Номер 4.292, страница 186 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 4. Рациональные числа. Дополнения к главе 4. Занимательные задачи - номер 4.292, страница 186.

Условие.

4.292. Два косца, работая вместе, скосили бы некоторый участок поля за 8 часов. Если бы они работали вместе только 2 часа, а потом первый прекратил бы работу, то второй, работая один, закончил бы работу, то второй скосил оставшуюся часть поля за 18 часов. За сколько часов каждый косец в отдельности мог бы скосить весь участок поля?

Решение 1.

Решение 5.

Примем всю работу по покосу участка за 1.

Пусть $t_1$ – время (в часах), за которое первый косец может скосить весь участок, работая один, а $t_2$ – время, за которое это сделает второй косец.

Тогда производительность первого косца равна $\frac{1}{t_1}$ участка в час, а второго – $\frac{1}{t_2}$ участка в час.

Когда они работают вместе, их общая производительность составляет $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$. По условию, вместе они скашивают весь участок за 8 часов, значит, их общая производительность равна $\frac{1}{8}$ участка в час. Составим первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$

По второму условию, косцы работали вместе 2 часа. За это время они выполнили часть работы, равную:

$2 \cdot (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

После этого осталась невыполненной часть работы:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Эту оставшуюся часть поля второй косец, работая один, скосил за 18 часов. Это означает, что его производительность $\frac{1}{t_2}$ можно найти из уравнения:

$\frac{1}{t_2} \cdot 18 = \frac{3}{4}$

Отсюда найдем производительность второго косца:

$\frac{1}{t_2} = \frac{3}{4 \cdot 18} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}$

Следовательно, время, за которое второй косец может скосить весь участок в одиночку, равно $t_2 = 24$ часа.

Теперь подставим найденное значение $\frac{1}{t_2}$ в первое уравнение, чтобы найти производительность первого косца:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{t_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1}{t_1} = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Следовательно, время, за которое первый косец может скосить весь участок в одиночку, равно $t_1 = 12$ часов.

Ответ: первый косец мог бы скосить весь участок за 12 часов, а второй — за 24 часа.