Номер 4.291, страница 186 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Занимательные задачи. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.291, страница 186.

Условие.

4.291. Два катка при совместной работе заасфальтируют улицу за 8 дней. Если они выполнят 50% всей работы, то первый каток закончит работу за 6 дней. За сколько дней каждый каток в отдельности может заасфальтировать улицу?

Решение 1.

Решение 5.

Примем весь объем работы по асфальтированию улицы за 1. Пусть $x$ – количество дней, за которое первый каток может заасфальтировать всю улицу, работая в одиночку, а $y$ – количество дней, за которое это сделает второй каток. Тогда производительность первого катка (часть работы, выполняемая за один день) равна $1/x$, а производительность второго – $1/y$.

Согласно первому условию, работая вместе, они асфальтируют улицу за 8 дней. Их совместная производительность равна $1/x + 1/y$. Можем составить первое уравнение:
$(1/x + 1/y) \cdot 8 = 1$, откуда следует $1/x + 1/y = 1/8$.

Согласно второму условию, катки сначала вместе выполняют 50% (то есть $0.5$) всей работы. После этого оставшуюся часть работы ($1 - 0.5 = 0.5$) первый каток заканчивает в одиночку за 6 дней. Это позволяет найти производительность первого катка, так как работа равна произведению производительности на время:
$(1/x) \cdot 6 = 0.5$

Решим второе уравнение, чтобы найти $x$:
$1/x = 0.5 / 6 = (1/2) / 6 = 1/12$.
Следовательно, $x = 12$. Это означает, что первый каток может выполнить всю работу самостоятельно за 12 дней.

Теперь подставим найденное значение $1/x = 1/12$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$1/12 + 1/y = 1/8$
$1/y = 1/8 - 1/12$
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$1/y = 3/24 - 2/24 = 1/24$.
Следовательно, $y = 24$. Это означает, что второй каток может выполнить всю работу самостоятельно за 24 дня.

Ответ: первый каток может заасфальтировать улицу за 12 дней, а второй каток — за 24 дня.