Номер 6.1, страница 221 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.1. Разложение положительной обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь - номер 6.1, страница 221.

Условие.

6.1. Конечную десятичную дробь записали в виде обыкновенной несократимой дроби. Может ли знаменатель этой дроби иметь простые делители, отличные от 2 и 5?

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

6.1.

Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой является степенью числа 10. Например, $0,123 = \frac{123}{1000}$, $2,5 = \frac{25}{10}$.

В общем виде любую конечную десятичную дробь можно записать как $\frac{A}{10^n}$, где $A$ — целое число, а $n$ — натуральное число, равное количеству знаков после запятой.

Рассмотрим знаменатель этой дроби, $10^n$. Разложим его на простые множители: $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$.

Как видно из разложения, единственными простыми делителями знаменателя $10^n$ являются числа 2 и 5.

По условию задачи, эту дробь приводят к несократимому виду. Чтобы получить несократимую дробь, мы должны сократить исходную дробь $\frac{A}{10^n}$, разделив числитель и знаменатель на их общие делители. Поскольку в разложении знаменателя на простые множители присутствуют только 2 и 5, то и сокращать дробь мы можем только на множители, состоящие из двоек и пятерок (то есть на общие делители числителя $A$ и знаменателя $10^n$).

При таком сокращении в знаменателе не могут появиться никакие новые простые делители. Из него могут только исчезнуть некоторые (или все) множители 2 и 5, если они также являются множителями числителя. Таким образом, знаменатель итоговой несократимой дроби будет иметь вид $2^a \cdot 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа. Это означает, что его простыми делителями по-прежнему могут быть только числа 2 и 5.

Следовательно, знаменатель несократимой дроби, полученной из конечной десятичной, не может иметь простых делителей, отличных от 2 и 5.

Ответ: Нет, не может.