Страница 202 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.90. Число 200 увеличили на 20 %, полученный результат уменьшили на 20 %. Получится ли в результате число 200? Какое число получится?

Для решения этой задачи нужно выполнить два последовательных действия с числом 200.

1. Увеличение числа 200 на 20%.

Сначала найдем 20% от числа 200. Процент — это сотая часть числа, поэтому 20% можно представить как десятичную дробь $0.2$.
$200 \cdot \frac{20}{100} = 200 \cdot 0.2 = 40$.
Теперь увеличим число 200 на найденное значение:
$200 + 40 = 240$.
Итак, после увеличения на 20% получилось число 240.

2. Уменьшение полученного результата на 20%.

Далее, полученный результат, то есть число 240, нужно уменьшить на 20%. Важно понимать, что теперь 20% вычисляются от нового числа (240), а не от исходного (200).
Найдем 20% от 240:
$240 \cdot 0.2 = 48$.
Теперь уменьшим число 240 на это значение:
$240 - 48 = 192$.
Это и есть окончательный результат.

Теперь ответим на вопросы задачи, основываясь на проведенных вычислениях.

Получится ли в результате число 200?
В результате вычислений получилось число 192, которое не равно 200. Это связано с тем, что 20% от 200 (это 40) не равны 20% от 240 (это 48). Мы прибавили 40, а вычли 48, поэтому не вернулись к исходному числу.
Ответ: Нет, в результате число 200 не получится.

Какое число получится?
Последовательное увеличение числа 200 на 20% и затем уменьшение полученного результата на 20% приводит к числу 192.
Ответ: 192.

5.91. a) Число $a$ увеличили на 20 %, полученное число увеличили ещё на 20 %. Во сколько раз увеличилось число $a$? На сколько процентов увеличилось число $a$ за два раза?

б) Цену товара уменьшили на 10 %, полученную цену уменьшили ещё на 10 %. На сколько процентов уменьшили цену товара за два раза?

а)

Пусть первоначальное число равно $a$.

При увеличении числа на 20% оно становится равным $100\% + 20\% = 120\%$ от своего значения, что соответствует умножению на коэффициент 1.2.

1. После первого увеличения числа $a$ на 20%, получим новое число $a_1$:

$a_1 = a \times (1 + \frac{20}{100}) = a \times 1.2 = 1.2a$.

2. Затем полученное число $a_1$ увеличиваем ещё на 20%. Новое число $a_2$ будет равно:

$a_2 = a_1 \times (1 + \frac{20}{100}) = 1.2a \times 1.2 = 1.44a$.

Теперь ответим на вопросы задачи:

Во сколько раз увеличилось число a?

Для этого найдём отношение конечного числа $a_2$ к начальному $a$:

$\frac{a_2}{a} = \frac{1.44a}{a} = 1.44$.

Число $a$ увеличилось в 1.44 раза.

На сколько процентов увеличилось число a за два раза?

Конечное число составляет 1.44 от начального. Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100:

$1.44 \times 100\% = 144\%$.

Так как начальное число составляло 100%, то общее увеличение равно:

$144\% - 100\% = 44\%$.

Ответ: число увеличилось в 1.44 раза; за два раза число увеличилось на 44%.

б)

Пусть первоначальная цена товара равна $p$.

При уменьшении цены на 10% она становится равной $100\% - 10\% = 90\%$ от своей стоимости, что соответствует умножению на коэффициент 0.9.

1. После первого уменьшения цены $p$ на 10%, получим новую цену $p_1$:

$p_1 = p \times (1 - \frac{10}{100}) = p \times 0.9 = 0.9p$.

2. Затем полученную цену $p_1$ уменьшаем ещё на 10%. Новая цена $p_2$ будет равна:

$p_2 = p_1 \times (1 - \frac{10}{100}) = 0.9p \times 0.9 = 0.81p$.

На сколько процентов уменьшили цену товара за два раза?

Конечная цена составляет 0.81 от начальной. В процентах это:

$0.81 \times 100\% = 81\%$.

Так как начальная цена составляла 100%, то общее уменьшение равно:

$100\% - 81\% = 19\%$.

Ответ: цену товара за два раза уменьшили на 19%.

5.92. a) Число $a$ больше числа $b$ в 1,25 раза; в 1,32 раза; в 1,5 раза. На сколько процентов число $a$ больше числа $b$?

б) Число $a$ больше числа $b$ на 25 %; на 48 %; на 60 %. Во сколько раз число $a$ больше числа $b$?

а)

Если число $a$ больше числа $b$ в $k$ раз, это означает, что $a = k \cdot b$. Чтобы найти, на сколько процентов число $a$ больше числа $b$, нужно вычислить процентное отношение их разности к числу $b$.
Формула для процентного увеличения: $\frac{a - b}{b} \cdot 100\%$.
Подставим $a = k \cdot b$ в формулу:
$\frac{k \cdot b - b}{b} \cdot 100\% = \frac{b(k - 1)}{b} \cdot 100\% = (k - 1) \cdot 100\%$.

- Если число $a$ больше числа $b$ в 1,25 раза:
$(1,25 - 1) \cdot 100\% = 0,25 \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: на 25%.

- Если число $a$ больше числа $b$ в 1,32 раза:
$(1,32 - 1) \cdot 100\% = 0,32 \cdot 100\% = 32\%$.
Ответ: на 32%.

- Если число $a$ больше числа $b$ в 1,5 раза:
$(1,5 - 1) \cdot 100\% = 0,5 \cdot 100\% = 50\%$.
Ответ: на 50%.

б)

Если число $a$ больше числа $b$ на $p\%$, это означает, что $a$ равно $b$ плюс $p\%$ от $b$.
Математически это записывается как: $a = b + \frac{p}{100} \cdot b = b \cdot (1 + \frac{p}{100})$.
Чтобы найти, во сколько раз число $a$ больше числа $b$, нужно найти их отношение $\frac{a}{b}$.
$\frac{a}{b} = 1 + \frac{p}{100}$.

- Если число $a$ больше числа $b$ на 25%:
Отношение равно $1 + \frac{25}{100} = 1 + 0,25 = 1,25$.
Ответ: в 1,25 раза.

- Если число $a$ больше числа $b$ на 48%:
Отношение равно $1 + \frac{48}{100} = 1 + 0,48 = 1,48$.
Ответ: в 1,48 раза.

- Если число $a$ больше числа $b$ на 60%:
Отношение равно $1 + \frac{60}{100} = 1 + 0,6 = 1,6$.
Ответ: в 1,6 раза.

5.93. a) Некоторую сумму положили в банк под 20 % годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 5 лет, если начисляют простые проценты?

б) Некоторую сумму положили в банк под 20 % годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 4 года, если начисляют сложные проценты?

а)

При начислении простых процентов доход каждый год рассчитывается от первоначальной суммы вклада. Формула для итоговой суммы $S_n$ через $n$ лет выглядит так:
$S_n = S_0 \cdot (1 + P \cdot n)$,
где $S_0$ — первоначальная сумма, $P$ — годовая процентная ставка (в виде десятичной дроби), $n$ — количество лет.

По условию задачи, годовая ставка $P = 20\% = 0.2$, а срок вклада $n = 5$ лет.Подставим эти значения в формулу:
$S_5 = S_0 \cdot (1 + 0.2 \cdot 5) = S_0 \cdot (1 + 1) = 2S_0$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась сумма, нужно найти отношение конечной суммы к начальной:
$\frac{S_5}{S_0} = \frac{2S_0}{S_0} = 2$.

Ответ: в 2 раза.

б)

При начислении сложных процентов доход за каждый год прибавляется к основной сумме, и в следующем году проценты начисляются уже на эту увеличенную сумму. Формула для расчета итоговой суммы:
$S_n = S_0 \cdot (1 + P)^n$,
где $S_0$ — первоначальная сумма, $P$ — годовая процентная ставка (в виде десятичной дроби), $n$ — количество лет.

По условию задачи, годовая ставка $P = 20\% = 0.2$, а срок вклада $n = 4$ года.Подставим значения в формулу:
$S_4 = S_0 \cdot (1 + 0.2)^4 = S_0 \cdot (1.2)^4$.

Теперь вычислим значение $(1.2)^4$:
$(1.2)^4 = 1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2 = 1.44 \cdot 1.44 = 2.0736$.
Таким образом, $S_4 = 2.0736 \cdot S_0$.

Отношение конечной суммы к начальной покажет, во сколько раз она увеличилась:
$\frac{S_4}{S_0} = \frac{2.0736 \cdot S_0}{S_0} = 2.0736$.

Ответ: в 2,0736 раза.

5.94. Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчёта 40 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчёта. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

Чтобы определить, в акции какой компании выгоднее вложить деньги, необходимо сравнить их эффективную годовую доходность. Для этого рассчитаем, какой станет начальная сумма вложения $S$ через один год в каждом из случаев.

Компания X

Компания выплачивает доход один раз в год по ставке 40% годовых. Это означает, что в конце года первоначальная сумма $S$ увеличится на 40%.

Сумма через год ($S_X$) будет равна:

$S_X = S + S \cdot 0.40 = S \cdot (1 + 0.40) = 1.4S$

Таким образом, доход за год составит 40% от начальной суммы.

Компания Y

Компания выплачивает доход раз в полгода из расчета 40% годовых. Это значит, что начисление происходит два раза в год, и ставка за каждый период (полгода) составляет половину годовой ставки: $40\% / 2 = 20\%$. В этом случае используется механизм сложных процентов, так как проценты, начисленные за первое полугодие, прибавляются к основной сумме и на них тоже начисляются проценты во втором полугодии.

1. Сумма через первые полгода:

$S_1 = S + S \cdot 0.20 = S \cdot (1 + 0.2) = 1.2S$

2. На эту новую сумму $1.2S$ начисляются 20% за вторые полгода. Итоговая сумма в конце года ($S_Y$) составит:

$S_Y = S_1 + S_1 \cdot 0.20 = 1.2S \cdot (1 + 0.2) = 1.2S \cdot 1.2 = 1.44S$

Таким образом, общий доход за год составит $1.44S - S = 0.44S$, что соответствует эффективной годовой ставке 44%.

Сравнение

Сравнивая итоговые суммы через год, видим, что $1.44S$ (компания Y) больше, чем $1.4S$ (компания X). Эффективная годовая доходность по акциям компании Y (44%) выше, чем у компании X (40%), благодаря капитализации процентов.

Ответ: Выгоднее вложить деньги в акции компании Y.