Страница 210 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.132. Сформулируйте правило приближённого сложения двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной тысячной.

Правило приближённого сложения двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной тысячной, заключается в выполнении следующих шагов:

1. Сложить данные числа по обычным правилам сложения десятичных дробей, как если бы они были точными значениями.
2. Записать полученный результат с той же точностью, с которой были заданы исходные числа, то есть до тысячных (оставив три знака после запятой). Как правило, при сложении двух чисел, имеющих по три знака после запятой, их сумма также будет иметь не более трёх знаков после запятой, поэтому дополнительное округление не потребуется.

Например, если необходимо найти приближённую сумму чисел $a \approx 2,718$ и $b \approx 3,142$. Оба числа округлены до тысячных.
Выполняем сложение: $2,718 + 3,142 = 5,860$.
Результат $5,860$ уже представлен с тремя знаками после запятой, следовательно, это и есть искомое приближённое значение суммы.

Данное правило основано на работе с погрешностями. Если каждое из слагаемых округлено с точностью до $0,001$, то абсолютная погрешность каждого из них не превышает половины этой величины, то есть $0,001 / 2 = 0,0005$. При сложении приближённых чисел их абсолютные погрешности складываются. Таким образом, предельная абсолютная погрешность суммы может достигать $0,0005 + 0,0005 = 0,001$. Несмотря на то что погрешность суммы может быть вдвое больше погрешности слагаемых, в практических расчётах принято сохранять в результате столько десятичных знаков, сколько их содержится в наименее точном из исходных чисел. Так как в рассматриваемой задаче точность обоих слагаемых одинакова (до тысячных), результат также записывается с точностью до тысячных.

Ответ: Чтобы сложить два числа, округлённых с точностью до одной тысячной, нужно их сложить и результат записать с тремя знаками после запятой.

5.133. Сформулируйте правило приближённого вычитания двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной десятой.

Правило приближённого вычитания двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной десятой, заключается в следующем: необходимо вычесть эти числа по стандартным правилам вычитания десятичных дробей, как если бы они были точными. Полученная разность и является искомым приближённым результатом.

Это правило основывается на теории погрешностей. Когда число округлено с точностью до одной десятой, это означает, что его абсолютная погрешность не превышает половины этой точности, то есть $0.1 / 2 = 0.05$. Пусть $a$ и $b$ — это два числа, округлённые до десятых, а $x$ и $y$ — их точные значения. Тогда справедливы неравенства:
$|x - a| \le 0.05$ и $|y - b| \le 0.05$.

Приближённое значение разности $x - y$ находится как разность приближённых значений $a - b$. Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
$\Delta_{a-b} = |(x - y) - (a - b)| = |(x - a) - (y - b)| \le |x - a| + |y - b| \le 0.05 + 0.05 = 0.1$.

Полученная предельная погрешность $0.1$ означает, что результат вычитания имеет точность до десятых. Поскольку исходные числа имеют по одному знаку после запятой, их разность также будет иметь один знак после запятой (или будет целым числом). Следовательно, результат вычитания не требует дополнительного округления.

Пример:
Найти приближённую разность чисел $35.8$ и $12.3$, которые округлены до десятых.
Решение:
Выполним вычитание:
$35.8 - 12.3 = 23.5$.
Полученное значение $23.5$ и является искомой приближённой разностью.

Ответ: Чтобы найти приближённую разность двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной десятой, нужно вычесть их как точные числа. Полученная разность и будет являться приближённым значением.

5.134. Сформулируйте правило приближённого умножения чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до третьей значащей цифры.

Правило приближённого умножения чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до третьей значащей цифры, состоит из следующих шагов:

1. Перемножить данные числа, рассматривая их как точные.
2. В полученном произведении оставить столько значащих цифр, сколько их в множителе с наименьшим числом значащих цифр. Так как в условии задачи оба числа округлены до третьей значащей цифры, результат также должен содержать три значащие цифры.
3. Для этого необходимо округлить произведение до третьей значащей цифры, используя стандартные правила округления:
   • Найти первые три значащие цифры в произведении (первая значащая цифра — это первая ненулевая цифра слева).
   • Посмотреть на четвёртую значащую цифру. Если она меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то третья значащая цифра не изменяется. Если она равна 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то третья значащая цифра увеличивается на единицу.
   • Все цифры правее третьей значащей отбрасываются (для дробной части) или заменяются нулями (для целой части, чтобы сохранить порядок числа).

Пример:

Найти произведение приближённых чисел $a = 384$ и $b = 1,21$. Оба числа даны с тремя значащими цифрами.

1. Выполняем умножение: $384 \times 1,21 = 464,64$.

2. Результат $464,64$ нужно округлить до трёх значащих цифр. Первые три значащие цифры — это 4, 6 и 4.

3. Четвёртая значащая цифра — 6. Так как $6 \ge 5$, последнюю сохраняемую цифру (третью значащую, то есть 4) увеличиваем на единицу: $4+1=5$.

4. Цифры после запятой отбрасываем. В результате получаем $465$.

Таким образом, $384 \times 1,21 \approx 465$.

Ответ:

Чтобы найти приближённое произведение двух чисел, округлённых до третьей значащей цифры, следует перемножить эти числа и полученный результат округлить до третьей значащей цифры.