Номер 4.255, страница 181 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.255, страница 181.

Условие.

4.255. Какой фигуре симметричен относительно прямой $a$ (рис. 92) прямоугольник:

а) $ABMN$;

б) $MCDN$;

в) $ABCD$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку рисунок к задаче не предоставлен, будем исходить из наиболее вероятной геометрической конфигурации, при которой прямоугольники ABMN и MCDN имеют общую сторону MN и вместе образуют один большой прямоугольник ABCD. В этом случае прямая a, являющаяся осью симметрии, проходит через сторону MN. Это означает, что при симметрии относительно прямой a вершина A переходит в D, а вершина B — в C (и наоборот).

а)

Осевая симметрия относительно прямой a — это преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно прямой a. Чтобы найти фигуру, симметричную прямоугольнику ABMN, необходимо найти симметричные образы его вершин относительно прямой a.

Вершина A симметрична вершине D. Вершина B симметрична вершине C. Вершины M и N лежат на оси симметрии a, поэтому они переходят сами в себя. Таким образом, прямоугольник ABMN при симметрии относительно прямой a отображается в прямоугольник, вершинами которого являются точки D, C, N, M. Этот прямоугольник — DCNM, что то же самое, что и MCDN.

Ответ: Прямоугольнику MCDN.

б)

Свойство симметрии взаимно: если фигура $F_1$ симметрична фигуре $F_2$ относительно некоторой прямой, то и фигура $F_2$ симметрична фигуре $F_1$ относительно той же прямой. Исходя из решения пункта а), прямоугольник MCDN симметричен прямоугольнику ABMN.

Для проверки найдем образы вершин прямоугольника MCDN при симметрии относительно прямой a. Вершина M переходит в M, C — в B, D — в A, N — в N. Следовательно, прямоугольник MCDN отображается в прямоугольник MBAN, который является тем же прямоугольником, что и ABMN.

Ответ: Прямоугольнику ABMN.

в)

Прямоугольник ABCD — это фигура, состоящая из двух прямоугольников ABMN и MCDN. Найдем образ прямоугольника ABCD при симметрии относительно прямой a, преобразовав его вершины: вершина A переходит в D, вершина B — в C, вершина C — в B, и вершина D — в A.

Совокупность вершин {A, B, C, D} переходит в совокупность {D, C, B, A}, то есть остается неизменной. Это означает, что прямоугольник ABCD при симметрии относительно прямой a переходит сам в себя. В таких случаях говорят, что фигура симметрична самой себе, а прямая a является ее осью симметрии.

Ответ: Самому себе (прямоугольнику ABCD).