Номер 5.95, страница 203 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.5. Сложные задачи на проценты. Глава 5. Умножение и деление десятичных дробей - номер 5.95, страница 203.

Условие.

5.95. Сбербанк России с 1 октября 1993 года начислял доход из расчёта: 150 % за хранение денег в банке в течение года; 65 % за хранение денег в банке в течение 6 месяцев; 30 % за хранение денег в банке в течение 3 месяцев. Каким образом при этих условиях можно было получить наибольший доход на сумму 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, каким образом можно получить наибольший доход, необходимо рассчитать и сравнить итоговую сумму через год для каждой из предложенных стратегий вложения 100 000 рублей. Будем исходить из того, что при вкладах на срок менее года вся сумма (вклад и начисленные проценты) реинвестируется на следующий период.

Рассмотрим все возможные стратегии в течение одного года (12 месяцев):

1. Вклад на 1 год.

Процентная ставка составляет 150 % за год. Итоговая сумма в конце года будет:

$S_1 = 100 \, 000 \times (1 + \frac{150}{100}) = 100 \, 000 \times 2.5 = 250 \, 000 \text{ рублей.}$

Доход: $Д_1 = 250 \, 000 - 100 \, 000 = 150 \, 000 \text{ рублей.}$

2. Два последовательных вклада по 6 месяцев.

Процентная ставка составляет 65 % за 6 месяцев. В течение года можно сделать два таких вклада подряд, реинвестируя всю сумму.

Итоговая сумма в конце года рассчитывается по формуле сложных процентов:

$S_2 = 100 \, 000 \times (1 + \frac{65}{100})^2 = 100 \, 000 \times (1.65)^2 = 100 \, 000 \times 2.7225 = 272 \, 250 \text{ рублей.}$

Доход: $Д_2 = 272 \, 250 - 100 \, 000 = 172 \, 250 \text{ рублей.}$

3. Четыре последовательных вклада по 3 месяца.

Процентная ставка составляет 30 % за 3 месяца. В течение года можно сделать четыре таких вклада подряд.

Итоговая сумма будет рассчитана по формуле сложных процентов:

$S_3 = 100 \, 000 \times (1 + \frac{30}{100})^4 = 100 \, 000 \times (1.3)^4 = 100 \, 000 \times 2.8561 = 285 \, 610 \text{ рублей.}$

Доход: $Д_3 = 285 \, 610 - 100 \, 000 = 185 \, 610 \text{ рублей.}$

4. Смешанная стратегия (один вклад на 6 месяцев и два на 3 месяца).

Такая комбинация также покрывает ровно год. Порядок вложения не влияет на итоговый результат. Общая сумма в конце года:

$S_4 = 100 \, 000 \times (1 + \frac{65}{100})^1 \times (1 + \frac{30}{100})^2 = 100 \, 000 \times 1.65 \times 1.69 = 278 \, 850 \text{ рублей.}$

Доход: $Д_4 = 278 \, 850 - 100 \, 000 = 178 \, 850 \text{ рублей.}$

Сравнивая полученные доходы ($150 \, 000 < 172 \, 250 < 178 \, 850 < 185 \, 610$), мы видим, что максимальный доход достигается при четырехкратном вложении денег на 3 месяца.

Каким образом при этих условиях можно было получить наибольший доход на сумму 100 000 р.?

Чтобы получить наибольший доход, необходимо было вложить сумму 100 000 рублей на 3 месяца под 30%. По истечении этого срока всю полученную сумму (первоначальный вклад плюс начисленные проценты) снова вложить на 3 месяца на тех же условиях и повторить эту операцию еще два раза. Таким образом, в течение года совершается четыре последовательных трехмесячных вклада с капитализацией процентов.

Ответ: Наибольший доход можно было получить, вкладывая деньги четыре раза подряд на срок 3 месяца с реинвестированием всей суммы после каждого срока.

Каков этот наибольший доход?

Расчет наибольшего дохода был произведен при анализе стратегии с четырьмя вкладами по 3 месяца. Итоговая сумма на счете через год составит 285 610 рублей. Наибольший доход — это разница между итоговой и начальной суммой:

$Д_{макс} = 285 \, 610 - 100 \, 000 = 185 \, 610 \text{ рублей.}$

Ответ: Наибольший доход составляет 185 610 рублей.