Страница 219 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.160. За 3 года Вася стал старше на 25 %. Сколько теперь Васе лет?

Пусть $x$ — это возраст Васи 3 года назад. За 3 года его возраст увеличился на 3 года, и это увеличение, согласно условию, составляет 25% от его возраста $x$.

Представим 25% в виде десятичной дроби:
$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$

Теперь мы можем составить уравнение, чтобы найти возраст Васи 3 года назад. Увеличение возраста (3 года) равно $0.25$ от его тогдашнего возраста ($x$):
$0.25 \cdot x = 3$

Решим это уравнение относительно $x$:
$x = \frac{3}{0.25}$
$x = 12$

Итак, 3 года назад Васе было 12 лет.

Чтобы узнать, сколько Васе лет сейчас (теперь), нужно к его возрасту трехлетней давности прибавить 3 года:
$12 + 3 = 15$

Таким образом, сейчас Васе 15 лет.

Ответ: 15 лет.

5.161. a) Сейчас Ваня на 20 % старше, чем 2 года назад. Сколько теперь Ване лет?

б) Два года назад Маша была на 20 % моложе, чем сейчас. Сколько лет Маше сейчас?

а)

Обозначим текущий возраст Вани за $x$ лет. Тогда 2 года назад его возраст был $(x - 2)$ лет.
По условию задачи, его текущий возраст на 20% больше, чем возраст два года назад. Это означает, что текущий возраст составляет 120% от возраста двухлетней давности.
Переведём проценты в десятичную дробь: $120\% = 1,2$.
Составим и решим уравнение:
$x = 1,2 \cdot (x - 2)$
$x = 1,2x - 2,4$
$2,4 = 1,2x - x$
$0,2x = 2,4$
$x = \frac{2,4}{0,2}$
$x = 12$
Сейчас Ване 12 лет.
Проверка: 2 года назад Ване было $12 - 2 = 10$ лет. Увеличение на 20% от 10 лет составляет $10 \cdot 0,2 = 2$ года. $10 + 2 = 12$ лет. Всё верно.
Ответ: 12 лет.

б)

Обозначим текущий возраст Маши за $y$ лет. Тогда 2 года назад её возраст был $(y - 2)$ лет.
По условию задачи, два года назад Маша была на 20% моложе, чем сейчас. Это означает, что её возраст два года назад составлял $100\% - 20\% = 80\%$ от её текущего возраста.
Переведём проценты в десятичную дробь: $80\% = 0,8$.
Составим и решим уравнение:
$y - 2 = 0,8y$
$y - 0,8y = 2$
$0,2y = 2$
$y = \frac{2}{0,2}$
$y = 10$
Сейчас Маше 10 лет.
Проверка: Сейчас Маше 10 лет. 2 года назад ей было $10 - 2 = 8$ лет. 20% от её текущего возраста составляет $10 \cdot 0,2 = 2$ года. $10 - 2 = 8$ лет. Всё верно.
Ответ: 10 лет.

5.162. Вася планирует добраться из пункта A в пункт B. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15 км/ч, то доберётся до пункта B на 6 ч раньше, чем пешком. Если он поедет на автобусе со скоростью 60 км/ч, то доберётся до пункта B на 3 ч раньше, чем на велосипеде. Какова скорость Васи при движении пешком?

Для решения задачи обозначим искомое значение – скорость Васи при движении пешком – как $v_п$ (в км/ч). Пусть $S$ – расстояние от пункта А до пункта В (в км).

Введем обозначения для времени, которое Вася тратит на каждый способ передвижения:

• $t_п$ – время пешком, $t_п = S/v_п$
• $t_в$ – время на велосипеде, $t_в = S/15$
• $t_а$ – время на автобусе, $t_а = S/60$

Из условия задачи составим систему уравнений:

1. На велосипеде на 6 часов быстрее, чем пешком:
$t_в = t_п - 6 \implies S/15 = S/v_п - 6$

2. На автобусе на 3 часа быстрее, чем на велосипеде:
$t_а = t_в - 3 \implies S/60 = S/15 - 3$

Начнем с решения второго уравнения, так как в нем только одна неизвестная – расстояние $S$.

$S/60 = S/15 - 3$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 60:

$60 \cdot (S/60) = 60 \cdot (S/15) - 60 \cdot 3$

$S = 4S - 180$

$4S - S = 180$

$3S = 180$

$S = 180 / 3 = 60$ км.

Теперь мы знаем, что расстояние от А до В составляет 60 км. Найдем время, которое Вася тратит на поездку на велосипеде:

$t_в = S / 15 = 60 / 15 = 4$ часа.

Используем первое уравнение ($t_в = t_п - 6$) для нахождения времени в пути пешком $t_п$:

$4 = t_п - 6$

$t_п = 4 + 6 = 10$ часов.

Зная расстояние ($S = 60$ км) и время движения пешком ($t_п = 10$ часов), можем найти скорость Васи пешком:

$v_п = S / t_п = 60 / 10 = 6$ км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

5.163. Смешали два сорта чая. Первый сорт стоит 200 р. за килограмм, а второй сорт — 150 р. за килограмм. Килограмм смеси стоит 180 р. Сколько граммов чая первого сорта содержится в килограмме смеси?

Пусть масса чая первого сорта в 1 кг смеси составляет $x$ кг. Тогда масса чая второго сорта в этой смеси будет $(1 - x)$ кг.

Стоимость $x$ кг чая первого сорта составляет $200 \cdot x$ рублей.

Стоимость $(1 - x)$ кг чая второго сорта составляет $150 \cdot (1 - x)$ рублей.

По условию, стоимость 1 кг смеси составляет 180 рублей. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму стоимостей компонентов к стоимости всей смеси:

$200x + 150(1 - x) = 180$

Теперь решим это уравнение:

$200x + 150 - 150x = 180$

$200x - 150x = 180 - 150$

$50x = 30$

$x = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6$

Итак, масса чая первого сорта в смеси равна 0.6 кг.

Вопрос требует указать ответ в граммах. Поскольку в 1 килограмме 1000 граммов, переведем полученное значение в граммы:

$0.6 \text{ кг} = 0.6 \cdot 1000 \text{ г} = 600 \text{ г}$

Ответ: 600 г.