Страница 211 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.135. Сформулируйте правило приближённого деления чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до четвёртой значащей цифры.

Правило приближённого деления чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до четвёртой значащей цифры, основывается на общем правиле вычислений с приближёнными числами: результат действия не должен иметь больше значащих цифр, чем наименее точное из исходных данных. Так как в данном случае и делимое, и делитель имеют по четыре значащие цифры, то и их частное следует округлить до четырёх значащих цифр.

Алгоритм деления следующий: 1) выполнить деление данных чисел (делимого на делитель), получив частное с запасом точности; 2) округлить полученный результат до четырёх значащих цифр. Напомним, что значащие цифры — это все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля.

Пример. Найдём частное от деления $a \approx 98.76$ на $b \approx 1.234$. Оба числа имеют по 4 значащие цифры. Деление даёт: $98.76 / 1.234 \approx 80.0324149...$ Первые четыре значащие цифры в результате — это 8, 0, 0, 3. Пятая значащая цифра — 2. Так как $2 < 5$, округление производится в меньшую сторону, и последняя сохраняемая цифра 3 не изменяется. Таким образом, результат приближённого деления равен $80.03$.

Ответ: Чтобы разделить два числа, заданных десятичными дробями и округлённых до четвёртой значащей цифры, необходимо выполнить деление, а затем округлить полученное частное до четырёх значащих цифр.

5.136. Округлите числа $a$ и $b$ с точностью до 0,1 и вычислите приближённо их сумму $a+b$ и разность $a-b$:

а) $a=3,28$, $b=0,11$;

б) $a=-1,256$, $b=2,555$;

в) $a=0,010010$, $b=0,2$;

г) $a=2,7235$, $b=-3,42426$;

д) $a=-7,17$, $b=-0,33$;

е) $a=-6,373$, $b=-8,765$.

а) $a=3,28$, $b=0,11$

Сначала округлим числа до десятых. Чтобы округлить число до десятых, нужно посмотреть на цифру в разряде сотых. Если она 5 или больше, то цифру в разряде десятых увеличиваем на 1, а все последующие разряды отбрасываем. Если она меньше 5, то разряд десятых оставляем без изменений, а последующие разряды отбрасываем.

$a = 3,28 \approx 3,3$ (так как в разряде сотых стоит 8, $8 \ge 5$).

$b = 0,11 \approx 0,1$ (так как в разряде сотых стоит 1, $1 < 5$).

Теперь вычислим приближенные значения суммы и разности:

$a + b \approx 3,3 + 0,1 = 3,4$

$a - b \approx 3,3 - 0,1 = 3,2$

Ответ: $a+b \approx 3,4$; $a-b \approx 3,2$.

б) $a=-1,256$, $b=2,555$

Округлим числа до десятых:

$a = -1,256 \approx -1,3$ (так как в разряде сотых стоит 5, $5 \ge 5$).

$b = 2,555 \approx 2,6$ (так как в разряде сотых стоит 5, $5 \ge 5$).

Вычислим приближенные значения суммы и разности:

$a + b \approx -1,3 + 2,6 = 1,3$

$a - b \approx -1,3 - 2,6 = -3,9$

Ответ: $a+b \approx 1,3$; $a-b \approx -3,9$.

в) $a=0,010010$, $b=0,2$

Округлим числа до десятых:

$a = 0,010010 \approx 0,0$ (так как в разряде сотых стоит 1, $1 < 5$).

$b = 0,2$ (число уже представлено с точностью до десятых).

Вычислим приближенные значения суммы и разности:

$a + b \approx 0,0 + 0,2 = 0,2$

$a - b \approx 0,0 - 0,2 = -0,2$

Ответ: $a+b \approx 0,2$; $a-b \approx -0,2$.

г) $a=2,7235$, $b=-3,42426$

Округлим числа до десятых:

$a = 2,7235 \approx 2,7$ (так как в разряде сотых стоит 2, $2 < 5$).

$b = -3,42426 \approx -3,4$ (так как в разряде сотых стоит 2, $2 < 5$).

Вычислим приближенные значения суммы и разности:

$a + b \approx 2,7 + (-3,4) = 2,7 - 3,4 = -0,7$

$a - b \approx 2,7 - (-3,4) = 2,7 + 3,4 = 6,1$

Ответ: $a+b \approx -0,7$; $a-b \approx 6,1$.

д) $a=-7,17$, $b=-0,33$

Округлим числа до десятых:

$a = -7,17 \approx -7,2$ (так как в разряде сотых стоит 7, $7 \ge 5$).

$b = -0,33 \approx -0,3$ (так как в разряде сотых стоит 3, $3 < 5$).

Вычислим приближенные значения суммы и разности:

$a + b \approx -7,2 + (-0,3) = -7,2 - 0,3 = -7,5$

$a - b \approx -7,2 - (-0,3) = -7,2 + 0,3 = -6,9$

Ответ: $a+b \approx -7,5$; $a-b \approx -6,9$.

е) $a=-6,373$, $b=-8,765$

Округлим числа до десятых:

$a = -6,373 \approx -6,4$ (так как в разряде сотых стоит 7, $7 \ge 5$).

$b = -8,765 \approx -8,8$ (так как в разряде сотых стоит 6, $6 \ge 5$).

Вычислим приближенные значения суммы и разности:

$a + b \approx -6,4 + (-8,8) = -6,4 - 8,8 = -15,2$

$a - b \approx -6,4 - (-8,8) = -6,4 + 8,8 = 2,4$

Ответ: $a+b \approx -15,2$; $a-b \approx 2,4$.

5.137. Округлите числа $a$ и $b$ с точностью до 0,01 и вычислите приближённо их сумму $a + b$ и разность $a - b$:

а) $a = 1,4545$, $b = -1,203$;

б) $a = 2,1264$, $b = -3,1145$;

в) $a = -5,777$, $b = 2,536;

г) $a = 0,5642$, $b = -3,573$;

д) $a = -12,454$, $b = 10,111$;

е) $a = -9,5273$, $b = -11,1928$.

а)

Даны числа $a = 1,4545$ и $b = -1,203$.

Сначала округлим каждое число с точностью до 0,01 (до сотых). Для этого смотрим на третью цифру после запятой (разряд тысячных):

$a = 1,4545 \approx 1,45$ (так как третья цифра после запятой 4, а $4 < 5$, то разряд сотых не меняем).

$b = -1,203 \approx -1,20$ (так как третья цифра после запятой 3, а $3 < 5$, то разряд сотых не меняем).

Теперь вычислим приближенную сумму и разность округленных чисел:

Сумма: $a + b \approx 1,45 + (-1,20) = 1,45 - 1,20 = 0,25$.

Разность: $a - b \approx 1,45 - (-1,20) = 1,45 + 1,20 = 2,65$.

Ответ: $a+b \approx 0,25$; $a-b \approx 2,65$.

б)

Даны числа $a = 2,1264$ и $b = -3,1145$.

Округлим числа до сотых:

$a = 2,1264 \approx 2,13$ (так как третья цифра после запятой 6, а $6 \ge 5$, то разряд сотых увеличиваем на 1).

$b = -3,1145 \approx -3,11$ (так как третья цифра после запятой 4, а $4 < 5$, то разряд сотых не меняем).

Вычислим приближенную сумму и разность:

Сумма: $a + b \approx 2,13 + (-3,11) = 2,13 - 3,11 = -0,98$.

Разность: $a - b \approx 2,13 - (-3,11) = 2,13 + 3,11 = 5,24$.

Ответ: $a+b \approx -0,98$; $a-b \approx 5,24$.

в)

Даны числа $a = -5,777$ и $b = 2,536$.

Округлим числа до сотых:

$a = -5,777 \approx -5,78$ (так как третья цифра после запятой 7, а $7 \ge 5$, то разряд сотых увеличиваем на 1).

$b = 2,536 \approx 2,54$ (так как третья цифра после запятой 6, а $6 \ge 5$, то разряд сотых увеличиваем на 1).

Вычислим приближенную сумму и разность:

Сумма: $a + b \approx -5,78 + 2,54 = -3,24$.

Разность: $a - b \approx -5,78 - 2,54 = -8,32$.

Ответ: $a+b \approx -3,24$; $a-b \approx -8,32$.

г)

Даны числа $a = 0,5642$ и $b = -3,573$.

Округлим числа до сотых:

$a = 0,5642 \approx 0,56$ (так как третья цифра после запятой 4, а $4 < 5$, то разряд сотых не меняем).

$b = -3,573 \approx -3,57$ (так как третья цифра после запятой 3, а $3 < 5$, то разряд сотых не меняем).

Вычислим приближенную сумму и разность:

Сумма: $a + b \approx 0,56 + (-3,57) = 0,56 - 3,57 = -3,01$.

Разность: $a - b \approx 0,56 - (-3,57) = 0,56 + 3,57 = 4,13$.

Ответ: $a+b \approx -3,01$; $a-b \approx 4,13$.

д)

Даны числа $a = -12,454$ и $b = 10,111$.

Округлим числа до сотых:

$a = -12,454 \approx -12,45$ (так как третья цифра после запятой 4, а $4 < 5$, то разряд сотых не меняем).

$b = 10,111 \approx 10,11$ (так как третья цифра после запятой 1, а $1 < 5$, то разряд сотых не меняем).

Вычислим приближенную сумму и разность:

Сумма: $a + b \approx -12,45 + 10,11 = -2,34$.

Разность: $a - b \approx -12,45 - 10,11 = -22,56$.

Ответ: $a+b \approx -2,34$; $a-b \approx -22,56$.

е)

Даны числа $a = -9,5273$ и $b = -11,1928$.

Округлим числа до сотых:

$a = -9,5273 \approx -9,53$ (так как третья цифра после запятой 7, а $7 \ge 5$, то разряд сотых увеличиваем на 1).

$b = -11,1928 \approx -11,19$ (так как третья цифра после запятой 2, а $2 < 5$, то разряд сотых не меняем).

Вычислим приближенную сумму и разность:

Сумма: $a + b \approx -9,53 + (-11,19) = -9,53 - 11,19 = -20,72$.

Разность: $a - b \approx -9,53 - (-11,19) = -9,53 + 11,19 = 1,66$.

Ответ: $a+b \approx -20,72$; $a-b \approx 1,66$.

5.138. Округлив числа $a$ и $b$ с точностью до третьей значащей цифры, вычислите приближённо их произведение $a \cdot b$ и частное $a : b$:

а) $a = -2.435$, $b = 1.923$;

б) $a = 2.1456$, $b = 0.78788$;

в) $a = -2.131$, $b = -0.009293$;

г) $a = 0.03531$, $b = 357.693$.

а) $a = -2,435$, $b = 1,923$

Первым шагом округлим каждое число до трех значащих цифр. Значащие цифры числа — это все цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Для числа $a = -2,435$ первые три значащие цифры – это 2, 4, 3. Четвертая значащая цифра – 5. По правилу округления, если следующая за округляемой цифра равна 5 или больше, то округляемая цифра увеличивается на единицу. Таким образом, $a \approx -2,44$.

Для числа $b = 1,923$ первые три значащие цифры – это 1, 9, 2. Четвертая значащая цифра – 3. Так как она меньше 5, последняя сохраняемая цифра не меняется. Таким образом, $b \approx 1,92$.

Теперь вычислим приближенные произведение и частное, используя округленные значения. Результаты также представим с тремя значащими цифрами.

Приближенное произведение: $a \cdot b \approx -2,44 \cdot 1,92 = -4,6848 \approx -4,68$.

Приближенное частное: $a : b \approx -2,44 : 1,92 \approx -1,270833... \approx -1,27$.

Ответ: $a \cdot b \approx -4,68$; $a : b \approx -1,27$.

б) $a = 2,1456$, $b = 0,78788$

Округляем числа до трех значащих цифр:

$a = 2,1456 \approx 2,15$ (четвертая значащая цифра 5, поэтому 4 увеличивается до 5).

$b = 0,78788 \approx 0,788$ (значащие цифры 7, 8, 7; четвертая значащая 8, поэтому 7 увеличивается до 8).

Вычисляем произведение и частное:

$a \cdot b \approx 2,15 \cdot 0,788 = 1,6942 \approx 1,69$.

$a : b \approx 2,15 : 0,788 \approx 2,728426... \approx 2,73$.

Ответ: $a \cdot b \approx 1,69$; $a : b \approx 2,73$.

в) $a = -2,131$, $b = -0,009293$

Округляем числа до трех значащих цифр:

$a = -2,131 \approx -2,13$ (четвертая значащая цифра 1, третья остается без изменений).

$b = -0,009293 \approx -0,00929$ (четвертая значащая цифра 3, третья остается без изменений).

Вычисляем произведение и частное:

$a \cdot b \approx (-2,13) \cdot (-0,00929) = 0,0197877 \approx 0,0198$.

$a : b \approx (-2,13) : (-0,00929) \approx 229,27879... \approx 229$.

Ответ: $a \cdot b \approx 0,0198$; $a : b \approx 229$.

г) $a = 0,03531$, $b = 357,693$

Округляем числа до трех значащих цифр:

$a = 0,03531 \approx 0,0353$ (четвертая значащая цифра 1, третья остается без изменений).

$b = 357,693 \approx 358$ (четвертая значащая цифра 6, поэтому 7 увеличивается до 8).

Вычисляем произведение и частное:

$a \cdot b \approx 0,0353 \cdot 358 = 12,6374 \approx 12,6$.

$a : b \approx 0,0353 : 358 \approx 0,0000986033... \approx 0,0000986$.

Ответ: $a \cdot b \approx 12,6$; $a : b \approx 0,0000986$.

5.139. Округлив числа $a$ и $b$ с точностью до второй значащей цифры, вычислите приближённо их произведение $a \cdot b$ и частное $a : b$:

а) $a = 0,253, b = 0,75;$

б) $a = 3,5781, b = -0,00494;$

в) $a = -0,045, b = -0,593;$

г) $a = 382,231, b = 0,002434.$

Для решения задачи необходимо сначала округлить каждое из чисел $a$ и $b$ до второй значащей цифры, а затем выполнить вычисления с округленными значениями. Результаты умножения и деления также принято округлять до того количества значащих цифр, которое имеет множитель или делимое/делитель с наименьшим количеством значащих цифр (в данном случае — до двух).

Даны числа $a = 0,253$ и $b = 0,75$.

Округляем числа до второй значащей цифры:

$a = 0,253 \approx 0,25$ (третья цифра 3 < 5).

$b = 0,75$ (число уже представлено с двумя значащими цифрами).

Вычисляем приближенное произведение:

$a \cdot b \approx 0,25 \cdot 0,75 = 0,1875$. Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $0,19$.

Вычисляем приближенное частное:

$a : b \approx 0,25 : 0,75 = \frac{25}{75} = \frac{1}{3} \approx 0,333...$. Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $0,33$.

Ответ: $a \cdot b \approx 0,19$; $a : b \approx 0,33$.

Даны числа $a = 3,5781$ и $b = -0,00494$.

Округляем числа до второй значащей цифры:

$a = 3,5781 \approx 3,6$ (третья цифра 7 ≥ 5).

$b = -0,00494 \approx -0,0049$ (третья значащая цифра 4 < 5).

Вычисляем приближенное произведение:

$a \cdot b \approx 3,6 \cdot (-0,0049) = -0,01764$. Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $-0,018$.

Вычисляем приближенное частное:

$a : b \approx 3,6 : (-0,0049) \approx -734,693...$. Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $-730$.

Ответ: $a \cdot b \approx -0,018$; $a : b \approx -730$.

Даны числа $a = -0,045$ и $b = -0,593$.

Округляем числа до второй значащей цифры:

$a = -0,045$ (число уже представлено с двумя значащими цифрами).

$b = -0,593 \approx -0,59$ (третья цифра 3 < 5).

Вычисляем приближенное произведение:

$a \cdot b \approx (-0,045) \cdot (-0,59) = 0,02655$. Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $0,027$.

Вычисляем приближенное частное:

$a : b \approx (-0,045) : (-0,59) = \frac{45}{590} \approx 0,07627...$. Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $0,076$.

Ответ: $a \cdot b \approx 0,027$; $a : b \approx 0,076$.

Даны числа $a = 382,231$ и $b = 0,002434$.

Округляем числа до второй значащей цифры:

$a = 382,231 \approx 380$ (третья цифра 2 < 5).

$b = 0,002434 \approx 0,0024$ (третья значащая цифра 3 < 5).

Вычисляем приближенное произведение:

$a \cdot b \approx 380 \cdot 0,0024 = 0,912$. Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $0,91$.

Вычисляем приближенное частное:

$a : b \approx 380 : 0,0024 = 158333,3...$. Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $160000$.

Ответ: $a \cdot b \approx 0,91$; $a : b \approx 160000$.