Страница 186 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.288. Имея полный бак топлива, рыбак может проплыть на моторной лодке 20 км против течения или 30 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может отплыть по реке при условии, что топлива должно хватить и на обратный путь? Движение с выключенным мотором не рассматривается.

Для решения задачи введем понятие расхода топлива на единицу расстояния. Пусть весь объем топливного бака равен условной 1 единице.

Из условия известно, что на 20 км против течения расходуется весь бак. Следовательно, расход топлива на 1 км пути против течения составляет $1/20$ бака.

Также известно, что на 30 км по течению расходуется весь бак. Следовательно, расход топлива на 1 км пути по течению составляет $1/30$ бака.

Пусть $S$ — это наибольшее расстояние (в км), на которое рыбак может отплыть от начальной точки. Чтобы вернуться, ему нужно проплыть это же расстояние $S$ в обратном направлении. Таким образом, он проплывет $S$ км в одном направлении (например, по течению) и $S$ км в другом (против течения).

Суммарный расход топлива на весь путь туда и обратно должен быть равен объему полного бака (1 единице). Составим уравнение:

(Расход на $S$ км по течению) + (Расход на $S$ км против течения) = 1 (полный бак)

$S \cdot \frac{1}{30} + S \cdot \frac{1}{20} = 1$

Вынесем $S$ за скобки:

$S \left( \frac{1}{30} + \frac{1}{20} \right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 60:

$S \left( \frac{2}{60} + \frac{3}{60} \right) = 1$

$S \left( \frac{5}{60} \right) = 1$

$S \cdot \frac{1}{12} = 1$

Отсюда находим $S$:

$S = 12$ км.

Таким образом, рыбак может отплыть на 12 км (например, по течению), израсходовав на это $12/30 = 2/5$ бака. На обратный путь в 12 км (против течения) он израсходует $12/20 = 3/5$ бака. Общий расход составит $2/5 + 3/5 = 1$ полный бак.

Ответ: 12 км.

4.289. Остап купил 4 новых колеса для своего автомобиля. Он знает, что передние колёса автомобиля изнашиваются через 12 тыс. км пробега, а задние — через 8 тыс. км пробега. Какой наибольший путь может проехать автомобиль, если Остап догадается вовремя поменять задние колёса с передними?

Для решения задачи определим скорость износа колес. Передние колеса изнашиваются за 12 тыс. км, следовательно, их скорость износа составляет $\frac{1}{12}$ полного ресурса за тысячу километров. Задние колеса изнашиваются за 8 тыс. км, их скорость износа — $\frac{1}{8}$ полного ресурса за тысячу километров.

Чтобы автомобиль проехал наибольший путь, необходимо использовать полный ресурс всех четырех колес. Общий ресурс комплекта из 4 новых колес можно принять за 4 единицы (по 1 единице на каждое колесо).

За каждый километр пробега на автомобиле установлены два колеса спереди и два сзади. Суммарный износ всего комплекта за 1 тыс. км пробега складывается из износа двух передних и двух задних колес. Выразим этот суммарный износ в единицах ресурса одного колеса:

$2 \cdot \frac{1}{12} + 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

Это означает, что за каждую тысячу километров пробега суммарно расходуется $\frac{5}{12}$ от ресурса одного колеса.

Пусть $D$ — это максимальное расстояние в тысячах километров, которое может проехать автомобиль. Чтобы найти это расстояние, нужно общий ресурс (4 единицы) разделить на суммарный износ за одну тысячу километров ($\frac{5}{12}$):

$D = \frac{4}{\frac{5}{12}} = 4 \cdot \frac{12}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$

Таким образом, своевременно меняя колеса местами, Остап сможет проехать на одном комплекте максимальное расстояние 9,6 тыс. км. Перестановка колес позволяет равномерно распределить общий износ на все четыре колеса, благодаря чему они износятся одновременно.

Ответ: 9,6 тыс. км.

4.290. Задача-шутка. У мальчика спросили: «Сколько весит пойманная тобой рыба?» Он ответил: «Три четверти килограмма и ещё три четверти своего веса». Сколько весит рыба?

Сколько весит рыба?

Это задача-шутка, которую можно решить, составив простое алгебраическое уравнение.

Пусть $x$ — это полный вес пойманной рыбы в килограммах.

Мальчик сказал, что вес рыбы ($x$) равен сумме двух величин: «три четверти килограмма» и «ещё три четверти своего веса».

Запишем это утверждение в виде математического уравнения:

$x = \frac{3}{4} + \frac{3}{4}x$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Для этого перенесём член $\frac{3}{4}x$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак:

$x - \frac{3}{4}x = \frac{3}{4}$

Чтобы вычесть дроби, представим $x$ как $\frac{4}{4}x$:

$\frac{4}{4}x - \frac{3}{4}x = \frac{3}{4}$

$\frac{1}{4}x = \frac{3}{4}$

Это уравнение говорит нам, что четверть веса рыбы равна трём четвертям килограмма. Чтобы найти полный вес рыбы ($x$), умножим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{3}{4} \cdot 4$

$x = 3$

Таким образом, рыба весит 3 килограмма.

Ответ: 3 кг.

4.291. Два катка при совместной работе заасфальтируют улицу за 8 дней. Если они выполнят 50% всей работы, то первый каток закончит работу за 6 дней. За сколько дней каждый каток в отдельности может заасфальтировать улицу?

Примем весь объем работы по асфальтированию улицы за 1. Пусть $x$ – количество дней, за которое первый каток может заасфальтировать всю улицу, работая в одиночку, а $y$ – количество дней, за которое это сделает второй каток. Тогда производительность первого катка (часть работы, выполняемая за один день) равна $1/x$, а производительность второго – $1/y$.

Согласно первому условию, работая вместе, они асфальтируют улицу за 8 дней. Их совместная производительность равна $1/x + 1/y$. Можем составить первое уравнение:
$(1/x + 1/y) \cdot 8 = 1$, откуда следует $1/x + 1/y = 1/8$.

Согласно второму условию, катки сначала вместе выполняют 50% (то есть $0.5$) всей работы. После этого оставшуюся часть работы ($1 - 0.5 = 0.5$) первый каток заканчивает в одиночку за 6 дней. Это позволяет найти производительность первого катка, так как работа равна произведению производительности на время:
$(1/x) \cdot 6 = 0.5$

Решим второе уравнение, чтобы найти $x$:
$1/x = 0.5 / 6 = (1/2) / 6 = 1/12$.
Следовательно, $x = 12$. Это означает, что первый каток может выполнить всю работу самостоятельно за 12 дней.

Теперь подставим найденное значение $1/x = 1/12$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$1/12 + 1/y = 1/8$
$1/y = 1/8 - 1/12$
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$1/y = 3/24 - 2/24 = 1/24$.
Следовательно, $y = 24$. Это означает, что второй каток может выполнить всю работу самостоятельно за 24 дня.

Ответ: первый каток может заасфальтировать улицу за 12 дней, а второй каток — за 24 дня.

4.292. Два косца, работая вместе, скосили бы некоторый участок поля за 8 часов. Если бы они работали вместе только 2 часа, а потом первый прекратил бы работу, то второй, работая один, закончил бы работу, то второй скосил оставшуюся часть поля за 18 часов. За сколько часов каждый косец в отдельности мог бы скосить весь участок поля?

Примем всю работу по покосу участка за 1.

Пусть $t_1$ – время (в часах), за которое первый косец может скосить весь участок, работая один, а $t_2$ – время, за которое это сделает второй косец.

Тогда производительность первого косца равна $\frac{1}{t_1}$ участка в час, а второго – $\frac{1}{t_2}$ участка в час.

Когда они работают вместе, их общая производительность составляет $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$. По условию, вместе они скашивают весь участок за 8 часов, значит, их общая производительность равна $\frac{1}{8}$ участка в час. Составим первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$

По второму условию, косцы работали вместе 2 часа. За это время они выполнили часть работы, равную:

$2 \cdot (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

После этого осталась невыполненной часть работы:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Эту оставшуюся часть поля второй косец, работая один, скосил за 18 часов. Это означает, что его производительность $\frac{1}{t_2}$ можно найти из уравнения:

$\frac{1}{t_2} \cdot 18 = \frac{3}{4}$

Отсюда найдем производительность второго косца:

$\frac{1}{t_2} = \frac{3}{4 \cdot 18} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}$

Следовательно, время, за которое второй косец может скосить весь участок в одиночку, равно $t_2 = 24$ часа.

Теперь подставим найденное значение $\frac{1}{t_2}$ в первое уравнение, чтобы найти производительность первого косца:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{t_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1}{t_1} = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Следовательно, время, за которое первый косец может скосить весь участок в одиночку, равно $t_1 = 12$ часов.

Ответ: первый косец мог бы скосить весь участок за 12 часов, а второй — за 24 часа.

4.293. Первый рабочий может выполнить некоторую работу за 8 дней, второй за 12 дней. К выполнению работы они приступили одновременно и проработали вместе некоторое число дней, после чего второй рабочий был переведён на другую работу. Первый рабочий закончил работу, работая один, за три дня. Сколько всего дней работал первый рабочий?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу).

1. Найдем производительность каждого рабочего

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 день). Поскольку первый рабочий выполняет всю работу за 8 дней, а второй за 12 дней, их производительности равны:

• Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{8}$ часть работы в день.
• Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{12}$ часть работы в день.

2. Найдем совместную производительность рабочих

Когда рабочие трудятся вместе, их производительности складываются:

$P_{совм.} = P_1 + P_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24}$ части работы в день.

3. Определим, какая часть работы была выполнена

По условию, первый рабочий заканчивал работу один в течение 3 дней. Найдем, какую часть работы он выполнил за это время:

$W_{один} = P_1 \times 3 = \frac{1}{8} \times 3 = \frac{3}{8}$ всей работы.

Следовательно, до этого рабочие вместе выполнили оставшуюся часть работы:

$W_{совм.} = 1 - W_{один} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ всей работы.

4. Найдем, сколько дней они работали вместе

Чтобы найти время совместной работы, разделим объем совместно выполненной работы на их совместную производительность:

$t_{совм.} = \frac{W_{совм.}}{P_{совм.}} = \frac{5/8}{5/24} = \frac{5}{8} \times \frac{24}{5} = \frac{24}{8} = 3$ дня.

5. Найдем, сколько всего дней работал первый рабочий

Общее время работы первого рабочего — это сумма времени совместной работы и времени, когда он работал один:

$t_{общ.} = t_{совм.} + 3 = 3 + 3 = 6$ дней.

Ответ: 6 дней.