Номер 5.93, страница 202 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Умножение и деление десятичных дробей. 5.5. Сложные задачи на проценты - номер 5.93, страница 202.

Условие.

5.93. a) Некоторую сумму положили в банк под 20 % годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 5 лет, если начисляют простые проценты?

б) Некоторую сумму положили в банк под 20 % годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 4 года, если начисляют сложные проценты?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

При начислении простых процентов доход каждый год рассчитывается от первоначальной суммы вклада. Формула для итоговой суммы $S_n$ через $n$ лет выглядит так:
$S_n = S_0 \cdot (1 + P \cdot n)$,
где $S_0$ — первоначальная сумма, $P$ — годовая процентная ставка (в виде десятичной дроби), $n$ — количество лет.

По условию задачи, годовая ставка $P = 20\% = 0.2$, а срок вклада $n = 5$ лет.Подставим эти значения в формулу:
$S_5 = S_0 \cdot (1 + 0.2 \cdot 5) = S_0 \cdot (1 + 1) = 2S_0$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась сумма, нужно найти отношение конечной суммы к начальной:
$\frac{S_5}{S_0} = \frac{2S_0}{S_0} = 2$.

Ответ: в 2 раза.

б)

При начислении сложных процентов доход за каждый год прибавляется к основной сумме, и в следующем году проценты начисляются уже на эту увеличенную сумму. Формула для расчета итоговой суммы:
$S_n = S_0 \cdot (1 + P)^n$,
где $S_0$ — первоначальная сумма, $P$ — годовая процентная ставка (в виде десятичной дроби), $n$ — количество лет.

По условию задачи, годовая ставка $P = 20\% = 0.2$, а срок вклада $n = 4$ года.Подставим значения в формулу:
$S_4 = S_0 \cdot (1 + 0.2)^4 = S_0 \cdot (1.2)^4$.

Теперь вычислим значение $(1.2)^4$:
$(1.2)^4 = 1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2 = 1.44 \cdot 1.44 = 2.0736$.
Таким образом, $S_4 = 2.0736 \cdot S_0$.

Отношение конечной суммы к начальной покажет, во сколько раз она увеличилась:
$\frac{S_4}{S_0} = \frac{2.0736 \cdot S_0}{S_0} = 2.0736$.

Ответ: в 2,0736 раза.