Номер 5.159, страница 218 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 5. Занимательные задачи. Глава 5. Умножение и деление десятичных дробей - номер 5.159, страница 218.

Условие.

5.159. Учительница объявила результаты диктанта. Больше всего ошибок было у Пети — $13$. Докажите, что среди $28$ учащихся, допустивших ошибки, найдутся $3$ человека с одинаковым числом ошибок.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле (также известным как принцип ящиков).

В качестве "голубей" в этой задаче выступают ученики, допустившие ошибки. По условию их $N = 28$.

В качестве "клеток" (или "ящиков") выступают различные возможные количества ошибок, которые мог допустить ученик.

Из условия задачи известно, что мы рассматриваем учеников, которые допустили ошибки, значит, количество ошибок у каждого из них не может быть равно нулю. Наибольшее количество ошибок — 13. Следовательно, возможные значения для числа ошибок — это целые числа от 1 до 13 включительно. Таким образом, количество "клеток" (различных вариантов числа ошибок) равно $M = 13$.

Нам нужно доказать, что хотя бы в одну "клетку" попадет не менее трёх "голубей".

Воспользуемся обобщённым принципом Дирихле, который гласит: если $N$ объектов нужно разместить в $M$ контейнеров, то по крайней мере один контейнер будет содержать не менее $\lceil N/M \rceil$ объектов (где $\lceil x \rceil$ — это округление числа $x$ до ближайшего целого в большую сторону).

Применительно к нашей задаче, мы распределяем $28$ учеников по $13$ возможным группам по числу ошибок. Тогда найдётся хотя бы одна группа, в которой будет не менее:

$\lceil \frac{28}{13} \rceil = \lceil 2 \frac{2}{13} \rceil = 3$ ученика.

Это означает, что обязательно найдётся как минимум 3 ученика с одинаковым числом ошибок. Утверждение доказано.

Можно также доказать от противного. Допустим, что не существует 3 учеников с одинаковым числом ошибок. Это значит, что любое количество ошибок (от 1 до 13) сделали не более 2 учеников. В таком случае, максимальное количество учеников, допустивших ошибки, было бы $13 \text{ (вариантов ошибок)} \times 2 \text{ (ученика)} = 26$. Но по условию учеников 28, что больше 26. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно, и обязательно найдутся 3 ученика с одинаковым числом ошибок.

Ответ: Утверждение доказано. Среди 28 учащихся, допустивших ошибки, где максимальное число ошибок равно 13, обязательно найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.