Номер 4.286, страница 185 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Занимательные задачи. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.286, страница 185.

Условие.

4.286. Первый мастер шьёт шубу за 5 дней, а второй — за 3 дня. Как распределить между ними заказ на пошив 9 шуб, чтобы каждый сшил целое число шуб и заказ был выполнен в кратчайший срок?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $N_1$ — это количество шуб, которое должен сшить первый мастер, а $N_2$ — количество шуб для второго мастера. Согласно условию, общее количество шуб равно 9, и каждый мастер должен сшить целое число шуб. Математически это можно записать так: $N_1 + N_2 = 9$, где $N_1$ и $N_2$ — целые неотрицательные числа.

Определим время, которое потребуется каждому мастеру.Первый мастер шьёт одну шубу за 5 дней, поэтому на $N_1$ шуб ему потребуется $T_1 = 5 \cdot N_1$ дней.Второй мастер шьёт одну шубу за 3 дня, поэтому на $N_2$ шуб ему потребуется $T_2 = 3 \cdot N_2$ дней.

Поскольку мастера работают параллельно, весь заказ будет выполнен, когда свою работу закончит тот мастер, которому потребовалось больше времени. Таким образом, общее время выполнения заказа $T$ равно максимуму из $T_1$ и $T_2$:
$T = \max(T_1, T_2) = \max(5N_1, 3N_2)$.

Чтобы заказ был выполнен в кратчайший срок, необходимо найти такое распределение шуб ($N_1$ и $N_2$), при котором величина $T$ будет минимальной. Это произойдет, когда время работы мастеров будет максимально близко друг к другу.

Рассмотрим все возможные целочисленные варианты распределения 9 шуб и рассчитаем общее время выполнения заказа для каждого из них:
1. Если $N_1=0, N_2=9$, то $T = \max(5 \cdot 0, 3 \cdot 9) = \max(0, 27) = 27$ дней.
2. Если $N_1=1, N_2=8$, то $T = \max(5 \cdot 1, 3 \cdot 8) = \max(5, 24) = 24$ дня.
3. Если $N_1=2, N_2=7$, то $T = \max(5 \cdot 2, 3 \cdot 7) = \max(10, 21) = 21$ день.
4. Если $N_1=3, N_2=6$, то $T = \max(5 \cdot 3, 3 \cdot 6) = \max(15, 18) = 18$ дней.
5. Если $N_1=4, N_2=5$, то $T = \max(5 \cdot 4, 3 \cdot 5) = \max(20, 15) = 20$ дней.
6. Если $N_1=5, N_2=4$, то $T = \max(5 \cdot 5, 3 \cdot 4) = \max(25, 12) = 25$ дней.
При дальнейшем увеличении $N_1$ общее время $T$ будет только расти.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что минимальное время выполнения заказа составляет 18 дней. Этот срок достигается при распределении: 3 шубы первому мастеру (он потратит $5 \cdot 3 = 15$ дней) и 6 шуб второму (он потратит $3 \cdot 6 = 18$ дней).

Ответ: первому мастеру нужно поручить сшить 3 шубы, а второму — 6 шуб.