Страница 185 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.282. (Армения, VII в.) Один купец прошёл через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины $\$ \frac{1}{2} \$ и $\$ \frac{1}{3} \$ имущества, во втором городе $\$ \frac{1}{2} \$ и $\$ \frac{1}{3} \$ [с того, что осталось] и в третьем городе снова взыскали $\$ \frac{1}{2} \$ и $\$ \frac{1}{3} \$ [с того, что у него было]; и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов [денежных единиц]. Итак, узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.

Для решения этой задачи проще всего рассуждать в обратном порядке, то есть "с конца".

Сначала определим, какую часть своего имущества купец отдавал в качестве пошлины в каждом городе. По условию, это "половина и треть". Сложим эти доли, чтобы найти общую часть пошлины:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $

Таким образом, в каждом городе купец отдавал $ \frac{5}{6} $ своего имущества. Следовательно, после уплаты пошлины у него оставалась $ 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $ от той суммы, с которой он прибывал в город.

Теперь, зная, что у купца осталось 11 дахеканов, мы можем восстановить его первоначальный капитал:

1. Сумма перед уплатой пошлины в третьем городе была в 6 раз больше, чем оставшиеся 11 дахеканов:
   $ 11 \cdot 6 = 66 $ дахеканов.
2. Сумма в 66 дахеканов была у купца после прохождения второго города. Значит, до уплаты пошлины во втором городе у него было в 6 раз больше:
   $ 66 \cdot 6 = 396 $ дахеканов.
3. Сумма в 396 дахеканов осталась у него после первого города. Следовательно, его первоначальный капитал (до первого города) был в 6 раз больше:
   $ 396 \cdot 6 = 2376 $ дахеканов.

Задачу можно также решить с помощью уравнения. Пусть $x$ — начальное количество дахеканов. После прохождения трех городов, в каждом из которых его состояние уменьшалось в 6 раз, у него осталась сумма, равная 11. Составим уравнение:

$ x \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = 11 $

$ \frac{x}{216} = 11 $

$ x = 11 \cdot 216 $

$ x = 2376 $

Ответ: 2376 дахеканов.

4.233. Из Акмимского папируса (VI в.). Некто взял из сокровищницы $ \frac{1}{13} $. Другой взял $ \frac{1}{17} $ из того, что осталось, оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально.

Для решения этой задачи обозначим первоначальное количество в сокровищнице переменной $x$.

Первый человек взял $\frac{1}{13}$ от всего количества. Следовательно, в сокровищнице осталось:

$x - \frac{1}{13}x = (1 - \frac{1}{13})x = \frac{12}{13}x$

Далее, второй человек взял $\frac{1}{17}$ от того, что осталось. Это означает, что после его ухода осталась часть, равная $1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17}$ от количества, которое было перед ним.

Найдем, какая часть от первоначального количества $x$ осталась в сокровищнице после того, как оба человека взяли свои доли:

$(\frac{12}{13}x) \cdot \frac{16}{17} = \frac{12 \cdot 16}{13 \cdot 17}x = \frac{192}{221}x$

По условию задачи, эта оставшаяся часть составляет 150. Мы можем составить уравнение:

$\frac{192}{221}x = 150$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$x = 150 \cdot \frac{221}{192}$

Для упрощения вычислений сократим дробь $\frac{150}{192}$. Наибольший общий делитель чисел 150 и 192 равен 6.

$150 \div 6 = 25$

$192 \div 6 = 32$

Подставим сокращенные значения:

$x = 25 \cdot \frac{221}{32} = \frac{5525}{32}$

Чтобы сделать ответ более понятным, можно преобразовать неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:

$5525 \div 32 = 172$ с остатком $21$.

Следовательно, первоначальное количество равно $172 \frac{21}{32}$.

Ответ: Первоначально в сокровищнице было $172 \frac{21}{32}$ (или $\frac{5525}{32}$).

4.284. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто пришёл в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил $ \frac{1}{5} $ часть всех своих денег, за другую $ \frac{3}{7} $ остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил $ \frac{3}{5} $ остатка от второй покупки, а по приезде в дом нашёл остальных в кошельке денег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.

Для решения этой задачи удобнее всего рассуждать в обратном порядке, от конца к началу. Для удобства вычислений переведем все денежные суммы в копейки: 1 р. 92 к. = 192 копейки.

1. Сначала найдем, какая сумма была в кошельке перед покупкой третьей игрушки. За третью игрушку заплатили $\frac{3}{5}$ остатка денег после второй покупки. Это означает, что оставшиеся 192 копейки составляют $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ от той суммы, что была перед третьей покупкой. Найдем эту сумму (остаток после второй покупки), зная ее часть:
$192 \div \frac{2}{5} = 192 \times \frac{5}{2} = 96 \times 5 = 480$ копеек. Теперь можем найти стоимость третьей игрушки: $480 - 192 = 288$ копеек (2 р. 88 к.).

2. Далее найдем, какая сумма была в кошельке перед покупкой второй игрушки. За вторую игрушку заплатили $\frac{3}{7}$ остатка денег после первой покупки. Значит, 480 копеек (сумма перед третьей покупкой) составляют $1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ от остатка после первой покупки. Найдем этот остаток, зная его часть:
$480 \div \frac{4}{7} = 480 \times \frac{7}{4} = 120 \times 7 = 840$ копеек. Стоимость второй игрушки: $840 - 480 = 360$ копеек (3 р. 60 к.).

3. Наконец, найдем первоначальную сумму денег. За первую игрушку заплатили $\frac{1}{5}$ всех денег. Следовательно, 840 копеек (остаток после первой покупки) составляют $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ от всей первоначальной суммы. Найдем первоначальную сумму, зная ее часть:
$840 \div \frac{4}{5} = 840 \times \frac{5}{4} = 210 \times 5 = 1050$ копеек. Стоимость первой игрушки: $1050 - 840 = 210$ копеек (2 р. 10 к.).

Теперь дадим ответы на поставленные в задаче вопросы.

сколько в кошельке денег было
Первоначально в кошельке было 1050 копеек.
Ответ: 10 р. 50 к.

сколько за которую игрушку денег заплачено
За первую игрушку заплатили 210 копеек (2 р. 10 к.).
За вторую игрушку заплатили 360 копеек (3 р. 60 к.).
За третью игрушку заплатили 288 копеек (2 р. 88 к.).
Ответ: за первую игрушку — 2 р. 10 к., за вторую — 3 р. 60 к., за третью — 2 р. 88 к.

4.285. Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием заплатить ему по 1 р. 50 к. за доставку каждого зеркала в целости и вычесть с него по 5 р. за каждое разбитое им зеркало. На дороге извозчик действительно разбил несколько зеркал и за перевозку получил только 18 р. Сколько зеркал он доставил в целости?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод, составив уравнение, или арифметический метод.

Способ 1: Арифметический

1. Сначала определим, какую сумму извозчик получил бы, если бы доставил все 25 зеркал в целости. Стоимость доставки одного зеркала — 1 рубль 50 копеек, или $1.5$ рубля.

$25 \text{ зеркал} \times 1.5 \text{ руб.} = 37.5$ руб.

2. Фактически извозчик получил 18 рублей. Найдем разницу между максимально возможным заработком и реальным:

$37.5 \text{ руб.} - 18 \text{ руб.} = 19.5$ руб.

Эта разница образовалась из-за разбитых зеркал.

3. Теперь рассчитаем, сколько денег теряет извозчик за каждое разбитое зеркало. Он не только не получает $1.5$ рубля за доставку, но и платит штраф в размере $5$ рублей. Таким образом, убыток за одно разбитое зеркало составляет:

$1.5 \text{ руб.} + 5 \text{ руб.} = 6.5$ руб.

4. Чтобы найти количество разбитых зеркал, разделим общую сумму потерь на убыток от одного разбитого зеркала:

$\frac{19.5 \text{ руб.}}{6.5 \text{ руб.}} = 3$ зеркала.

Извозчик разбил 3 зеркала.

5. Наконец, найдем, сколько зеркал было доставлено в целости:

$25 \text{ зеркал (всего)} - 3 \text{ зеркала (разбито)} = 22$ зеркала.

Способ 2: Алгебраический

Пусть $x$ — количество зеркал, доставленных в целости, а $y$ — количество разбитых зеркал.

Всего зеркал 25, значит, первое уравнение:

$x + y = 25$

Заработок за целые зеркала составляет $1.5x$ рублей, а штраф за разбитые — $5y$ рублей. Итоговый заработок — 18 рублей. Второе уравнение:

$1.5x - 5y = 18$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 25 \\ 1.5x - 5y = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 25 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.5x - 5(25 - x) = 18$

Раскроем скобки:

$1.5x - 125 + 5x = 18$

Приведем подобные слагаемые:

$6.5x = 18 + 125$

$6.5x = 143$

Найдем $x$:

$x = \frac{143}{6.5} = 22$

Итак, в целости было доставлено 22 зеркала.

Ответ: 22 зеркала.

4.286. Первый мастер шьёт шубу за 5 дней, а второй — за 3 дня. Как распределить между ними заказ на пошив 9 шуб, чтобы каждый сшил целое число шуб и заказ был выполнен в кратчайший срок?

Пусть $N_1$ — это количество шуб, которое должен сшить первый мастер, а $N_2$ — количество шуб для второго мастера. Согласно условию, общее количество шуб равно 9, и каждый мастер должен сшить целое число шуб. Математически это можно записать так: $N_1 + N_2 = 9$, где $N_1$ и $N_2$ — целые неотрицательные числа.

Определим время, которое потребуется каждому мастеру.Первый мастер шьёт одну шубу за 5 дней, поэтому на $N_1$ шуб ему потребуется $T_1 = 5 \cdot N_1$ дней.Второй мастер шьёт одну шубу за 3 дня, поэтому на $N_2$ шуб ему потребуется $T_2 = 3 \cdot N_2$ дней.

Поскольку мастера работают параллельно, весь заказ будет выполнен, когда свою работу закончит тот мастер, которому потребовалось больше времени. Таким образом, общее время выполнения заказа $T$ равно максимуму из $T_1$ и $T_2$:
$T = \max(T_1, T_2) = \max(5N_1, 3N_2)$.

Чтобы заказ был выполнен в кратчайший срок, необходимо найти такое распределение шуб ($N_1$ и $N_2$), при котором величина $T$ будет минимальной. Это произойдет, когда время работы мастеров будет максимально близко друг к другу.

Рассмотрим все возможные целочисленные варианты распределения 9 шуб и рассчитаем общее время выполнения заказа для каждого из них:
1. Если $N_1=0, N_2=9$, то $T = \max(5 \cdot 0, 3 \cdot 9) = \max(0, 27) = 27$ дней.
2. Если $N_1=1, N_2=8$, то $T = \max(5 \cdot 1, 3 \cdot 8) = \max(5, 24) = 24$ дня.
3. Если $N_1=2, N_2=7$, то $T = \max(5 \cdot 2, 3 \cdot 7) = \max(10, 21) = 21$ день.
4. Если $N_1=3, N_2=6$, то $T = \max(5 \cdot 3, 3 \cdot 6) = \max(15, 18) = 18$ дней.
5. Если $N_1=4, N_2=5$, то $T = \max(5 \cdot 4, 3 \cdot 5) = \max(20, 15) = 20$ дней.
6. Если $N_1=5, N_2=4$, то $T = \max(5 \cdot 5, 3 \cdot 4) = \max(25, 12) = 25$ дней.
При дальнейшем увеличении $N_1$ общее время $T$ будет только расти.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что минимальное время выполнения заказа составляет 18 дней. Этот срок достигается при распределении: 3 шубы первому мастеру (он потратит $5 \cdot 3 = 15$ дней) и 6 шуб второму (он потратит $3 \cdot 6 = 18$ дней).

Ответ: первому мастеру нужно поручить сшить 3 шубы, а второму — 6 шуб.

4.287. Три пирата Джон, Джек и Билл откопали кувшин с золотыми. Джон хотел взять себе треть всех золотых и половину остатка дать Джеку. Джек хотел взять себе половину всех золотых и треть остатка дать Джону. На каком варианте дележа они остановились, Билл не помнит, но он точно знает, что ему досталось 50 золотых. Сколько золотых было в кувшине?

Обозначим общее количество золотых в кувшине за $x$. Рассмoтрим оба варианта дележа, чтобы выяснить, при каком из них Биллу могло достаться 50 золотых.

Вариант 1: предложение Джона

1. Джон хотел взять себе треть всех золотых. Его доля: $\frac{1}{3}x$.
2. Остаток после этого составляет: $x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$.
3. Половину остатка Джон хотел дать Джеку. Доля Джека: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$.
4. Оставшаяся часть предназначалась Биллу. Доля Билла – это вторая половина остатка: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$.
5. Мы знаем, что Биллу досталось 50 золотых. Составим уравнение: $\frac{1}{3}x = 50$.
6. Решим уравнение: $x = 50 \cdot 3 = 150$.
При таком варианте дележа в кувшине должно было быть 150 золотых, и каждый пират (Джон, Джек и Билл) получил бы по 50 монет. Этот вариант возможен.

Ответ: если пираты выбрали вариант Джона, в кувшине было 150 золотых.

Вариант 2: предложение Джека

1. Джек хотел взять себе половину всех золотых. Его доля: $\frac{1}{2}x$.
2. Остаток после этого составляет: $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$.
3. Треть остатка Джек хотел дать Джону. Доля Джона: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}x = \frac{1}{6}x$.
4. Оставшаяся часть предназначалась Биллу. Доля Билла – это оставшиеся две трети от остатка: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x = \frac{2}{6}x = \frac{1}{3}x$.
5. Мы знаем, что Биллу досталось 50 золотых. Составим уравнение: $\frac{1}{3}x = 50$.
6. Решим уравнение: $x = 50 \cdot 3 = 150$.
При таком варианте дележа в кувшине также должно было быть 150 золотых. При этом Джек получил бы $\frac{1}{2} \cdot 150 = 75$ монет, Джон – $\frac{1}{6} \cdot 150 = 25$ монет, а Билл – 50 монет. Этот вариант также возможен.

Ответ: если пираты выбрали вариант Джека, в кувшине было 150 золотых.

Итоговый вывод

В обоих предложенных вариантах дележа доля Билла составляет ровно треть от общего количества золотых. Поскольку Билл получил 50 золотых, мы можем однозначно определить общее количество золотых в кувшине: $50 \cdot 3 = 150$. Однако на основании информации о доле Билла невозможно определить, какой именно вариант дележа выбрали пираты, так как оба варианта приводят к одному и тому же результату для Билла при общем количестве в 150 золотых. Главный вопрос задачи — сколько золотых было в кувшине.

Ответ: В кувшине было 150 золотых.