Номер 5.153, страница 217 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Умножение и деление десятичных дробей. Дополнения к главе 5. Занимательные задачи - номер 5.153, страница 217.

Условие.

5.153. Папа купил себе дипломат с двумя кодовыми замками. На каждом из этих замков устанавливают код — набор из трёх цифр от 0 до 9 (рис. 115). Дипломат закрывают и на его наружной панели устанавливают произвольные наборы цифр. Каждый замок откроется лишь тогда, когда будет правильно набран его код.

Рис. 115

а) Саша установил новый код на каждый замок, но забыл сообщить об этом папе и ушёл в школу. Сколько времени может занять открывание замков у папы в худшем случае, если он будет последовательно проверять коды для каждого замка и на проверку каждого кода будет тратить 1 с?

б) Какова вероятность открыть с первой попытки один кодовый замок; оба замка?

в) Саша установил новый код на каждый замок и через некоторое время забыл, в каком порядке цифры 1, 2 и 3 образуют эти два кода. Сколько кодов в худшем случае придётся проверить Саше, чтобы открыть оба замка?

г) Саша установил два новых кода на замках дипломата и через некоторое время забыл их. Он помнит, что в каждый код входят цифры 1, 2 и какая-то третья цифра (не 1 и не 2). Сколько кодов в худшем случае придётся проверить Саше, чтобы открыть один замок; оба замка?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Каждый кодовый замок имеет 3 диска, на каждом из которых могут быть установлены цифры от 0 до 9. Это означает, что для каждой из трех позиций в коде есть 10 возможных вариантов.
Общее количество возможных комбинаций для одного замка вычисляется как произведение количества вариантов для каждой позиции:
$N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$
Таким образом, для одного замка существует 1000 возможных кодов (от 000 до 999).
В худшем случае папе придется перебрать все возможные комбинации, чтобы найти правильный код. Это означает, что правильный код окажется последним, 1000-м по счету.
Поскольку на проверку каждого кода уходит 1 секунда, на открытие одного замка в худшем случае потребуется 1000 секунд.
Так как замков два, и они открываются последовательно, общее время в худшем случае будет суммой времени, затраченного на каждый замок:
$T_{общ} = T_{замок1} + T_{замок2} = 1000 \text{ с} + 1000 \text{ с} = 2000 \text{ с}$
Ответ: 2000 секунд.

б)

Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Для одного замка существует только один правильный код из 1000 возможных. Таким образом, вероятность открыть один замок с первой попытки равна:
$P_{один} = \frac{1}{1000}$
Открытие каждого замка — это независимые события. Вероятность того, что произойдут два независимых события, равна произведению их индивидуальных вероятностей.
Вероятность открыть первый замок с первой попытки равна $1/1000$, и вероятность открыть второй замок с первой попытки также равна $1/1000$.
Следовательно, вероятность открыть оба замка с первой попытки равна:
$P_{оба} = P_{первый} \times P_{второй} = \frac{1}{1000} \times \frac{1}{1000} = \frac{1}{1000000}$
Ответ: вероятность открыть один замок с первой попытки – $1/1000$; оба замка – $1/1000000$.

в)

Известно, что коды на обоих замках состоят из цифр 1, 2 и 3. Это означает, что каждый код является перестановкой этих трех цифр.
Количество возможных перестановок из 3-х различных элементов вычисляется по формуле для числа перестановок $P_n = n!$:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Таким образом, для каждого замка существует 6 возможных кодов: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Чтобы открыть первый замок, в худшем случае Саше придется проверить все 6 комбинаций.
Аналогично, чтобы открыть второй замок, ему также придется в худшем случае проверить все 6 комбинаций.
Общее количество кодов, которое придется проверить в худшем случае для открытия обоих замков, равно сумме проверок для каждого замка:
$K_{общ} = 6 + 6 = 12$
Ответ: 12 кодов.

г)

Известно, что в каждый код входят цифры 1, 2 и третья цифра, которая не является ни 1, ни 2.
Найдем количество вариантов для третьей цифры. Это может быть любая цифра из множества {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Всего 8 вариантов.
Для каждого из этих 8 вариантов мы получаем набор из трех различных цифр (например, {1, 2, 0}, {1, 2, 3} и т.д.). Код является перестановкой этих трех цифр. Количество перестановок из 3-х элементов равно:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Чтобы найти общее количество возможных кодов для одного замка, нужно умножить количество вариантов для третьей цифры на количество перестановок для каждого набора:
$N_{один} = 8 \times 6 = 48$
В худшем случае, чтобы открыть один замок, Саше придется проверить все 48 возможных кодов.
Чтобы открыть оба замка, в худшем случае ему придется проверить максимальное количество кодов для первого замка (48) и максимальное количество кодов для второго замка (также 48).
$N_{оба} = 48 + 48 = 96$
Ответ: чтобы открыть один замок, придется проверить 48 кодов; чтобы открыть оба замка – 96 кодов.