 \cdot 10^{-3}}{123 \cdot 321 \cdot 10^{-4}} $.
Сокращаем одинаковое произведение $123 \cdot 321$:
$ \frac{10^{-3}}{10^{-4}} = 10^{-3 - (-4)} = 10^{-3+4} = 10^1 = 10 $.
Ответ: 10

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 3,21} $.
В числителе и знаменателе есть общий множитель $3,21$. Сократим дробь на него:
$ \frac{12,3 \cdot \cancel{3,21}}{1,23 \cdot \cancel{3,21}} = \frac{12,3}{1,23} $.
Чтобы выполнить деление, заметим, что $12,3 = 1,23 \cdot 10$.
$ \frac{1,23 \cdot 10}{1,23} $.
Сокращаем на $1,23$ и получаем 10.
Альтернативно, можно умножить числитель и знаменатель дроби $ \frac{12,3}{1,23} $ на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:
$ \frac{12,3 \cdot 100}{1,23 \cdot 100} = \frac{1230}{123} = 10 $.
Ответ: 10

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{0,123 \cdot 0,321}{1,23 \cdot 3,21} $.
Как и в пункте б), представим числа через целые множители 123 и 321.
Числитель: $ 0,123 \cdot 0,321 = (123 \cdot 10^{-3}) \cdot (321 \cdot 10^{-3}) = 123 \cdot 321 \cdot 10^{-6} $.
Знаменатель: $ 1,23 \cdot 3,21 = (123 \cdot 10^{-2}) \cdot (321 \cdot 10^{-2}) = 123 \cdot 321 \cdot 10^{-4} $.
Выполним деление:
$ \frac{123 \cdot 321 \cdot 10^{-6}}{123 \cdot 321 \cdot 10^{-4}} $.
Сокращаем $123 \cdot 321$:
$ \frac{10^{-6}}{10^{-4}} = 10^{-6 - (-4)} = 10^{-6+4} = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01 $.
Ответ: 0,01

5.63. На прямолинейном участке железнодорожного пути уложены рельсы длиной 12,5 м. Сколько рельсов уложено на 1 км пути?

Для того чтобы определить, сколько рельсов уложено на 1 км пути, необходимо общую длину участка разделить на длину одного рельса. Перед этим нужно привести все величины к единой системе измерений.

1. Переведем длину участка из километров в метры. В одном километре содержится 1000 метров:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

2. Теперь разделим общую длину участка в метрах на длину одного рельса, которая составляет 12,5 м:

$\frac{1000}{12,5}$

Чтобы упростить вычисление, можно умножить и числитель, и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе:

$\frac{1000 \times 10}{12,5 \times 10} = \frac{10000}{125}$

Выполним деление:

$10000 \div 125 = 80$

Следовательно, на 1 км пути уложено 80 рельсов.

Ответ: 80 рельсов.

5.64. Слон тяжелее бегемота на $0,7 \text{ т}$, а их общая масса $8,3 \text{ т}$. Какова масса каждого животного?

Для решения задачи обозначим массу бегемота через $x$ тонн. Согласно условию, слон тяжелее бегемота на 0,7 т, следовательно, масса слона составляет $(x + 0,7)$ т.

Их общая масса равна 8,3 т. Можем составить уравнение, сложив массы обоих животных:

$x + (x + 0,7) = 8,3$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти массу бегемота:

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$2x + 0,7 = 8,3$

2. Перенесём 0,7 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x = 8,3 - 0,7$
$2x = 7,6$

3. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = 7,6 / 2$
$x = 3,8$

Таким образом, масса бегемота составляет 3,8 тонны.

Теперь вычислим массу слона, подставив найденное значение $x$ в выражение для его массы:

Масса слона = $x + 0,7 = 3,8 + 0,7 = 4,5$ тонны.

Проверим результат: $3,8 + 4,5 = 8,3$ тонны, что соответствует условию задачи.

Ответ: масса бегемота — 3,8 т, масса слона — 4,5 т.