Страница 217 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.147. Арбуз весил 20 кг, в нём содержалось 99 % воды. Через несколько дней он немного усох и содержание воды уменьшилось до 98 %. Сколько теперь весит арбуз?

Решение.

На первый взгляд кажется, что вес арбуза мало изменился, но это только на первый взгляд! Вес «сухого вещества» в арбузе составлял $100-99=1$ (%), или $20 \cdot 0{,}01=0{,}2$ (кг). После того как арбуз усох, вес «сухого вещества» составил $100-98=2$ (%) от нового веса арбуза. Найдём этот новый вес: $0{,}2:0{,}02=10$ (кг). Итак, вес арбуза уменьшился вдвое!

Решение

В этой задаче ключевым является тот факт, что при усыхании арбуза испаряется только вода, а масса «сухого вещества» (мякоть, корка, косточки) остаётся неизменной. Решим задачу по шагам.

1. Найдём массу сухого вещества в свежем арбузе.

Изначальный вес арбуза составляет 20 кг. Содержание воды — 99%. Следовательно, процентное содержание сухого вещества равно:

$100\% - 99\% = 1\%$

Теперь вычислим массу этого сухого вещества в килограммах:

$20 \text{ кг} \cdot 1\% = 20 \text{ кг} \cdot 0.01 = 0.2$ кг.

2. Найдём новый вес арбуза после усыхания.

После усыхания масса сухого вещества не изменилась и по-прежнему составляет 0.2 кг. Однако теперь содержание воды в арбузе — 98%. Это значит, что доля сухого вещества от нового общего веса составляет:

$100\% - 98\% = 2\%$

Таким образом, 0.2 кг сухого вещества теперь составляют 2% от новой массы арбуза. Обозначим новый вес арбуза как $x$. Тогда можно составить уравнение:

$x \cdot 2\% = 0.2 \text{ кг}$

$x \cdot 0.02 = 0.2 \text{ кг}$

Найдём $x$:

$x = \frac{0.2}{0.02} = 10$ кг.

Ответ: 10 кг.

5.148. Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99 % сосны. После рубки сосна будет составлять 98 % всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

Для решения этой задачи необходимо сосредоточиться на той величине, которая остается неизменной — на количестве деревьев, не являющихся соснами. Предполагается, что вырубке подлежат только сосны.

Пусть $N_1$ — это общее количество деревьев в лесу до вырубки. Изначально сосны составляют 99% всех деревьев, а деревья других пород, соответственно, $100\% - 99\% = 1\%$. Таким образом, количество деревьев других пород равно $0.01 \times N_1$.

После вырубки общее количество деревьев в лесу уменьшится. Обозначим новое общее количество деревьев как $N_2$. Согласно заявлению директора, сосны после рубки будут составлять 98% от нового общего числа деревьев. Это означает, что доля деревьев других пород составит $100\% - 98\% = 2\%$ от $N_2$. Количество этих деревьев будет равно $0.02 \times N_2$.

Поскольку вырубались только сосны, количество деревьев других пород не изменилось. Мы можем приравнять их количество до и после рубки:

$0.01 \times N_1 = 0.02 \times N_2$

Из этого уравнения можно выразить новое количество деревьев $N_2$ через исходное $N_1$:

$N_2 = \frac{0.01 \times N_1}{0.02} = \frac{1}{2} N_1 = 0.5 N_1$

Это значит, что после рубки в лесу останется половина от первоначального количества деревьев. Следовательно, количество вырубленных деревьев составляет:

$N_{вырубленных} = N_1 - N_2 = N_1 - 0.5 N_1 = 0.5 N_1$

Чтобы найти, какую часть леса вырубили, нужно разделить количество вырубленных деревьев на их начальное общее количество:

$\frac{N_{вырубленных}}{N_1} = \frac{0.5 N_1}{N_1} = 0.5 = \frac{1}{2}$

Таким образом, леспромхоз может вырубить половину леса.

Ответ: $\frac{1}{2}$

5.149. На коробке с вермишелью написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?

Масса вермишели состоит из двух компонентов: сухого вещества и воды. При изменении влажности меняется только масса воды, а масса сухого вещества остается постоянной.

1. Сначала найдем массу сухого вещества в вермишели. При общей массе 500 г влажность составляет 13%. Это означает, что доля сухого вещества составляет:

$100\% - 13\% = 87\%$

Теперь вычислим массу сухого вещества ($m_{сух}$):

$m_{сух} = 500 \text{ г} \times \frac{87}{100} = 500 \times 0,87 = 435 \text{ г}$

2. Далее определим, какой будет общая масса вермишели ($M_{новая}$), если она будет храниться при влажности 25%.

При новой влажности 25% доля сухого вещества будет составлять:

$100\% - 25\% = 75\%$

Масса сухого вещества не изменилась и по-прежнему равна 435 г. Теперь эти 435 г составляют 75% от новой общей массы вермишели. Чтобы найти новую общую массу (которая составляет 100%), можно составить пропорцию или разделить массу сухого вещества на его долю:

$M_{новая} = \frac{m_{сух}}{0,75} = \frac{435}{0,75} = 580 \text{ г}$

Ответ: 580 г.

5.150. Для получения томат-пасты протёртую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько тонн томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протёртой массы томатов, содержащей 95 % воды?

При решении этой задачи важно понимать, что в процессе выпаривания из томатной массы удаляется только вода, в то время как масса сухого вещества (томатной мякоти) остается неизменной. Решение можно разбить на два шага.

1. Найдём массу сухого вещества в исходной протёртой массе томатов.

Изначально у нас есть 28 тонн протёртой массы, в которой содержание воды составляет 95%. Следовательно, процентное содержание сухого вещества равно:

$100\% - 95\% = 5\%$

Теперь вычислим, сколько тонн составляет это сухое вещество от общей массы:

$28 \text{ т} \cdot 5\% = 28 \cdot 0.05 = 1.4$ т

Таким образом, в 28 тоннах протёртой массы томатов содержится 1.4 тонны сухого вещества.

2. Найдём итоговую массу томат-пасты.

В полученной томат-пасте содержание воды должно быть 30%. Это значит, что содержание сухого вещества в ней будет составлять:

$100\% - 30\% = 70\%$

Масса сухого вещества осталась неизменной — 1.4 тонны. Теперь эти 1.4 тонны составляют 70% от новой, итоговой массы томат-пасты. Пусть $x$ — это искомая масса томат-пасты. Тогда можно составить уравнение:

$x \cdot 70\% = 1.4$ т

$x \cdot 0.7 = 1.4$

Решим уравнение, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1.4}{0.7} = 2$ т

Ответ: 2 тонны.

5.151. Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?

Пусть $A$ - это объем работы, который необходимо выполнить, $P_1$ - начальная производительность труда, а $T_1$ - начальное время выполнения работы.

Работа, производительность и время связаны соотношением: $A = P_1 \times T_1$. Отсюда время выполнения задания можно выразить как: $T_1 = \frac{A}{P_1}$.

Согласно условию, производительность труда повысили на 25%. Новая производительность $P_2$ составит:
$P_2 = P_1 + 0.25 \times P_1 = 1.25 \times P_1$.

Новое время $T_2$ для выполнения того же объема работы $A$ с новой производительностью $P_2$ будет равно:
$T_2 = \frac{A}{P_2} = \frac{A}{1.25 \times P_1}$.

Теперь найдем отношение нового времени $T_2$ к старому времени $T_1$:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\frac{A}{1.25 \times P_1}}{\frac{A}{P_1}} = \frac{A}{1.25 \times P_1} \times \frac{P_1}{A} = \frac{1}{1.25}$.

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и упростим:
$\frac{1}{1.25} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Таким образом, $T_2 = 0.8 \times T_1$. Это означает, что новое время составляет 80% от первоначального времени.
Уменьшение времени составило:
$T_1 - T_2 = T_1 - 0.8 \times T_1 = 0.2 \times T_1$.

Чтобы выразить это уменьшение в процентах, умножим полученный коэффициент на 100%:
$0.2 \times 100\% = 20\%$.

Ответ: время выполнения задания уменьшится на 20%.

5.152. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 25 мин папа заметил пропажу, быстро развернул лодку, и они поплыли вниз по течению с той же собственной скоростью. Через сколько минут они догонят шляпу?

Решение

Эту задачу проще всего решить, если перейти в систему отсчета, связанную с водой. В этой системе отсчета вода неподвижна, а шляпа, упавшая в воду, также покоится.

Введем обозначения:

• $v_л$ — собственная скорость лодки (скорость относительно воды).
• $t_1 = 25$ мин — время, в течение которого лодка удалялась от шляпы после ее падения.
• $t_2$ — искомое время, за которое лодка догонит шляпу.

1. С момента, когда шляпа упала за борт, она стала неподвижной относительно воды. Лодка же продолжила движение "вверх" по реке (против течения). В системе отсчета, связанной с водой, лодка просто удалялась от шляпы со своей собственной скоростью $v_л$. Это продолжалось 25 минут.

За это время лодка удалилась от шляпы на расстояние $S$:

$S = v_л \cdot t_1 = v_л \cdot 25$

2. Через 25 минут папа развернул лодку и поплыл обратно к шляпе. В системе отсчета, связанной с водой, скорость лодки, направленной к шляпе, по-прежнему равна ее собственной скорости $v_л$.

Чтобы догнать шляпу, лодке нужно преодолеть то расстояние $S$, на которое она удалилась. Время $t_2$, необходимое для этого, равно:

$t_2 = \frac{S}{v_л}$

Подставим значение $S$ из первого пункта:

$t_2 = \frac{v_л \cdot 25}{v_л} = 25$ минут.

Интересно, что скорость течения $v_т$ не влияет на ответ. Время, которое лодка удалялась от шляпы (относительно воды), равно времени, которое она будет возвращаться к ней, так как ее скорость относительно воды в обоих случаях одинакова по модулю.

Ответ: 25 минут.

5.153. Папа купил себе дипломат с двумя кодовыми замками. На каждом из этих замков устанавливают код — набор из трёх цифр от 0 до 9 (рис. 115). Дипломат закрывают и на его наружной панели устанавливают произвольные наборы цифр. Каждый замок откроется лишь тогда, когда будет правильно набран его код.

Рис. 115

а) Саша установил новый код на каждый замок, но забыл сообщить об этом папе и ушёл в школу. Сколько времени может занять открывание замков у папы в худшем случае, если он будет последовательно проверять коды для каждого замка и на проверку каждого кода будет тратить 1 с?

б) Какова вероятность открыть с первой попытки один кодовый замок; оба замка?

в) Саша установил новый код на каждый замок и через некоторое время забыл, в каком порядке цифры 1, 2 и 3 образуют эти два кода. Сколько кодов в худшем случае придётся проверить Саше, чтобы открыть оба замка?

г) Саша установил два новых кода на замках дипломата и через некоторое время забыл их. Он помнит, что в каждый код входят цифры 1, 2 и какая-то третья цифра (не 1 и не 2). Сколько кодов в худшем случае придётся проверить Саше, чтобы открыть один замок; оба замка?

а)

Каждый кодовый замок имеет 3 диска, на каждом из которых могут быть установлены цифры от 0 до 9. Это означает, что для каждой из трех позиций в коде есть 10 возможных вариантов.
Общее количество возможных комбинаций для одного замка вычисляется как произведение количества вариантов для каждой позиции:
$N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$
Таким образом, для одного замка существует 1000 возможных кодов (от 000 до 999).
В худшем случае папе придется перебрать все возможные комбинации, чтобы найти правильный код. Это означает, что правильный код окажется последним, 1000-м по счету.
Поскольку на проверку каждого кода уходит 1 секунда, на открытие одного замка в худшем случае потребуется 1000 секунд.
Так как замков два, и они открываются последовательно, общее время в худшем случае будет суммой времени, затраченного на каждый замок:
$T_{общ} = T_{замок1} + T_{замок2} = 1000 \text{ с} + 1000 \text{ с} = 2000 \text{ с}$
Ответ: 2000 секунд.

б)

Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Для одного замка существует только один правильный код из 1000 возможных. Таким образом, вероятность открыть один замок с первой попытки равна:
$P_{один} = \frac{1}{1000}$
Открытие каждого замка — это независимые события. Вероятность того, что произойдут два независимых события, равна произведению их индивидуальных вероятностей.
Вероятность открыть первый замок с первой попытки равна $1/1000$, и вероятность открыть второй замок с первой попытки также равна $1/1000$.
Следовательно, вероятность открыть оба замка с первой попытки равна:
$P_{оба} = P_{первый} \times P_{второй} = \frac{1}{1000} \times \frac{1}{1000} = \frac{1}{1000000}$
Ответ: вероятность открыть один замок с первой попытки – $1/1000$; оба замка – $1/1000000$.

в)

Известно, что коды на обоих замках состоят из цифр 1, 2 и 3. Это означает, что каждый код является перестановкой этих трех цифр.
Количество возможных перестановок из 3-х различных элементов вычисляется по формуле для числа перестановок $P_n = n!$:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Таким образом, для каждого замка существует 6 возможных кодов: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Чтобы открыть первый замок, в худшем случае Саше придется проверить все 6 комбинаций.
Аналогично, чтобы открыть второй замок, ему также придется в худшем случае проверить все 6 комбинаций.
Общее количество кодов, которое придется проверить в худшем случае для открытия обоих замков, равно сумме проверок для каждого замка:
$K_{общ} = 6 + 6 = 12$
Ответ: 12 кодов.

г)

Известно, что в каждый код входят цифры 1, 2 и третья цифра, которая не является ни 1, ни 2.
Найдем количество вариантов для третьей цифры. Это может быть любая цифра из множества {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Всего 8 вариантов.
Для каждого из этих 8 вариантов мы получаем набор из трех различных цифр (например, {1, 2, 0}, {1, 2, 3} и т.д.). Код является перестановкой этих трех цифр. Количество перестановок из 3-х элементов равно:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Чтобы найти общее количество возможных кодов для одного замка, нужно умножить количество вариантов для третьей цифры на количество перестановок для каждого набора:
$N_{один} = 8 \times 6 = 48$
В худшем случае, чтобы открыть один замок, Саше придется проверить все 48 возможных кодов.
Чтобы открыть оба замка, в худшем случае ему придется проверить максимальное количество кодов для первого замка (48) и максимальное количество кодов для второго замка (также 48).
$N_{оба} = 48 + 48 = 96$
Ответ: чтобы открыть один замок, придется проверить 48 кодов; чтобы открыть оба замка – 96 кодов.