Страница 218 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.154. В школе 20 классов. В ближайшем к школе доме живут 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?

Да, можно утверждать, что среди учеников обязательно найдутся хотя бы два одноклассника. Это следует из принципа Дирихле (также известного как принцип ящиков).

Принцип Дирихле гласит: если в $N$ ящиках нужно разместить $M$ предметов, и число предметов $M$ больше числа ящиков $N$ ($M > N$), то найдётся хотя бы один ящик, в котором будет лежать хотя бы два предмета.

Применим этот принцип к нашей задаче:

• «Предметы» — это ученики, их 23.
• «Ящики» — это классы, их 20.

Мы должны «распределить» 23 учеников по 20 классам. Поскольку количество учеников (23) больше количества классов (20), то есть $23 > 20$, то по принципу Дирихле обязательно найдется хотя бы один класс, в котором будет учиться более одного ученика из этого дома.

Можно рассуждать и от противного. Предположим, что нет ни одной пары одноклассников среди этих 23 учеников. Это означало бы, что все они учатся в разных классах. Но в школе всего 20 классов. Таким образом, в 20 классах могут учиться максимум 20 учеников, по одному из каждого класса. А у нас 23 ученика. 21-й, 22-й и 23-й ученики неизбежно попадут в классы, где уже есть кто-то из этого дома, и станут чьими-то одноклассниками. Наше предположение неверно.

Следовательно, утверждение о том, что среди 23 учеников обязательно найдутся хотя бы два одноклассника, является верным.

Ответ: да, можно утверждать.

5.155. В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся хотя бы два ученика, празднующие свой день рождения в один и тот же день.

Для доказательства этого утверждения используется принцип Дирихле. Он гласит, что если $N$ объектов нужно разместить в $K$ контейнерах, и число объектов превышает число контейнеров ($N > K$), то по крайней мере в одном контейнере окажется более одного объекта.

В контексте данной задачи:

• «Объекты» — это ученики школы. Их количество $N = 370$.
• «Контейнеры» — это дни года, в которые могут выпадать дни рождения. Максимальное количество таких дней равно 366 (с учётом 29 февраля в високосном году). Таким образом, $K = 366$.

Сравним количество учеников с количеством дней в году. Мы видим, что $370 > 366$, то есть количество «объектов» больше количества «контейнеров».

Исходя из принципа Дирихле, если мы будем сопоставлять каждому ученику его день рождения, то обязательно найдётся хотя бы один день в году, на который придётся день рождения как минимум двух учеников.

Иными словами, если бы у всех учеников были разные дни рождения, то для этого потребовалось бы как минимум 370 различных дней, что невозможно, так как в году их максимум 366. Это противоречие доказывает исходное утверждение.

Ответ: В году максимально 366 дней. Поскольку количество учеников (370) больше количества дней в году (366), то по принципу Дирихле обязательно найдутся по крайней мере два ученика, празднующие свой день рождения в один и тот же день.

5.156. Коля подсчитал, что на завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше четырёх конфет.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим обратное: пусть Коля каждый раз (на завтрак, обед и ужин) съедал меньше четырёх конфет.

Словосочетание "меньше четырёх" означает, что количество съеденных конфет за один приём пищи может быть 0, 1, 2 или 3. Максимально возможное количество конфет за один раз при нашем предположении — это 3.

Теперь подсчитаем, какое максимальное количество конфет Коля мог бы съесть за весь день, если бы наше предположение было верным. Всего было три приёма пищи.

Максимальное общее количество конфет равно сумме максимальных количеств за каждый приём пищи: $3 \text{ (завтрак)} + 3 \text{ (обед)} + 3 \text{ (ужин)} = 9 \text{ конфет}$.

Таким образом, если бы Коля каждый раз съедал меньше четырёх конфет, то суммарно за день он съел бы не более 9 конфет.

Однако по условию задачи нам известно, что Коля съел 10 конфет. Мы получили противоречие, так как $9 < 10$.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, верно исходное утверждение: хотя бы один раз Коля съел не меньше четырёх конфет. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на методе от противного. Если предположить, что Коля каждый раз съедал меньше 4 конфет (то есть максимум 3), то за три приёма пищи он мог съесть не более $3 \times 3 = 9$ конфет. Это противоречит условию, что он съел 10 конфет. Следовательно, наше предположение неверно, и как минимум за один из приёмов пищи он съел 4 или более конфет.

тырок конфет.

5.157. В классе 37 человек. Докажите, что из них найдутся хотя бы 4 человека, родившиеся в один месяц.

Для решения этой задачи используется принцип Дирихле. В данном контексте, ученики являются "объектами" (или "голубями"), а месяцы года — "контейнерами" (или "клетками").

У нас есть:

• 37 учеников (объекты)
• 12 месяцев в году (контейнеры)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть не найдется 4 человека, родившихся в один месяц. Это означает, что в каждом из 12 месяцев родилось не более 3 человек.

Если в каждом из 12 месяцев родилось не более 3 человек, то максимальное количество учеников в классе могло бы быть:

$12 \text{ месяцев} \times 3 \text{ человека} = 36 \text{ человек}$

Однако по условию задачи в классе 37 человек. Мы получили противоречие, так как $37 > 36$.

Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным, и обязательно должен найтись хотя бы один месяц, в котором родились как минимум 4 человека.

Ответ: Утверждение доказано.

5.158. В коллекции имеется 25 монет по 1, 2, 3 и 5 копеек. Есть ли среди них 7 монет одинакового достоинства?

Для решения этой задачи применим принцип Дирихле. В данном случае монеты являются «объектами», а их достоинства (1, 2, 3 и 5 копеек) — «группами».

У нас есть 25 монет и 4 возможных достоинства.

Предположим, что монет ни одного из достоинств нет в количестве 7 штук. Это значит, что монет каждого достоинства может быть не более 6.

В таком случае, максимальное количество монет, которое могло бы быть в коллекции, составляет:
$6 \text{ монет} \times 4 \text{ достоинства} = 24 \text{ монеты}$.

Но по условию в коллекции 25 монет. Так как $25 > 24$, наше предположение неверно. Это означает, что как минимум для одного достоинства количество монет должно быть больше 6, то есть 7 или более.

Следовательно, среди 25 монет обязательно найдутся 7 монет одинакового достоинства.
Ответ: да, есть.

5.159. Учительница объявила результаты диктанта. Больше всего ошибок было у Пети — $13$. Докажите, что среди $28$ учащихся, допустивших ошибки, найдутся $3$ человека с одинаковым числом ошибок.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле (также известным как принцип ящиков).

В качестве "голубей" в этой задаче выступают ученики, допустившие ошибки. По условию их $N = 28$.

В качестве "клеток" (или "ящиков") выступают различные возможные количества ошибок, которые мог допустить ученик.

Из условия задачи известно, что мы рассматриваем учеников, которые допустили ошибки, значит, количество ошибок у каждого из них не может быть равно нулю. Наибольшее количество ошибок — 13. Следовательно, возможные значения для числа ошибок — это целые числа от 1 до 13 включительно. Таким образом, количество "клеток" (различных вариантов числа ошибок) равно $M = 13$.

Нам нужно доказать, что хотя бы в одну "клетку" попадет не менее трёх "голубей".

Воспользуемся обобщённым принципом Дирихле, который гласит: если $N$ объектов нужно разместить в $M$ контейнеров, то по крайней мере один контейнер будет содержать не менее $\lceil N/M \rceil$ объектов (где $\lceil x \rceil$ — это округление числа $x$ до ближайшего целого в большую сторону).

Применительно к нашей задаче, мы распределяем $28$ учеников по $13$ возможным группам по числу ошибок. Тогда найдётся хотя бы одна группа, в которой будет не менее:

$\lceil \frac{28}{13} \rceil = \lceil 2 \frac{2}{13} \rceil = 3$ ученика.

Это означает, что обязательно найдётся как минимум 3 ученика с одинаковым числом ошибок. Утверждение доказано.

Можно также доказать от противного. Допустим, что не существует 3 учеников с одинаковым числом ошибок. Это значит, что любое количество ошибок (от 1 до 13) сделали не более 2 учеников. В таком случае, максимальное количество учеников, допустивших ошибки, было бы $13 \text{ (вариантов ошибок)} \times 2 \text{ (ученика)} = 26$. Но по условию учеников 28, что больше 26. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно, и обязательно найдутся 3 ученика с одинаковым числом ошибок.

Ответ: Утверждение доказано. Среди 28 учащихся, допустивших ошибки, где максимальное число ошибок равно 13, обязательно найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.