Страница 181 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.253. По рисунку 92 определите, какая точка симметрична относительно прямой $a$ точке:

а) $A$;

б) $B$;

в) $C$;

г) $D$;

д) $M$.

4.253.

Две точки называются симметричными относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Если точка лежит на оси симметрии, она считается симметричной самой себе.

а) A;

Из рисунка видно, что прямая a перпендикулярна отрезку AD и проходит через его середину — точку N. Следовательно, точка, симметричная точке A относительно прямой a, — это точка D.

Ответ: D.

б) B;

Прямая a перпендикулярна отрезку BC и проходит через его середину — точку M. Следовательно, точка, симметричная точке B относительно прямой a, — это точка C.

Ответ: C.

в) C;

Исходя из симметрии, установленной в предыдущем пункте, точка, симметричная точке C относительно прямой a, — это точка B.

Ответ: B.

г) D;

Исходя из симметрии, установленной в пункте а), точка, симметричная точке D относительно прямой a, — это точка A.

Ответ: A.

д) M.

Точка M лежит непосредственно на оси симметрии a. По определению, любая точка, лежащая на оси симметрии, симметрична самой себе.

Ответ: M.

4.254.

Отрезок, симметричный данному отрезку относительно прямой, — это отрезок, концами которого являются точки, симметричные концам данного отрезка. Поскольку в условии задачи на изображении не указаны конкретные отрезки для нахождения симметричных, приведем решение для основных отрезков, составляющих фигуру.

Для отрезка AB:
Симметричной точкой для A является D, а для B — C. Соединив эти точки, получаем отрезок DC.

Ответ: Отрезок DC.

Для отрезка AN:
Симметричной точкой для A является D, а точка N симметрична самой себе, так как лежит на оси a. Соединив эти точки, получаем отрезок DN.

Ответ: Отрезок DN.

Для отрезка BC:
Симметричной точкой для B является C, а для C — B. Соединив эти точки, получаем отрезок CB, который совпадает с исходным отрезком BC. Это означает, что отрезок BC симметричен сам себе.

Ответ: Отрезок BC.

Для отрезка AD:
Симметричной точкой для A является D, а для D — A. Соединив эти точки, получаем отрезок DA, который совпадает с исходным отрезком AD. Это также означает, что отрезок AD симметричен сам себе.

Ответ: Отрезок AD.

4.254. По рисунку 92 определите, какой отрезок симметричен относительно прямой $a$ отрезку:

а) $AB$;

б) $BM$;

в) $BC$;

г) $CD$;

д) $AN$;

е) $ND$;

ж) $AD$.

Поскольку рисунок 92 не предоставлен, для решения задачи сделаем наиболее вероятное предположение о его содержании. Названия отрезков ($AB$, $BC$, $CD$, $AD$, $BM$, $AN$, $ND$) позволяют предположить, что на рисунке изображена равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Прямая $a$ является осью симметрии этой трапеции. В равнобедренной трапеции осью симметрии является прямая, проходящая через середины оснований. Допустим, $N$ — середина основания $AD$, а $M$ — середина основания $BC$. Тогда прямая $a$ совпадает с прямой $MN$.

При осевой симметрии относительно прямой $a$ справедливы следующие утверждения:

• Точка $A$ симметрична точке $D$, и наоборот.
• Точка $B$ симметрична точке $C$, и наоборот.
• Точки $M$ и $N$ лежат на оси симметрии $a$, следовательно, каждая из них симметрична самой себе.

Для нахождения отрезка, симметричного данному, необходимо найти точки, симметричные его концам, и соединить их отрезком.

Найдём отрезок, симметричный отрезку $AB$. Точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $a$, — это точка $D$. Точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $a$, — это точка $C$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $AB$, — это отрезок $DC$ (или $CD$).
Ответ: $CD$.

Найдём отрезок, симметричный отрезку $BM$. Точка, симметричная точке $B$, — это точка $C$. Точка $M$ лежит на оси симметрии $a$, поэтому она симметрична самой себе. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $BM$, — это отрезок $CM$.
Ответ: $CM$.

Найдём отрезок, симметричный отрезку $BC$. Точка, симметричная точке $B$, — это точка $C$. Точка, симметричная точке $C$, — это точка $B$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $BC$, — это отрезок $CB$, который совпадает с отрезком $BC$.
Ответ: $BC$.

Найдём отрезок, симметричный отрезку $CD$. Точка, симметричная точке $C$, — это точка $B$. Точка, симметричная точке $D$, — это точка $A$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $CD$, — это отрезок $BA$ (или $AB$).
Ответ: $AB$.

Найдём отрезок, симметричный отрезку $AN$. Точка, симметричная точке $A$, — это точка $D$. Точка $N$ лежит на оси симметрии $a$ и симметрична самой себе. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $AN$, — это отрезок $DN$ (или $ND$).
Ответ: $ND$.

Найдём отрезок, симметричный отрезку $ND$. Точка $N$ лежит на оси симметрии $a$ и симметрична самой себе. Точка, симметричная точке $D$, — это точка $A$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $ND$, — это отрезок $NA$ (или $AN$).
Ответ: $AN$.

Найдём отрезок, симметричный отрезку $AD$. Точка, симметричная точке $A$, — это точка $D$. Точка, симметричная точке $D$, — это точка $A$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $AD$, — это отрезок $DA$, который совпадает с отрезком $AD$.
Ответ: $AD$.

4.255. Какой фигуре симметричен относительно прямой $a$ (рис. 92) прямоугольник:

а) $ABMN$;

б) $MCDN$;

в) $ABCD$.

Поскольку рисунок к задаче не предоставлен, будем исходить из наиболее вероятной геометрической конфигурации, при которой прямоугольники ABMN и MCDN имеют общую сторону MN и вместе образуют один большой прямоугольник ABCD. В этом случае прямая a, являющаяся осью симметрии, проходит через сторону MN. Это означает, что при симметрии относительно прямой a вершина A переходит в D, а вершина B — в C (и наоборот).

а)

Осевая симметрия относительно прямой a — это преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно прямой a. Чтобы найти фигуру, симметричную прямоугольнику ABMN, необходимо найти симметричные образы его вершин относительно прямой a.

Вершина A симметрична вершине D. Вершина B симметрична вершине C. Вершины M и N лежат на оси симметрии a, поэтому они переходят сами в себя. Таким образом, прямоугольник ABMN при симметрии относительно прямой a отображается в прямоугольник, вершинами которого являются точки D, C, N, M. Этот прямоугольник — DCNM, что то же самое, что и MCDN.

Ответ: Прямоугольнику MCDN.

б)

Свойство симметрии взаимно: если фигура $F_1$ симметрична фигуре $F_2$ относительно некоторой прямой, то и фигура $F_2$ симметрична фигуре $F_1$ относительно той же прямой. Исходя из решения пункта а), прямоугольник MCDN симметричен прямоугольнику ABMN.

Для проверки найдем образы вершин прямоугольника MCDN при симметрии относительно прямой a. Вершина M переходит в M, C — в B, D — в A, N — в N. Следовательно, прямоугольник MCDN отображается в прямоугольник MBAN, который является тем же прямоугольником, что и ABMN.

Ответ: Прямоугольнику ABMN.

в)

Прямоугольник ABCD — это фигура, состоящая из двух прямоугольников ABMN и MCDN. Найдем образ прямоугольника ABCD при симметрии относительно прямой a, преобразовав его вершины: вершина A переходит в D, вершина B — в C, вершина C — в B, и вершина D — в A.

Совокупность вершин {A, B, C, D} переходит в совокупность {D, C, B, A}, то есть остается неизменной. Это означает, что прямоугольник ABCD при симметрии относительно прямой a переходит сам в себя. В таких случаях говорят, что фигура симметрична самой себе, а прямая a является ее осью симметрии.

Ответ: Самому себе (прямоугольнику ABCD).

4.256 Какую фигуру называют симметричной относительно прямой $a$?

Фигуру называют симметричной относительно прямой $a$, если для каждой точки этой фигуры точка, симметричная ей относительно прямой $a$, также принадлежит этой фигуре.

Прямая $a$ в таком случае называется осью симметрии фигуры.

Напомним, что две точки $M$ и $M'$ называются симметричными относительно прямой $a$, если прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Это означает, что выполняются два условия:
1. Прямая, проходящая через точки $M$ и $M'$, перпендикулярна прямой $a$.
2. Середина отрезка $MM'$ лежит на прямой $a$.
Если точка фигуры лежит на самой прямой $a$, то она считается симметричной самой себе.

Ответ: Фигуру называют симметричной относительно прямой $a$, если для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно прямой $a$, также принадлежит этой фигуре.

4.257. Постройте на клетчатой бумаге прямоугольник $4 \times 6$ и все его оси симметрии. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник?

Постройте на клетчатой бумаге прямоугольник 4x6 и все его оси симметрии.

Начертим на воображаемой клетчатой бумаге прямоугольник со сторонами 4 клетки в высоту и 6 клеток в ширину. Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. У прямоугольника, который не является квадратом, есть две такие оси.

Первая ось симметрии (вертикальная) проходит через середины более длинных сторон (длиной 6 клеток). Вторая ось симметрии (горизонтальная) проходит через середины более коротких сторон (длиной 4 клетки).

На рисунке ниже показан прямоугольник 4x6 (закрашенная область с черным контуром) и его две оси симметрии (красные пунктирные линии) на фоне сетки.

Ответ: Построение прямоугольника 4x6 и его осей симметрии представлено на рисунке.

Сколько осей симметрии имеет прямоугольник?

Как видно из построения, прямоугольник со сторонами 4 и 6 имеет две оси симметрии. Это правило распространяется на любой прямоугольник, у которого длина и ширина не равны (то есть он не является квадратом).

Оси симметрии такого прямоугольника — это прямые, проходящие через середины его противоположных сторон. Диагонали не являются осями симметрии, так как при сгибании по ним части фигуры не совпадают.

Частным случаем прямоугольника является квадрат, у которого все стороны равны. У квадрата 4 оси симметрии: две проходят через середины противоположных сторон, а две другие совпадают с диагоналями.

Поскольку вопрос задан в общем виде, а в качестве примера дан неквадратный прямоугольник ($4 \neq 6$), имеется в виду прямоугольник с разными сторонами.

Ответ: 2.

4.258 Постройте на клетчатой бумаге квадрат $6 \times 6$ и все его оси симметрии. Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Постройте на клетчатой бумаге квадрат 6×6 и все его оси симметрии

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Для квадрата 6×6, построенного на клетчатой бумаге, можно провести четыре оси симметрии. Построение представлено на рисунке ниже.

На рисунке показаны все оси симметрии квадрата: две оси проходят через середины противоположных сторон (горизонтальная красная и вертикальная синяя линии), и две оси совпадают с диагоналями квадрата (зеленая и фиолетовая линии).

Ответ: Построение квадрата и его четырех осей симметрии представлено на рисунке.

Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Как было показано при построении, у квадрата есть два типа осей симметрии:

1. Две оси, проходящие через середины противоположных сторон.

2. Две оси, совпадающие с диагоналями.

Таким образом, общее количество осей симметрии у квадрата равно $2 + 2 = 4$.

Ответ: Квадрат имеет 4 оси симметрии.

4.259. Постройте окружность с центром $O$ и три её оси симметрии.

Сколько осей симметрии имеет окружность?

Постройте окружность с центром O и три её оси симметрии.

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для окружности любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Чтобы выполнить построение, необходимо:

1. Отметить на плоскости точку $O$ — центр окружности.
2. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $O$.
3. С помощью линейки провести через центр $O$ три любые различные прямые. Каждая из этих прямых будет являться осью симметрии для построенной окружности.

Пример такого построения показан на рисунке:

Ответ: Для построения окружности и трех ее осей симметрии нужно начертить саму окружность с центром $O$ и провести через эту точку три произвольные прямые.

Сколько осей симметрии имеет окружность?

Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Поскольку через одну точку (центр окружности) можно провести бесконечное множество прямых, то и окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.

Ответ: Окружность имеет бесконечное множество ($\infty$) осей симметрии.

4.260. Перерисуйте в тетрадь те буквы алфавита, у которых есть ось симметрии. Для каждой из них укажите число осей симметрии.

АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОП
РСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ

Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Рассмотрим каждую букву русского алфавита, представленную на изображении, на наличие осей симметрии.

А - имеет одну вертикальную ось симметрии, которая проходит через вершину буквы и середину её основания. Ответ: $1$

В - имеет одну горизонтальную ось симметрии, которая делит букву пополам. Ответ: $1$

Д - имеет одну вертикальную ось симметрии, проходящую через центр верхней перекладины и середину основания. Ответ: $1$

Е - имеет одну горизонтальную ось симметрии, которая проходит через среднюю перекладину. Ответ: $1$

Ё - имеет одну горизонтальную ось симметрии, если точки над буквой расположены симметрично относительно этой оси. Ответ: $1$

Ж - имеет одну вертикальную и одну горизонтальную ось симметрии. Ответ: $2$

З - имеет одну горизонтальную ось симметрии. Ответ: $1$

К - имеет одну горизонтальную ось симметрии. Ответ: $1$

Л - имеет одну вертикальную ось симметрии. Ответ: $1$

М - имеет одну вертикальную ось симметрии. Ответ: $1$

Н - имеет одну вертикальную и одну горизонтальную ось симметрии. Ответ: $2$

О - имеет одну вертикальную и одну горизонтальную ось симметрии. Ответ: $2$

П - имеет одну вертикальную ось симметрии. Ответ: $1$

С - имеет одну горизонтальную ось симметрии. Ответ: $1$

Т - имеет одну вертикальную ось симметрии. Ответ: $1$

У - имеет одну вертикальную ось симметрии (в данном начертании). Ответ: $1$

Ф - имеет одну вертикальную и одну горизонтальную ось симметрии. Ответ: $2$

Х - имеет четыре оси симметрии: одну вертикальную, одну горизонтальную и две диагональные. Ответ: $4$

Ш - имеет одну вертикальную ось симметрии. Ответ: $1$

Э - имеет одну горизонтальную ось симметрии. Ответ: $1$

Ю - имеет одну вертикальную ось симметрии. Ответ: $1$

Остальные буквы (Б, Г, И, Й, Р, Ц, Ч, Щ, Ъ, Ы, Ь, Я) в данном начертании осей симметрии не имеют.

4.261. Нарисуйте в тетради фигуру, имеющую:

а) одну ось симметрии;

б) две оси симметрии.

а) одну ось симметрии

Осью симметрии фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две части таким образом, что каждая точка одной части симметрична соответствующей точке другой части относительно этой прямой. Проще говоря, если фигуру согнуть по оси симметрии, то ее половинки полностью совпадут.

Примером фигуры, имеющей ровно одну ось симметрии, является равнобедренный треугольник, который не является равносторонним. У такого треугольника равны две боковые стороны. Ось симметрии проходит через вершину между равными сторонами и середину основания. Эта ось перпендикулярна основанию.

Другие примеры: равнобедренная трапеция, воздушный змей (дельтоид), парабола.

Для решения задачи можно нарисовать любой из этих примеров. Например, равнобедренный треугольник:

Ответ: Равнобедренный треугольник.

б) две оси симметрии

Примером фигуры, имеющей ровно две оси симметрии, является прямоугольник, который не является квадратом. Его осями симметрии являются две взаимно перпендикулярные прямые. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон прямоугольника.

Другой пример — ромб, который не является квадратом. Его оси симметрии — это его диагонали.

Для решения задачи можно нарисовать прямоугольник и его оси симметрии:

Ответ: Прямоугольник.

4.262. Перегните лист бумаги пополам, вырежите ножницами какую-нибудь фигуру, имеющую ось симметрии.

Это практическое задание, которое демонстрирует один из самых простых способов создания фигур с осевой симметрией. Суть метода заключается в том, что линия сгиба листа бумаги становится осью симметрии для вырезанной фигуры.

Чтобы выполнить задание, необходимо следовать пошаговой инструкции:

1. Возьмите любой лист бумаги и аккуратно согните его ровно пополам.
2. На одной из сторон сложенного листа, примыкающей к линии сгиба, нарисуйте карандашом контур половины той фигуры, которую вы хотите получить. Например, это может быть половина сердца, половина бабочки или половина ёлочки. Важно, чтобы часть нарисованного контура лежала непосредственно на линии сгиба.
3. Не разворачивая лист, вырежьте ножницами по нарисованному контуру.
4. Разверните вырезанную часть.

В результате вы получите целую фигуру, которая будет идеально симметричной. Прямая, по которой был согнут лист, является её осью симметрии. Это означает, что она делит фигуру на две абсолютно одинаковые, зеркально отраженные части. Если вы снова сложите фигуру по этой линии, обе её половины полностью совпадут.

Таким образом можно вырезать множество симметричных фигур: снежинки (складывая лист несколько раз), человечков, животных, геометрические фигуры (например, равнобедренный треугольник или ромб).

Ответ: Необходимо согнуть лист бумаги пополам, вырезать из сложенного листа любую фигуру так, чтобы часть её контура проходила по линии сгиба, а затем развернуть вырезанную часть. Полученная фигура будет иметь ось симметрии, совпадающую с линией сгиба.

4.263. Перегните лист бумаги, как показано на рисунке 93. Из полученного треугольника вырежите выделенные цветом части. Сколько осей симметрии имеет полученная «снежинка»?

Рис. 93

Проанализируем процесс изготовления «снежинки», показанный на рисунке, чтобы определить количество её осей симметрии.

1. Процесс складывания бумаги:

Изначально берётся квадратный лист бумаги. Он складывается последовательно в три этапа:

• Шаг 1: Лист складывается пополам по вертикали. Линия сгиба становится первой потенциальной осью симметрии.
• Шаг 2: Полученный прямоугольник складывается пополам по горизонтали. Эта линия сгиба — вторая потенциальная ось симметрии. В результате получается квадрат, составляющий четверть от исходного листа.
• Шаг 3: Этот маленький квадрат складывается по диагонали. В итоге мы получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, бумага в котором сложена в 8 слоёв.

2. Анализ полученного треугольника и узоров:

Рассмотрим полученный для вырезания треугольник:

• Его прямой угол соответствует центру исходного листа бумаги.
• Две его равные стороны (катеты) — это линии сгиба от первых двух шагов. При разворачивании они станут соответственно горизонтальной и вертикальной осями, проходящими через центр снежинки.
• Длинная сторона (гипотенуза) — это третья линия сгиба (диагональная).

На последнем изображении показано, что узоры вырезаются на двух катетах треугольника. Это означает, что узор будет располагаться вдоль горизонтальной и вертикальной осей снежинки, исходя из центра.

3. Определение осей симметрии:

Ось симметрии — это прямая, относительно которой фигура симметрична. В данном случае оси симметрии будут определяться линиями сгиба и симметричностью вырезаемого узора.

На рисунке узоры, вырезанные на двух катетах, выглядят одинаково (по два прямоугольных выреза). В учебных задачах такого типа обычно предполагается, что для получения красивой, симметричной снежинки вырезаются идентичные узоры. Исходя из этого предположения:

• Вертикальная и горизонтальная оси: Так как разворачивание происходит относительно вертикальной и горизонтальной линий сгиба, эти линии по определению будут осями симметрии готовой снежинки.
• Диагональные оси: Поскольку узоры, вырезанные вдоль вертикальной и горизонтальной осей (бывших катетов), идентичны, фигура будет симметрична и относительно диагоналей. Если отразить снежинку относительно диагонали, узор вдоль вертикальной оси перейдёт в узор вдоль горизонтальной оси. Так как они одинаковы, фигура совпадёт сама с собой. Это справедливо для обеих диагоналей квадрата.

Таким образом, у полученной снежинки будет 4 оси симметрии: одна вертикальная, одна горизонтальная и две диагональные.

Ответ: 4