Страница 191 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

? 5.17. Сформулируйте правило умножения двух десятичных дробей.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выполнить умножение чисел, не обращая внимания на запятые, то есть как натуральные числа.
2. Подсчитать общее количество знаков (цифр) после запятой в обоих множителях.
3. В полученном произведении отделить запятой справа столько же знаков, сколько их в сумме в обоих множителях.
4. Если в произведении получилось меньше цифр, чем требуется отделить запятой, то слева перед числом дописывают недостающее количество нулей.

Например, умножим $3,14$ на $2,5$. Сначала умножаем $314$ на $25$ и получаем $7850$. В первом множителе ($3,14$) два знака после запятой, во втором ($2,5$) — один знак. Всего $2+1=3$ знака после запятой. В результате $7850$ отделяем справа три знака, получаем $7,850$. Нуль на конце дробной части можно отбросить, поэтому итоговый результат — $7,85$.

Рассмотрим другой пример: умножим $0,08$ на $0,6$. Умножаем $8$ на $6$ и получаем $48$. В первом множителе два знака после запятой, во втором — один. Всего $2+1=3$ знака. В числе $48$ всего две цифры, поэтому, чтобы отделить три знака, нужно дописать один ноль слева: $048$. Отделив три знака запятой и добавив ноль в целую часть, получаем $0,048$.

Ответ: Чтобы умножить две десятичные дроби, нужно: 1) перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые; 2) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

5.18. a) $0.02 \cdot 10$;

б) $3.2 \cdot 100$;

в) $0.3 \cdot 1000$;

г) $2.39 \cdot 1000$;

д) $0.041 \cdot 100$;

е) $0.0005 \cdot 1000$.

а) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби на один знак вправо.

$0,02 \cdot 10 = 0,2$

Ответ: 0,2

б) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби на два знака вправо. Если знаков после запятой не хватает, дописываем нули.

$3,2 \cdot 100 = 320$

Ответ: 320

в) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби на три знака вправо. Если знаков после запятой не хватает, дописываем нули.

$0,3 \cdot 1000 = 300$

Ответ: 300

г) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби на три знака вправо. Если знаков после запятой не хватает, дописываем нули.

$2,39 \cdot 1000 = 2390$

Ответ: 2390

д) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби на два знака вправо.

$0,041 \cdot 100 = 4,1$

Ответ: 4,1

е) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби на три знака вправо.

$0,0005 \cdot 1000 = 0,5$

Ответ: 0,5

5.19. а) $2,4 \cdot 2;$

б) $3,1 \cdot 3;$

в) $0,5 \cdot 2;$

г) $2,5 \cdot 4;$

д) $1,25 \cdot 8;$

е) $0,072 \cdot 2;$

ж) $5,2 \cdot 0,4;$

з) $7,1 \cdot 0,9;$

и) $0,08 \cdot 0,13.$

а) Чтобы умножить десятичную дробь $2,4$ на натуральное число $2$, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в десятичной дроби.
1. Умножаем целые числа: $24 \cdot 2 = 48$.
2. В дроби $2,4$ одна цифра после запятой.
3. В результате $48$ отделяем одну цифру справа, получая $4,8$.
$2,4 \cdot 2 = 4,8$.
Ответ: $4,8$.

б) Умножим $3,1$ на $3$.
1. Умножаем $31$ на $3$: $31 \cdot 3 = 93$.
2. В дроби $3,1$ одна цифра после запятой.
3. В результате $93$ отделяем одну цифру справа: $9,3$.
$3,1 \cdot 3 = 9,3$.
Ответ: $9,3$.

в) Умножим $0,5$ на $2$.
1. Умножаем $5$ на $2$: $5 \cdot 2 = 10$.
2. В дроби $0,5$ одна цифра после запятой.
3. В результате $10$ отделяем одну цифру справа, получаем $1,0$, что равно $1$.
$0,5 \cdot 2 = 1$.
Ответ: $1$.

г) Умножим $2,5$ на $4$.
1. Умножаем $25$ на $4$: $25 \cdot 4 = 100$.
2. В дроби $2,5$ одна цифра после запятой.
3. В результате $100$ отделяем одну цифру справа, получаем $10,0$, что равно $10$.
$2,5 \cdot 4 = 10$.
Ответ: $10$.

д) Умножим $1,25$ на $8$.
1. Умножаем $125$ на $8$: $125 \cdot 8 = 1000$.
2. В дроби $1,25$ две цифры после запятой.
3. В результате $1000$ отделяем две цифры справа, получаем $10,00$, что равно $10$.
$1,25 \cdot 8 = 10$.
Ответ: $10$.

е) Умножим $0,072$ на $2$.
1. Умножаем $72$ на $2$: $72 \cdot 2 = 144$.
2. В дроби $0,072$ три цифры после запятой.
3. В результате $144$ нужно отделить три цифры справа. Так как в числе $144$ всего три цифры, ставим запятую перед ним и дописываем ноль в целой части: $0,144$.
$0,072 \cdot 2 = 0,144$.
Ответ: $0,144$.

ж) Чтобы перемножить две десятичные дроби $5,2$ и $0,4$, нужно:
1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые: $52 \cdot 4 = 208$.
2. Посчитать количество цифр после запятой в обоих множителях. В $5,2$ – одна цифра, в $0,4$ – одна цифра. Всего $1+1=2$ цифры.
3. В полученном произведении $208$ отделить справа две цифры запятой. Получаем $2,08$.
$5,2 \cdot 0,4 = 2,08$.
Ответ: $2,08$.

з) Умножим $7,1$ на $0,9$.
1. Умножаем $71$ на $9$: $71 \cdot 9 = 639$.
2. В обоих множителях по одной цифре после запятой, что в сумме дает $1+1=2$ цифры.
3. В результате $639$ отделяем две цифры справа: $6,39$.
$7,1 \cdot 0,9 = 6,39$.
Ответ: $6,39$.

и) Умножим $0,08$ на $0,13$.
1. Умножаем $8$ на $13$: $8 \cdot 13 = 104$.
2. В множителе $0,08$ две цифры после запятой, в множителе $0,13$ – тоже две. Всего $2+2=4$ цифры.
3. В результате $104$ нужно отделить четыре цифры справа. Так как в числе $104$ только три цифры, дописываем спереди один ноль: $0104$. Затем ставим запятую и дописываем ноль в целой части: $0,0104$.
$0,08 \cdot 0,13 = 0,0104$.
Ответ: $0,0104$.

5.20. а) $6.5 \cdot 0.004$

б) $0.09 \cdot 0.18$

в) $7.6 \cdot 0.005$

г) $0.048 \cdot 0.09$

д) $0.7 \cdot 0.0085$

е) $0.009 \cdot 0.78$

ж) $80.8 \cdot 0.7$

з) $0.09 \cdot 5.007$

и) $0.6 \cdot 3.054$

а) $6,5 \cdot 0,004$
Чтобы найти произведение десятичных дробей, сначала выполним умножение, не обращая внимания на запятые: $65 \cdot 4 = 260$.
Далее необходимо определить, сколько знаков нужно отделить запятой в результате. Для этого сложим количество знаков после запятой в обоих множителях. В числе 6,5 один знак, а в числе 0,004 – три знака. Всего $1 + 3 = 4$ знака.
Теперь в полученном произведении 260 отделим запятой 4 знака справа. Так как цифр не хватает, дописываем нули слева: $0,0260$. Последний ноль в дробной части можно отбросить.
Ответ: 0,026.

б) $0,09 \cdot 0,18$
Умножим числа, игнорируя запятые: $9 \cdot 18 = 162$.
В первом множителе (0,09) два знака после запятой, во втором (0,18) – также два знака. Суммарное количество знаков после запятой: $2 + 2 = 4$.
В результате 162 отделяем запятой 4 знака справа, при необходимости добавляя нули слева: $0,0162$.
Ответ: 0,0162.

в) $7,6 \cdot 0,005$
Перемножим числа без учета запятых: $76 \cdot 5 = 380$.
В множителях 7,6 и 0,005 суммарно $1 + 3 = 4$ знака после запятой.
В результате 380 отделяем 4 знака справа: $0,0380$. Конечный ноль в дробной части можно отбросить.
Ответ: 0,038.

г) $0,048 \cdot 0,09$
Выполним умножение целых чисел: $48 \cdot 9 = 432$.
В множителях 0,048 и 0,09 суммарно $3 + 2 = 5$ знаков после запятой.
В результате 432 отделяем 5 знаков справа, добавляя недостающие нули слева: $0,00432$.
Ответ: 0,00432.

д) $0,7 \cdot 0,0085$
Умножим $7 \cdot 85 = 595$.
В множителях 0,7 и 0,0085 суммарно $1 + 4 = 5$ знаков после запятой.
В результате 595 отделяем 5 знаков справа: $0,00595$.
Ответ: 0,00595.

е) $0,009 \cdot 0,78$
Умножим $9 \cdot 78 = 702$.
В множителях 0,009 и 0,78 суммарно $3 + 2 = 5$ знаков после запятой.
В результате 702 отделяем 5 знаков справа, добавив нули: $0,00702$.
Ответ: 0,00702.

ж) $80,8 \cdot 0,7$
Умножим $808 \cdot 7 = 5656$.
В множителях 80,8 и 0,7 суммарно $1 + 1 = 2$ знака после запятой.
В результате 5656 отделяем 2 знака справа: $56,56$.
Ответ: 56,56.

з) $0,09 \cdot 5,007$
Умножим $9 \cdot 5007 = 45063$.
В множителях 0,09 и 5,007 суммарно $2 + 3 = 5$ знаков после запятой.
В результате 45063 отделяем 5 знаков справа: $0,45063$.
Ответ: 0,45063.

и) $0,6 \cdot 3,054$
Умножим $6 \cdot 3054 = 18324$.
В множителях 0,6 и 3,054 суммарно $1 + 3 = 4$ знака после запятой.
В результате 18324 отделяем 4 знака справа: $1,8324$.
Ответ: 1,8324.

5.21. а) $3,59 \cdot 0,1;$

б) $2,3 \cdot 0,1;$

в) $0,0235 \cdot 0,1;$

г) $63,2 \cdot 0,01;$

д) $3,5 \cdot 0,01;$

е) $2,32 \cdot 0,01;$

ж) $723,1 \cdot 0,001;$

з) $79,4 \cdot 0,001;$

и) $3,8 \cdot 0,001.$

а) Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, необходимо в исходной дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько цифр стоит после запятой во втором множителе (0,1; 0,01; 0,001...). При умножении на 0,1 (одна цифра после запятой) переносим запятую на один знак влево.

$3,59 \cdot 0,1 = 0,359$

Ответ: 0,359

б) Умножаем на 0,1, значит, переносим запятую на один знак влево.

$2,3 \cdot 0,1 = 0,23$

Ответ: 0,23

в) Умножаем на 0,1, значит, переносим запятую на один знак влево.

$0,0235 \cdot 0,1 = 0,00235$

Ответ: 0,00235

г) При умножении на 0,01 (две цифры после запятой) переносим запятую на два знака влево.

$63,2 \cdot 0,01 = 0,632$

Ответ: 0,632

д) Умножаем на 0,01, значит, переносим запятую на два знака влево. Если цифр для переноса не хватает, слева дописываются нули.

$3,5 \cdot 0,01 = 0,035$

Ответ: 0,035

е) Умножаем на 0,01, значит, переносим запятую на два знака влево.

$2,32 \cdot 0,01 = 0,0232$

Ответ: 0,0232

ж) При умножении на 0,001 (три цифры после запятой) переносим запятую на три знака влево.

$723,1 \cdot 0,001 = 0,7231$

Ответ: 0,7231

з) Умножаем на 0,001, значит, переносим запятую на три знака влево. Если цифр для переноса не хватает, слева дописываются нули.

$79,4 \cdot 0,001 = 0,0794$

Ответ: 0,0794

и) Умножаем на 0,001, значит, переносим запятую на три знака влево. Если цифр для переноса не хватает, слева дописываются нули.

$3,8 \cdot 0,001 = 0,0038$

Ответ: 0,0038

5.22. а) $4.381 \cdot 0.2;$

б) $7.713 \cdot 0.8;$

в) $0.07 \cdot 620.4;$

г) $0.2569 \cdot 0.6;$

д) $0.3 \cdot 2.451;$

е) $67.19 \cdot 0.05;$

ж) $42.25 \cdot 0.4;$

з) $362.5 \cdot 0.8;$

и) $512.5 \cdot 0.08.$

а) Чтобы умножить $4,381$ на $0,2$, сначала перемножим эти числа как целые, не обращая внимания на запятые:
$4381 \cdot 2 = 8762$.
Далее посчитаем общее количество знаков после запятой в обоих множителях. В числе $4,381$ их три, а в числе $0,2$ — один. Суммарное количество знаков: $3 + 1 = 4$.
Теперь в полученном произведении $8762$ нужно отделить запятой четыре знака справа.
$4,381 \cdot 0,2 = 0,8762$.
Ответ: $0,8762$.

б) Умножаем $7,713$ на $0,8$. Сначала выполним умножение чисел без учета запятых:
$7713 \cdot 8 = 61704$.
В первом множителе ($7,713$) три знака после запятой, во втором ($0,8$) — один. Всего $3 + 1 = 4$ знака.
В результате $61704$ отделяем четыре знака запятой справа.
$7,713 \cdot 0,8 = 6,1704$.
Ответ: $6,1704$.

в) Вычисляем произведение $0,07 \cdot 620,4$. Перемножаем числа $7$ и $6204$:
$7 \cdot 6204 = 43428$.
В числе $0,07$ два знака после запятой, в числе $620,4$ — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака.
В полученном произведении $43428$ отделяем три знака запятой справа.
$0,07 \cdot 620,4 = 43,428$.
Ответ: $43,428$.

г) Умножаем $0,2569$ на $0,6$. Сначала умножаем $2569$ на $6$:
$2569 \cdot 6 = 15414$.
В первом множителе четыре знака после запятой, во втором — один. Всего $4 + 1 = 5$ знаков.
В результате $15414$ необходимо отделить пять знаков запятой справа.
$0,2569 \cdot 0,6 = 0,15414$.
Ответ: $0,15414$.

д) Вычисляем произведение $0,3 \cdot 2,451$. Порядок действий такой же: умножаем числа без запятых.
$3 \cdot 2451 = 7353$.
Считаем общее количество знаков после запятой: в $0,3$ — один, в $2,451$ — три. Итого $1 + 3 = 4$ знака.
В числе $7353$ отделяем четыре знака запятой.
$0,3 \cdot 2,451 = 0,7353$.
Ответ: $0,7353$.

е) Умножаем $67,19$ на $0,05$. Выполняем умножение $6719$ на $5$:
$6719 \cdot 5 = 33595$.
В первом множителе два знака после запятой, во втором — тоже два. Всего $2 + 2 = 4$ знака.
В результате $33595$ отделяем четыре знака запятой.
$67,19 \cdot 0,05 = 3,3595$.
Ответ: $3,3595$.

ж) Находим произведение $42,25 \cdot 0,4$. Умножаем $4225$ на $4$:
$4225 \cdot 4 = 16900$.
В первом числе два знака после запятой, во втором — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака.
Отделяем три знака запятой в числе $16900$, получаем $16,900$. Нули в конце дробной части можно отбросить.
$42,25 \cdot 0,4 = 16,9$.
Ответ: $16,9$.

з) Вычисляем $362,5 \cdot 0,8$. Умножаем $3625$ на $8$:
$3625 \cdot 8 = 29000$.
В обоих множителях по одному знаку после запятой. Всего $1 + 1 = 2$ знака.
Отделяем два знака запятой в числе $29000$, получаем $290,00$. Это равно целому числу $290$.
$362,5 \cdot 0,8 = 290$.
Ответ: $290$.

и) Умножаем $512,5$ на $0,08$. Выполняем умножение $5125$ на $8$:
$5125 \cdot 8 = 41000$.
В первом множителе один знак после запятой, во втором — два. Всего $1 + 2 = 3$ знака.
Отделяем три знака запятой в числе $41000$, получаем $41,000$. Результат равен $41$.
$512,5 \cdot 0,08 = 41$.
Ответ: $41$.

5.23. а) $2,3 \cdot 1,1;$

б) $4,3 \cdot 1,2;$

в) $0,22 \cdot 3,3;$

г) $53 \cdot 0,31;$

д) $0,68 \cdot 61;$

е) $0,72 \cdot 0,015;$

ж) $4,35 \cdot 2,2;$

з) $3,2 \cdot 0,25;$

и) $0,084 \cdot 0,55.$

а) Чтобы умножить десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Выполним умножение $2,3 \cdot 1,1$:
1. Умножим целые числа: $23 \cdot 11 = 253$.
2. В числе $2,3$ одна цифра после запятой, в числе $1,1$ также одна цифра. Всего $1+1=2$ цифры после запятой.
3. Отделим в результате ($253$) две цифры справа, поставив запятую. Получаем $2,53$.
Ответ: $2,53$

б) Выполним умножение $4,3 \cdot 1,2$:
1. Умножим целые числа: $43 \cdot 12 = 516$.
2. В числе $4,3$ одна цифра после запятой, в числе $1,2$ также одна цифра. Всего $1+1=2$ цифры после запятой.
3. Отделим в результате ($516$) две цифры справа, поставив запятую. Получаем $5,16$.
Ответ: $5,16$

в) Выполним умножение $0,22 \cdot 3,3$:
1. Умножим числа, отбросив запятые: $22 \cdot 33 = 726$.
2. В числе $0,22$ две цифры после запятой, в числе $3,3$ одна цифра. Всего $2+1=3$ цифры после запятой.
3. Отделим в результате ($726$) три цифры справа, поставив запятую. Так как цифр меньше, чем нужно, добавим спереди ноль. Получаем $0,726$.
Ответ: $0,726$

г) Выполним умножение $53 \cdot 0,31$:
1. Умножим числа: $53 \cdot 31 = 1643$.
2. В числе $53$ нет цифр после запятой, в числе $0,31$ две цифры. Всего $0+2=2$ цифры после запятой.
3. Отделим в результате ($1643$) две цифры справа. Получаем $16,43$.
Ответ: $16,43$

д) Выполним умножение $0,68 \cdot 61$:
1. Умножим числа: $68 \cdot 61 = 4148$.
2. В числе $0,68$ две цифры после запятой, в числе $61$ нет цифр после запятой. Всего $2+0=2$ цифры после запятой.
3. Отделим в результате ($4148$) две цифры справа. Получаем $41,48$.
Ответ: $41,48$

е) Выполним умножение $0,72 \cdot 0,015$:
1. Умножим числа: $72 \cdot 15 = 1080$.
2. В числе $0,72$ две цифры после запятой, в числе $0,015$ три цифры. Всего $2+3=5$ цифр после запятой.
3. Отделим в результате ($1080$) пять цифр справа. Так как цифр не хватает, добавим спереди нули: $0,01080$. Нуль в конце дроби можно отбросить. Получаем $0,0108$.
Ответ: $0,0108$

ж) Выполним умножение $4,35 \cdot 2,2$:
1. Умножим числа: $435 \cdot 22 = 9570$.
2. В числе $4,35$ две цифры после запятой, в числе $2,2$ одна цифра. Всего $2+1=3$ цифры после запятой.
3. Отделим в результате ($9570$) три цифры справа. Получаем $9,570$. Нуль в конце дроби можно отбросить: $9,57$.
Ответ: $9,57$

з) Выполним умножение $3,2 \cdot 0,25$:
1. Умножим числа: $32 \cdot 25 = 800$.
2. В числе $3,2$ одна цифра после запятой, в числе $0,25$ две цифры. Всего $1+2=3$ цифры после запятой.
3. Отделим в результате ($800$) три цифры справа. Получаем $0,800$. Лишние нули в конце можно отбросить: $0,8$.
Ответ: $0,8$

и) Выполним умножение $0,084 \cdot 0,55$:
1. Умножим числа: $84 \cdot 55 = 4620$.
2. В числе $0,084$ три цифры после запятой, в числе $0,55$ две цифры. Всего $3+2=5$ цифр после запятой.
3. Отделим в результате ($4620$) пять цифр справа. Так как цифр не хватает, добавим спереди ноль: $0,04620$. Нуль в конце дроби можно отбросить. Получаем $0,0462$.
Ответ: $0,0462$

5.24. Вычислите, применяя законы умножения:

а) $0.25 \cdot 0.3 \cdot 4$;

б) $0.2 \cdot 0.13 \cdot 50$;

в) $0.8 \cdot 0.11 \cdot 1.25$;

г) $0.125 \cdot 3 \cdot 0.8$;

д) $0.5 \cdot 7.3 \cdot 2.2$;

е) $0.25 \cdot 1.7 \cdot 1.6$.

а) $0,25 \cdot 0,3 \cdot 4$

Применим переместительный и сочетательный законы умножения, чтобы сгруппировать множители для удобного вычисления. Сначала умножим $0,25$ на $4$, так как их произведение равно $1$.

$(0,25 \cdot 4) \cdot 0,3 = 1 \cdot 0,3 = 0,3$

Ответ: 0,3

б) $0,2 \cdot 0,13 \cdot 50$

Сгруппируем множители $0,2$ и $50$, так как их произведение является целым числом, что упрощает дальнейшие вычисления.

$(0,2 \cdot 50) \cdot 0,13 = 10 \cdot 0,13 = 1,3$

Ответ: 1,3

в) $0,8 \cdot 0,11 \cdot 1,25$

Используя законы умножения, сгруппируем множители $0,8$ и $1,25$. Их произведение равно $1$, что делает вычисление очень простым.

$(0,8 \cdot 1,25) \cdot 0,11 = 1 \cdot 0,11 = 0,11$

Ответ: 0,11

г) $0,125 \cdot 3 \cdot 0,8$

Сгруппируем множители $0,125$ и $0,8$. Их произведение равно $0,1$, что упрощает последующее умножение.

$(0,125 \cdot 0,8) \cdot 3 = 0,1 \cdot 3 = 0,3$

Ответ: 0,3

д) $0,5 \cdot 7,3 \cdot 2,2$

Переставим множители и сгруппируем $0,5$ и $2,2$. Умножение на $0,5$ эквивалентно делению на 2, поэтому $0,5 \cdot 2,2 = 1,1$.

$(0,5 \cdot 2,2) \cdot 7,3 = 1,1 \cdot 7,3 = 8,03$

Ответ: 8,03

е) $0,25 \cdot 1,7 \cdot 1,6$

Сгруппируем множители $0,25$ и $1,6$. Умножение на $0,25$ эквивалентно делению на 4, а $1,6$ легко делится на 4.

$(0,25 \cdot 1,6) \cdot 1,7 = 0,4 \cdot 1,7 = 0,68$

Ответ: 0,68

Вычислите (5.25–5.29):

5.25. а) $2.4 \cdot 4.8 + 2.6 \cdot 4.8$;

б) $30.5 \cdot 20.3 - 30.5 \cdot 0.3$;

в) $5.1 \cdot 1.8 - 1.8$;

г) $4.9 \cdot 6.2 + 6.2$.

а) $2,4 \cdot 4,8 + 2,6 \cdot 4,8$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

В данном выражении общий множитель равен $4,8$. Вынесем его за скобки:

$2,4 \cdot 4,8 + 2,6 \cdot 4,8 = (2,4 + 2,6) \cdot 4,8$.

Сначала выполним сложение в скобках:

$2,4 + 2,6 = 5$.

Теперь умножим полученный результат на общий множитель:

$5 \cdot 4,8 = 24$.

Ответ: 24.

б) $30,5 \cdot 20,3 - 30,5 \cdot 0,3$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания: $c \cdot a - c \cdot b = c \cdot (a - b)$.

Здесь общий множитель равен $30,5$. Вынесем его за скобки:

$30,5 \cdot 20,3 - 30,5 \cdot 0,3 = 30,5 \cdot (20,3 - 0,3)$.

Выполним вычитание в скобках:

$20,3 - 0,3 = 20$.

Теперь умножим общий множитель на полученный результат:

$30,5 \cdot 20 = 610$.

Ответ: 610.

в) $5,1 \cdot 1,8 - 1,8$

Представим вычитаемое $1,8$ как произведение $1 \cdot 1,8$. Тогда выражение примет вид:

$5,1 \cdot 1,8 - 1 \cdot 1,8$.

Воспользуемся распределительным свойством умножения. Общий множитель $1,8$ вынесем за скобки:

$(5,1 - 1) \cdot 1,8$.

Выполним вычитание в скобках:

$5,1 - 1 = 4,1$.

Теперь выполним умножение:

$4,1 \cdot 1,8 = 7,38$.

Ответ: 7,38.

г) $4,9 \cdot 6,2 + 6,2$

Представим второе слагаемое $6,2$ как произведение $1 \cdot 6,2$. Тогда выражение примет вид:

$4,9 \cdot 6,2 + 1 \cdot 6,2$.

Воспользуемся распределительным свойством умножения. Общий множитель $6,2$ вынесем за скобки:

$(4,9 + 1) \cdot 6,2$.

Выполним сложение в скобках:

$4,9 + 1 = 5,9$.

Теперь выполним умножение:

$5,9 \cdot 6,2 = 36,58$.

Ответ: 36,58.

5.26. а) $0,1 \cdot 0,1;$

б) $0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2;$

в) $0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3;$

г) $0,05 \cdot 0,05;$

д) $0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6;$

е) $0,08 \cdot 0,08;$

ж) $(0,5 + 0,2)^2;$

з) $(0,7 + 0,3)^3;$

и) $(0,9 - 0,4)^3;$

к) $0,8 + 1,1^2;$

л) $1,2^2 - 1,2;$

м) $1,5^2 - 0,25.$

а) Чтобы умножить $0,1$ на $0,1$, мы можем представить эти числа в виде дробей: $0,1 = \frac{1}{10}$. Тогда произведение будет равно $\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100} = 0,01$. Другой способ: умножаем $1$ на $1$, получаем $1$. В обоих множителях по одному знаку после запятой, значит в результате будет два знака после запятой.
$0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.
Ответ: $0,01$.

б) Данное выражение можно записать как степень: $0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = (0,2)^3$. Для вычисления умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. В каждом из трех множителей по одному знаку после запятой, значит в результате будет $1+1+1=3$ знака после запятой.
$0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$.
Ответ: $0,008$.

в) Вычислим произведение $0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3$, которое можно записать как $(0,3)^4$. Сначала умножим $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. В каждом из четырех множителей по одному знаку после запятой, значит в результате будет $1+1+1+1=4$ знака после запятой.
$0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,0081$.
Ответ: $0,0081$.

г) Для вычисления $0,05 \cdot 0,05$ умножим $5$ на $5$, что дает $25$. В каждом множителе по два знака после запятой, значит в результате должно быть $2+2=4$ знака после запятой.
$0,05 \cdot 0,05 = 0,0025$.
Ответ: $0,0025$.

д) Выражение $0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6$ равносильно $(0,6)^3$. Вычислим $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$. В каждом из трех множителей по одному знаку после запятой, значит в результате будет $1+1+1=3$ знака после запятой.
$0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,216$.
Ответ: $0,216$.

е) Чтобы вычислить $0,08 \cdot 0,08$, умножим $8$ на $8$, что равно $64$. В каждом множителе по два знака после запятой, значит в результате должно быть $2+2=4$ знака после запятой.
$0,08 \cdot 0,08 = 0,0064$.
Ответ: $0,0064$.

ж) Сначала выполним действие в скобках: $0,5 + 0,2 = 0,7$. Затем возведем результат в квадрат.
$(0,5 + 0,2)^2 = (0,7)^2 = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49$.
Ответ: $0,49$.

з) Сначала выполним сложение в скобках: $0,7 + 0,3 = 1$. Затем возведем результат в куб.
$(0,7 + 0,3)^3 = (1)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: $1$.

и) Сначала выполним вычитание в скобках: $0,9 - 0,4 = 0,5$. Затем возведем результат в куб.
$(0,9 - 0,4)^3 = (0,5)^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125$.
Ответ: $0,125$.

к) Согласно порядку действий, сначала выполняем возведение в степень, а затем сложение. Сначала вычислим $1,1^2$:
$1,1^2 = 1,1 \cdot 1,1 = 1,21$.
Теперь выполним сложение:
$0,8 + 1,21 = 2,01$.
Ответ: $2,01$.

л) Сначала выполним возведение в степень: $1,2^2$.
$1,2^2 = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44$.
Затем выполним вычитание:
$1,44 - 1,2 = 1,44 - 1,20 = 0,24$.
Ответ: $0,24$.

м) Сначала возведем $1,5$ в квадрат.
$1,5^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25$.
Затем вычтем $0,25$ из полученного результата:
$2,25 - 0,25 = 2$.
Ответ: $2$.

5.27. а) $9.51 \cdot 18;$

б) $66.3 \cdot 26;$

в) $8.47 \cdot 0.64;$

г) $7.3 \cdot 5.42;$

д) $0.85 \cdot 2.06;$

е) $8.07 \cdot 0.016.$

а) $9,51 \cdot 18$

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1. Умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятую.
2. В полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в десятичной дроби.

Умножим 951 на 18:

$ \begin{array}{r} 951 \\ \times \quad 18 \\ \hline 7608 \\ 951\phantom{0} \\ \hline 17118 \end{array} $

В числе 9,51 две цифры после запятой, поэтому в результате 17118 отделяем две цифры справа запятой. Получаем 171,18.

Ответ: $171,18$.

б) $66,3 \cdot 26$

Выполним умножение чисел 663 и 26, не обращая внимания на запятую:

$ \begin{array}{r} 663 \\ \times \quad 26 \\ \hline 3978 \\ 1326\phantom{0} \\ \hline 17238 \end{array} $

В множителе 66,3 одна цифра после запятой. Отделим в произведении 17238 одну цифру справа. Получаем 1723,8.

Ответ: $1723,8$.

в) $8,47 \cdot 0,64$

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно:

1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые.
2. Отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Умножим 847 на 64:

$ \begin{array}{r} 847 \\ \times \quad 64 \\ \hline 3388 \\ 5082\phantom{0} \\ \hline 54208 \end{array} $

В первом множителе (8,47) две цифры после запятой, во втором (0,64) — тоже две. Всего $2+2=4$ цифры. Отделяем в результате 54208 четыре цифры справа. Получаем 5,4208.

Ответ: $5,4208$.

г) $7,3 \cdot 5,42$

Умножим числа 73 и 542:

$ \begin{array}{r} 542 \\ \times \quad 73 \\ \hline 1626 \\ 3794\phantom{0} \\ \hline 39566 \end{array} $

В первом множителе (7,3) одна цифра после запятой, во втором (5,42) — две. Всего $1+2=3$ цифры. Отделим в произведении 39566 три цифры справа. Получаем 39,566.

Ответ: $39,566$.

д) $0,85 \cdot 2,06$

Умножим 85 на 206:

$ \begin{array}{r} 206 \\ \times \quad 85 \\ \hline 1030 \\ 1648\phantom{0} \\ \hline 17510 \end{array} $

В множителе 0,85 две цифры после запятой, в множителе 2,06 — две. Всего $2+2=4$ цифры. Отделяем в результате 17510 четыре цифры справа. Получаем $1,7510$ или $1,751$.

Ответ: $1,751$.

е) $8,07 \cdot 0,016$

Умножим 807 на 16:

$ \begin{array}{r} 807 \\ \times \quad 16 \\ \hline 4842 \\ 807\phantom{0} \\ \hline 12912 \end{array} $

В первом множителе (8,07) две цифры после запятой, во втором (0,016) — три. Всего $2+3=5$ цифр. Чтобы отделить 5 цифр справа в числе 12912, нужно дописать спереди ноль. Получаем 0,12912.

Ответ: $0,12912$.

5.28. а) $3,32 \cdot 0,101;$

б) $3,02 \cdot 6,48;$

в) $3,21 \cdot 0,562;$

г) $95,5 \cdot 3,17;$

д) $0,861 \cdot 0,242;$

е) $0,999 \cdot 0,732.$

а) $3,32 \cdot 0,101$

Чтобы перемножить две десятичные дроби, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выполнить умножение чисел, не обращая внимания на запятые (как с натуральными числами).
2. В полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

1. Умножим числа $332$ и $101$ столбиком:

 332 × 101------ 332 000 332------ 33532

2. Посчитаем количество знаков после запятой в исходных множителях. В числе $3,32$ два знака после запятой, в числе $0,101$ — три знака. Общее количество знаков: $2 + 3 = 5$.

3. В полученном произведении $33532$ отделяем $5$ знаков справа, поставив запятую. Так как цифр не хватает, дописываем ноль впереди. Получаем $0,33532$.

Ответ: $0,33532$.

б) $3,02 \cdot 6,48$

1. Умножим числа $302$ и $648$, игнорируя запятые:

 302 × 648------ 2416 12081812------195696

2. В множителях $3,02$ и $6,48$ по два знака после запятой в каждом. Всего знаков после запятой: $2 + 2 = 4$.

3. В результате $195696$ отделяем $4$ знака справа, поставив запятую. Получаем $19,5696$.

Ответ: $19,5696$.

в) $3,21 \cdot 0,562$

1. Умножим числа $321$ и $562$:

 321 × 562------ 642 19261605------180402

2. В числе $3,21$ — два знака после запятой, в числе $0,562$ — три знака. Всего знаков после запятой: $2 + 3 = 5$.

3. В результате $180402$ отделяем $5$ знаков справа. Получаем $1,80402$.

Ответ: $1,80402$.

г) $95,5 \cdot 3,17$

1. Умножим числа $955$ и $317$:

 955 × 317------ 6685 9552865------302735

2. В числе $95,5$ — один знак после запятой, в числе $3,17$ — два знака. Всего знаков после запятой: $1 + 2 = 3$.

3. В результате $302735$ отделяем $3$ знака справа. Получаем $302,735$.

Ответ: $302,735$.

д) $0,861 \cdot 0,242$

1. Умножим числа $861$ и $242$:

 861 × 242------ 1722 34441722------208362

2. В числе $0,861$ — три знака после запятой, в числе $0,242$ — три знака. Всего знаков после запятой: $3 + 3 = 6$.

3. В результате $208362$ отделяем $6$ знаков справа. Так как цифр не хватает, дописываем ноль впереди. Получаем $0,208362$.

Ответ: $0,208362$.

е) $0,999 \cdot 0,732$

1. Умножим числа $999$ и $732$:

 999 × 732------ 1998 29976993------731268

2. В каждом из множителей ($0,999$ и $0,732$) по три знака после запятой. Всего знаков после запятой: $3 + 3 = 6$.

3. В результате $731268$ отделяем $6$ знаков справа. Дописываем ноль впереди, так как целая часть отсутствует. Получаем $0,731268$.

Ответ: $0,731268$.

5.29. а) $7.668 \cdot 24 - 9.68;$

в) $5.306 \cdot 42 + 5.36 \cdot 82;$

д) $2.4 \cdot 98 + 4.8;$

ж) $3.2 \cdot 103 - 9.6;$

б) $35.22 + 45.83 \cdot 2.6;$

г) $1.654 \cdot 3.4 + 6.4 \cdot 9.5;$

е) $35.4 \cdot 1.99 + 35.4;$

з) $1.22 \cdot 97 + 3.66.$

а) $7,668 \cdot 24 - 9,68$.
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполним умножение, а затем вычитание.
1) $7,668 \cdot 24 = 184,032$
2) $184,032 - 9,68 = 174,352$
Ответ: 174,352

б) $35,22 + 45,83 \cdot 2,6$.
В соответствии с порядком действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение.
1) $45,83 \cdot 2,6 = 119,158$
2) $35,22 + 119,158 = 154,378$
Ответ: 154,378

в) $5,306 \cdot 42 + 5,36 \cdot 82$.
Выполним два умножения, а затем сложим полученные результаты.
1) $5,306 \cdot 42 = 222,852$
2) $5,36 \cdot 82 = 439,52$
3) $222,852 + 439,52 = 662,372$
Ответ: 662,372

г) $1,654 \cdot 3,4 + 6,4 \cdot 9,5$.
Сначала выполним оба умножения, а затем сложим их результаты.
1) $1,654 \cdot 3,4 = 5,6236$
2) $6,4 \cdot 9,5 = 60,8$
3) $5,6236 + 60,8 = 66,4236$
Ответ: 66,4236

д) $2,4 \cdot 98 + 4,8$.
Для упрощения вычислений воспользуемся распределительным свойством умножения. Заметим, что $4,8 = 2,4 \cdot 2$.
$2,4 \cdot 98 + 4,8 = 2,4 \cdot 98 + 2,4 \cdot 2$
Вынесем общий множитель $2,4$ за скобки:
$2,4 \cdot (98 + 2) = 2,4 \cdot 100 = 240$
Ответ: 240

е) $35,4 \cdot 1,99 + 35,4$.
Воспользуемся распределительным свойством умножения. Представим второе слагаемое $35,4$ как $35,4 \cdot 1$.
$35,4 \cdot 1,99 + 35,4 = 35,4 \cdot 1,99 + 35,4 \cdot 1$
Вынесем общий множитель $35,4$ за скобки:
$35,4 \cdot (1,99 + 1) = 35,4 \cdot 2,99$
Для удобства умножения можно представить $2,99$ как разность $(3 - 0,01)$:
$35,4 \cdot (3 - 0,01) = 35,4 \cdot 3 - 35,4 \cdot 0,01 = 106,2 - 0,354 = 105,846$
Ответ: 105,846

ж) $3,2 \cdot 103 - 9,6$.
Чтобы упростить вычисления, применим распределительное свойство. Заметим, что $9,6$ можно представить как произведение $3,2 \cdot 3$.
$3,2 \cdot 103 - 9,6 = 3,2 \cdot 103 - 3,2 \cdot 3$
Вынесем общий множитель $3,2$ за скобки:
$3,2 \cdot (103 - 3) = 3,2 \cdot 100 = 320$
Ответ: 320

з) $1,22 \cdot 97 + 3,66$.
Для упрощения вычислений используем распределительное свойство умножения. Заметим, что $3,66$ является произведением $1,22 \cdot 3$.
$1,22 \cdot 97 + 3,66 = 1,22 \cdot 97 + 1,22 \cdot 3$
Вынесем общий множитель $1,22$ за скобки:
$1,22 \cdot (97 + 3) = 1,22 \cdot 100 = 122$
Ответ: 122

5.30. Известно, что $8 \cdot 125 = 1000$. Вычислите:

а) $8 \cdot 12.5;$

б) $0.08 \cdot 125;$

в) $0.8 \cdot 12.5;$

г) $8 \cdot 0.125;$

д) $0.8 \cdot 1.25;$

е) $0.08 \cdot 12.5.$

а) Чтобы вычислить $8 \cdot 12,5$, заметим, что один из множителей, $12,5$, в 10 раз меньше, чем $125$. Следовательно, и произведение будет в 10 раз меньше.
$8 \cdot 12,5 = (8 \cdot 125) \div 10 = 1000 \div 10 = 100$.
Или, представив $12,5$ в виде дроби:
$8 \cdot 12,5 = 8 \cdot \frac{125}{10} = \frac{8 \cdot 125}{10} = \frac{1000}{10} = 100$.
Ответ: 100.

б) В выражении $0,08 \cdot 125$ множитель $0,08$ в 100 раз меньше, чем $8$. Значит, произведение будет в 100 раз меньше.
$0,08 \cdot 125 = (8 \div 100) \cdot 125 = (8 \cdot 125) \div 100 = 1000 \div 100 = 10$.
Или, представив $0,08$ в виде дроби:
$0,08 \cdot 125 = \frac{8}{100} \cdot 125 = \frac{8 \cdot 125}{100} = \frac{1000}{100} = 10$.
Ответ: 10.

в) В выражении $0,8 \cdot 12,5$ первый множитель ($0,8$) в 10 раз меньше, чем $8$, и второй множитель ($12,5$) в 10 раз меньше, чем $125$. Следовательно, произведение будет в $10 \cdot 10 = 100$ раз меньше.
$0,8 \cdot 12,5 = (8 \div 10) \cdot (125 \div 10) = (8 \cdot 125) \div 100 = 1000 \div 100 = 10$.
Или, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:
$0,8 \cdot 12,5 = \frac{8}{10} \cdot \frac{125}{10} = \frac{8 \cdot 125}{10 \cdot 10} = \frac{1000}{100} = 10$.
Ответ: 10.

г) В выражении $8 \cdot 0,125$ множитель $0,125$ в 1000 раз меньше, чем $125$. Значит, произведение будет в 1000 раз меньше.
$8 \cdot 0,125 = 8 \cdot (125 \div 1000) = (8 \cdot 125) \div 1000 = 1000 \div 1000 = 1$.
Или, представив $0,125$ в виде дроби:
$8 \cdot 0,125 = 8 \cdot \frac{125}{1000} = \frac{8 \cdot 125}{1000} = \frac{1000}{1000} = 1$.
Ответ: 1.

д) В выражении $0,8 \cdot 1,25$ первый множитель ($0,8$) в 10 раз меньше, чем $8$, а второй ($1,25$) в 100 раз меньше, чем $125$. Следовательно, произведение будет в $10 \cdot 100 = 1000$ раз меньше.
$0,8 \cdot 1,25 = (8 \div 10) \cdot (125 \div 100) = (8 \cdot 125) \div 1000 = 1000 \div 1000 = 1$.
Или, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:
$0,8 \cdot 1,25 = \frac{8}{10} \cdot \frac{125}{100} = \frac{8 \cdot 125}{10 \cdot 100} = \frac{1000}{1000} = 1$.
Ответ: 1.

е) В выражении $0,08 \cdot 12,5$ первый множитель ($0,08$) в 100 раз меньше, чем $8$, а второй ($12,5$) в 10 раз меньше, чем $125$. Следовательно, произведение будет в $100 \cdot 10 = 1000$ раз меньше.
$0,08 \cdot 12,5 = (8 \div 100) \cdot (125 \div 10) = (8 \cdot 125) \div 1000 = 1000 \div 1000 = 1$.
Или, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:
$0,08 \cdot 12,5 = \frac{8}{100} \cdot \frac{125}{10} = \frac{8 \cdot 125}{100 \cdot 10} = \frac{1000}{1000} = 1$.
Ответ: 1.