Страница 214 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.140. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны:

а) 3 см, 4 см, 5 см;

б) 3 см, 4 см, 4 см;

в) 4 см, 4 см, 4 см.

Сколько плоскостей симметрии у этого прямоугольного параллелепипеда?

Количество плоскостей симметрии прямоугольного параллелепипеда зависит от соотношения длин его ребер $a$, $b$ и $c$, выходящих из одной вершины. Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части.

У любого прямоугольного параллелепипеда есть как минимум три плоскости симметрии. Каждая такая плоскость проходит через центр параллелепипеда и параллельна одной из пар его противоположных граней.

а) В данном случае длины ребер равны 3 см, 4 см и 5 см. Обозначим их как $a=3$ см, $b=4$ см и $c=5$ см. Поскольку все три измерения различны ($a \neq b \neq c$), у этого параллелепипеда нет дополнительной симметрии, кроме базовой.

Следовательно, он имеет ровно три плоскости симметрии, каждая из которых параллельна одной из пар граней и проходит через центр фигуры.

Ответ: 3.

б) В данном случае длины ребер равны 3 см, 4 см и 4 см. Обозначим их как $a=3$ см, $b=4$ см и $c=4$ см. Здесь два из трех измерений равны ($b=c$), что означает, что у параллелепипеда есть две грани, являющиеся квадратами со стороной 4 см.

Такой параллелепипед имеет:

1. Три плоскости симметрии, параллельные его граням (как в предыдущем случае).

2. Две дополнительные диагональные плоскости симметрии. Эти плоскости проходят через диагонали квадратных граней и перпендикулярны им.

Общее число плоскостей симметрии составляет $3 + 2 = 5$.

Ответ: 5.

в) В данном случае длины ребер равны 4 см, 4 см и 4 см. Обозначим их как $a=4$ см, $b=4$ см и $c=4$ см. Поскольку все три измерения равны ($a=b=c$), этот прямоугольный параллелепипед является кубом.

Куб обладает максимальной симметрией среди всех параллелепипедов. Он имеет:

1. Три плоскости симметрии, проходящие через центры противоположных граней (параллельно граням).

2. Шесть диагональных плоскостей симметрии. Каждая из этих плоскостей проходит через два противоположных ребра куба.

Общее число плоскостей симметрии у куба составляет $3 + 6 = 9$.

Ответ: 9.

5.14 Сколько плоскостей симметрии у цилиндра, конуса, шара?

У цилиндра:
Плоскостями симметрии для прямого кругового цилиндра являются:
1. Любая плоскость, проходящая через ось симметрии цилиндра (ось вращения). Поскольку через прямую (ось) можно провести бесконечное множество плоскостей, то таких плоскостей симметрии у цилиндра бесконечно много.
2. Одна плоскость, которая перпендикулярна оси цилиндра и проходит через её середину. Эта плоскость делит цилиндр на две зеркально-симметричные части.
Таким образом, общее количество плоскостей симметрии бесконечно.
Ответ: бесконечно много.

У конуса:
Плоскостью симметрии для прямого кругового конуса является любая плоскость, которая проходит через его ось (линию, соединяющую вершину конуса с центром его основания). Каждая такая плоскость делит конус на две зеркально-симметричные половины. Так как через ось конуса можно провести бесконечное множество плоскостей, то и число плоскостей симметрии также бесконечно.
Ответ: бесконечно много.

У шара:
Для шара любая плоскость, проходящая через его центр, является плоскостью симметрии. Каждая такая плоскость рассекает шар на два равных полушария, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Поскольку через одну точку (центр шара) в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей, у шара бесконечно много плоскостей симметрии.
Ответ: бесконечно много.

5.142. На клетчатой бумаге несложно рисовать кубики. На рисунке 108 изображены два многогранника, которые можно составить из трёх равных кубиков при условии, что каждый из них должен иметь хотя бы одну общую грань с остальными кубиками. Назовём их трикубиками. Убедитесь, что имеется только две фигуры трикубиков. Сколько плоскостей симметрии у каждой из них?

Рис. 108

Фигура 1

Данный многогранник, состоящий из трёх кубиков, выстроенных в ряд, представляет собой прямой параллелепипед с размерами $1 \times 1 \times 3$ (если принять длину ребра одного кубика за единицу). У такого параллелепипеда можно выделить следующие плоскости симметрии:

• Три плоскости, проходящие через центр фигуры параллельно её граням. Одна из них перпендикулярна длинной оси фигуры и делит её пополам (проходя через центр среднего кубика). Две другие проходят вдоль длинной оси, деля фигуру на верхнюю/нижнюю и переднюю/заднюю части.
• Две диагональные плоскости. Поскольку поперечное сечение фигуры является квадратом, плоскости, проходящие через длинную ось и диагонали этого квадратного сечения, также являются плоскостями симметрии.

Итого, общее количество плоскостей симметрии для первой фигуры: $3 + 2 = 5$.

Ответ: 5

Фигура 2

Этот многогранник имеет L-образную (угловую) форму. У данной фигуры есть две плоскости симметрии:

• Одна плоскость, которая проходит горизонтально через середины всех трёх кубиков, разделяя фигуру на две зеркально-симметричные половины (верхнюю и нижнюю).
• Одна диагональная плоскость, которая проходит через диагональ "углового" кубика под углом $45^\circ$ к двум другим кубикам. Эта плоскость зеркально отражает один "крайний" кубик на другой.

Других плоскостей симметрии у данной фигуры нет.

Ответ: 2

5.143. Нарисуйте все фигуры тетракубиков, полученные из четырёх кубиков по тому же правилу, что и для трикубиков. Убедитесь, что существует только восемь фигур тетракубиков. Сколько плоскостей симметрии имеет каждая из них?

Тетракубики — это поликубики, состоящие из четырёх единичных кубов, соединённых гранями. Существует ровно восемь различных (неконгруэнтных) фигур тетракубиков. Пять из них являются «плоскими» (их центры лежат в одной плоскости) и соответствуют тетрамино, а три — «пространственными» (не плоскими).

Ниже представлены все восемь фигур и количество плоскостей симметрии для каждой из них.

5.144. Имеются ли плоскости симметрии у правильной пирамиды (если да, то сколько?), если она:

а) треугольная (рис. 109);

б) шестиугольная (рис. 110)?

Рис. 108

Рис. 109

Рис. 110

а) треугольная (рис. 109)

Да, у правильной треугольной пирамиды имеются плоскости симметрии.

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. У правильной пирамиды любая плоскость симметрии обязательно проходит через ее вершину и высоту, так как вершина и ее проекция на основание (центр основания) являются неподвижными точками при симметрии.

Следовательно, количество плоскостей симметрии у правильной пирамиды равно количеству осей симметрии у ее основания (правильного многоугольника).

Основанием данной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Каждая ось проходит через одну из его вершин и середину противоположной стороны.

Таким образом, правильная треугольная пирамида имеет 3 плоскости симметрии. Каждая из них проходит через вершину пирамиды и одну из осей симметрии основания.

Ответ: да, 3 плоскости симметрии.

б) шестиугольная (рис. 110)

Да, у правильной шестиугольной пирамиды имеются плоскости симметрии.

Аналогично предыдущему пункту, количество плоскостей симметрии правильной шестиугольной пирамиды равно количеству осей симметрии ее основания, которое является правильным шестиугольником.

Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии:

• 3 оси симметрии, проходящие через противоположные вершины.
• 3 оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон.

Следовательно, правильная шестиугольная пирамида имеет 6 плоскостей симметрии. Каждая из этих плоскостей проходит через вершину пирамиды и одну из шести осей симметрии ее основания.

Ответ: да, 6 плоскостей симметрии.