Страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.17. Как можно записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Приведите примеры.

Записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби можно двумя способами.

Первый способ (с периодом 0)

К записи числа (после десятичной запятой для натурального числа) дописывается бесконечное количество нулей. В этом случае периодом дроби будет цифра 0.

Примеры:

• Натуральное число 42 можно представить как $42,000...$ или, в краткой записи, $42,(0)$.
• Конечную десятичную дробь 5,67 можно представить как $5,67000...$ или $5,67(0)$.

Второй способ (с периодом 9)

Нужно уменьшить последнюю значащую (не равную нулю) цифру числа на единицу, а после нее дописать бесконечное количество девяток. В этом случае периодом дроби будет цифра 9.

Примеры:

• Натуральное число 42 можно представить как $41,999...$ или $41,(9)$.
• Конечную десятичную дробь 5,67 можно представить как $5,66999...$ или $5,66(9)$.
• Конечную десятичную дробь 1,8 можно представить как $1,7999...$ или $1,7(9)$.

Ответ: Чтобы записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной периодической дроби, можно к его записи справа дописать бесконечное число нулей (период 0), либо уменьшить его последнюю значащую цифру на 1 и дописать справа бесконечное число девяток (период 9). Например, число 13 можно записать как $13,(0)$ или как $12,(9)$; дробь 0,25 можно записать как $0,25(0)$ или как $0,24(9)$.

6.18. Запишите число в виде периодической дроби, назовите её период:

а) $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{2}{9} $;

в) $ \frac{12}{5} $;

г) $ 12 $;

д) $ \frac{24}{30} $;

е) $ \frac{36}{48} $;

ж) $ \frac{4}{7} $;

з) $ \frac{45}{63} $;

и) $ \frac{1}{6} $;

к) $ \frac{2}{6} $;

л) $ \frac{3}{6} $;

м) $ \frac{4}{6} $;

н) $ \frac{20}{41} $;

о) $ \frac{15}{37} $;

п) $ \frac{5}{21} $.

а) Чтобы записать обыкновенную дробь $ \frac{1}{3} $ в виде периодической десятичной дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель.
$ 1 \div 3 = 0.333... $
В результате деления получаем бесконечную десятичную дробь, в которой после запятой повторяется цифра 3. Эта повторяющаяся цифра называется периодом. Периодическая дробь записывается с использованием скобок: $ 0,(3) $.
Ответ: $ 0,(3) $, период – 3.

б) Разделим числитель 2 на знаменатель 9:
$ 2 \div 9 = 0.222... $
В этой дроби повторяется цифра 2.
Ответ: $ 0,(2) $, период – 2.

в) Разделим числитель 12 на знаменатель 5:
$ 12 \div 5 = 2.4 $
В результате получилась конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической, если в качестве периода указать 0.
$ 2.4 = 2.4000... = 2.4(0) $.
Ответ: $ 2.4(0) $, период – 0.

г) Целое число 12 можно записать в виде десятичной дроби как 12.0. Чтобы представить это число в виде периодической дроби, нужно дописать 0 в периоде.
$ 12 = 12.000... = 12,(0) $.
Ответ: $ 12,(0) $, период – 0.

д) Сначала сократим дробь $ \frac{24}{30} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:
$ \frac{24}{30} = \frac{24 \div 6}{30 \div 6} = \frac{4}{5} $.
Теперь разделим 4 на 5:
$ 4 \div 5 = 0.8 $.
Это конечная десятичная дробь, которую можно записать с периодом 0.
$ 0.8 = 0.8(0) $.
Ответ: $ 0.8(0) $, период – 0.

е) Сократим дробь $ \frac{36}{48} $, разделив числитель и знаменатель на 12:
$ \frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4} $.
Разделим 3 на 4:
$ 3 \div 4 = 0.75 $.
Запишем конечную десятичную дробь в виде периодической с периодом 0.
$ 0.75 = 0.75(0) $.
Ответ: $ 0.75(0) $, период – 0.

ж) Разделим 4 на 7:
$ 4 \div 7 = 0.571428571428... $
При делении мы видим, что группа цифр "571428" начинает повторяться. Эта группа является периодом.
Ответ: $ 0,(571428) $, период – 571428.

з) Сократим дробь $ \frac{45}{63} $, разделив числитель и знаменатель на 9:
$ \frac{45}{63} = \frac{45 \div 9}{63 \div 9} = \frac{5}{7} $.
Разделим 5 на 7:
$ 5 \div 7 = 0.714285714285... $
Периодически повторяется группа цифр "714285".
Ответ: $ 0,(714285) $, период – 714285.

и) Разделим 1 на 6:
$ 1 \div 6 = 0.1666... $
В этой дроби цифра 1 после запятой не повторяется, а цифра 6 повторяется. Такие дроби называются смешанными периодическими. Периодом является только повторяющаяся часть.
$ \frac{1}{6} = 0.1(6) $.
Ответ: $ 0.1(6) $, период – 6.

к) Сократим дробь $ \frac{2}{6} $:
$ \frac{2}{6} = \frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3} $.
Результат такой же, как в пункте а).
$ \frac{1}{3} = 0.(3) $.
Ответ: $ 0,(3) $, период – 3.

л) Сократим дробь $ \frac{3}{6} $:
$ \frac{3}{6} = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} $.
Разделим 1 на 2:
$ 1 \div 2 = 0.5 $.
Запишем в виде периодической дроби: $ 0.5(0) $.
Ответ: $ 0.5(0) $, период – 0.

м) Сократим дробь $ \frac{4}{6} $:
$ \frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} $.
Разделим 2 на 3:
$ 2 \div 3 = 0.666... = 0.(6) $.
Ответ: $ 0,(6) $, период – 6.

н) Разделим 20 на 41:
$ 20 \div 41 = 0.4878048780... $
В результате деления получаем повторяющуюся группу цифр "48780".
Ответ: $ 0,(48780) $, период – 48780.

о) Разделим 15 на 37:
$ 15 \div 37 = 0.405405... $
Период этой дроби равен "405".
Ответ: $ 0,(405) $, период – 405.

п) Разделим 5 на 21:
$ 5 \div 21 = 0.238095238095... $
Период этой дроби равен "238095".
Ответ: $ 0,(238095) $, период – 238095.

6.19. Разложите обыкновенную дробь в периодическую делением числителя на знаменатель уголком:

a) $ \frac{1}{9} $;

б) $ \frac{2}{9} $;

в) $ \frac{3}{9} $;

г) $ \frac{4}{9} $.

а) Чтобы разложить дробь $\frac{1}{9}$ в периодическую, разделим числитель 1 на знаменатель 9 уголком.
Поскольку 1 меньше 9, целая часть частного равна 0. Ставим запятую после нуля.
$1 \div 9 = 0,...$
Приписываем к 1 ноль, получаем 10. Делим 10 на 9, получаем 1 и в остатке 1.
$10 \div 9 = 1$ (остаток 1)
Записываем 1 после запятой: $0.1...$
К остатку 1 снова приписываем ноль, получаем 10. Делим 10 на 9, снова получаем 1 и в остатке 1.
Процесс деления будет повторяться бесконечно, и в частном мы будем получать цифру 1. Это означает, что 1 является периодом дроби.
$\frac{1}{9} = 0.111... = 0.(1)$
Ответ: $0.(1)$

б) Чтобы разложить дробь $\frac{2}{9}$ в периодическую, разделим числитель 2 на знаменатель 9 уголком.
Поскольку 2 меньше 9, целая часть частного равна 0. Ставим запятую после нуля.
$2 \div 9 = 0,...$
Приписываем к 2 ноль, получаем 20. Делим 20 на 9, получаем 2 и в остатке 2.
$20 \div 9 = 2$ (остаток 2)
Записываем 2 после запятой: $0.2...$
К остатку 2 снова приписываем ноль, получаем 20. Делим 20 на 9, снова получаем 2 и в остатке 2.
Процесс деления будет повторяться бесконечно, и в частном мы будем получать цифру 2. Это означает, что 2 является периодом дроби.
$\frac{2}{9} = 0.222... = 0.(2)$
Ответ: $0.(2)$

в) Чтобы разложить дробь $\frac{3}{9}$ в периодическую, разделим числитель 3 на знаменатель 9 уголком.
Эту дробь можно предварительно сократить: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Теперь разделим 1 на 3.
Поскольку 1 меньше 3, целая часть частного равна 0. Ставим запятую после нуля.
$1 \div 3 = 0,...$
Приписываем к 1 ноль, получаем 10. Делим 10 на 3, получаем 3 и в остатке 1.
$10 \div 3 = 3$ (остаток 1)
Записываем 3 после запятой: $0.3...$
К остатку 1 снова приписываем ноль, получаем 10. Делим 10 на 3, снова получаем 3 и в остатке 1.
Процесс деления будет повторяться бесконечно, и в частном мы будем получать цифру 3. Это означает, что 3 является периодом дроби.
$\frac{3}{9} = 0.333... = 0.(3)$
Ответ: $0.(3)$

г) Чтобы разложить дробь $\frac{4}{9}$ в периодическую, разделим числитель 4 на знаменатель 9 уголком.
Поскольку 4 меньше 9, целая часть частного равна 0. Ставим запятую после нуля.
$4 \div 9 = 0,...$
Приписываем к 4 ноль, получаем 40. Делим 40 на 9, получаем 4 и в остатке 4.
$40 \div 9 = 4$ (остаток 4)
Записываем 4 после запятой: $0.4...$
К остатку 4 снова приписываем ноль, получаем 40. Делим 40 на 9, снова получаем 4 и в остатке 4.
Процесс деления будет повторяться бесконечно, и в частном мы будем получать цифру 4. Это означает, что 4 является периодом дроби.
$\frac{4}{9} = 0.444... = 0.(4)$
Ответ: $0.(4)$

Распознать обыкновенную дробь в периодическую, то

6.20. a) $ \frac{5}{9} $;

б) $ \frac{6}{9} $;

в) $ \frac{7}{9} $;

г) $ \frac{8}{9} $.

а)

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $\frac{5}{9}$ в периодическую десятичную, необходимо разделить ее числитель на знаменатель.

Выполним деление числа 5 на 9:

$5 \div 9 = 0,555...$

В результате деления мы видим, что цифра 5 после запятой бесконечно повторяется. Такая дробь называется чистой периодической, а повторяющаяся цифра (в данном случае 5) является ее периодом. Период записывается в скобках.

$\frac{5}{9} = 0,(5)$

Ответ: $0,(5)$

б)

Для преобразования дроби $\frac{6}{9}$ в периодическую, разделим 6 на 9. Дробь можно предварительно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$

Теперь выполним деление 2 на 3:

$2 \div 3 = 0,666...$

Здесь бесконечно повторяется цифра 6, которая является периодом дроби.

$\frac{6}{9} = 0,(6)$

Ответ: $0,(6)$

в)

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $\frac{7}{9}$ в периодическую, разделим числитель 7 на знаменатель 9.

Выполним деление:

$7 \div 9 = 0,777...$

В результате мы получаем бесконечную десятичную дробь с повторяющейся цифрой 7. Это период дроби.

$\frac{7}{9} = 0,(7)$

Ответ: $0,(7)$

г)

Для преобразования дроби $\frac{8}{9}$ в периодическую десятичную, разделим ее числитель 8 на знаменатель 9.

Выполним деление:

$8 \div 9 = 0,888...$

В десятичной записи этого числа бесконечно повторяется цифра 8. Запишем дробь в периодической форме.

$\frac{8}{9} = 0,(8)$

Ответ: $0,(8)$

6.21. а) $\frac{12}{99}$;

б) $\frac{23}{99}$;

в) $\frac{34}{99}$;

г) $\frac{45}{99}$;

д) $\frac{5}{99}$;

е) $\frac{20}{99}$;

ж) $\frac{25}{99}$;

з) $\frac{38}{99}$.

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь со знаменателем 99 в периодическую десятичную дробь, необходимо числитель этой дроби сделать периодом десятичной дроби. Если числитель является однозначным числом, то для формирования периода, состоящего из двух цифр, перед ним ставится ноль. Это правило следует из того, что периодическая дробь $0,(ab)$ равна $\frac{ab}{99}$.

а) Для дроби $\frac{12}{99}$ числитель равен 12. Это двузначное число, которое и будет являться периодом.

$\frac{12}{99} = 0,1212... = 0,(12)$

Ответ: $0,(12)$

б) Для дроби $\frac{23}{99}$ числитель равен 23. Период дроби будет 23.

$\frac{23}{99} = 0,2323... = 0,(23)$

Ответ: $0,(23)$

в) Для дроби $\frac{34}{99}$ числитель равен 34. Период дроби будет 34.

$\frac{34}{99} = 0,3434... = 0,(34)$

Ответ: $0,(34)$

г) Для дроби $\frac{45}{99}$ числитель равен 45. Период дроби будет 45.

$\frac{45}{99} = 0,4545... = 0,(45)$

Ответ: $0,(45)$

д) Для дроби $\frac{5}{99}$ числитель равен 5. Так как это однозначное число, период будет состоять из двух цифр — 05.

$\frac{5}{99} = 0,0505... = 0,(05)$

Ответ: $0,(05)$

е) Для дроби $\frac{20}{99}$ числитель равен 20. Период дроби будет 20.

$\frac{20}{99} = 0,2020... = 0,(20)$

Ответ: $0,(20)$

ж) Для дроби $\frac{25}{99}$ числитель равен 25. Период дроби будет 25.

$\frac{25}{99} = 0,2525... = 0,(25)$

Ответ: $0,(25)$

з) Для дроби $\frac{38}{99}$ числитель равен 38. Период дроби будет 38.

$\frac{38}{99} = 0,3838... = 0,(38)$

Ответ: $0,(38)$

6.22. a) $\frac{56}{99}$;

б) $\frac{67}{99}$;

в) $\frac{78}{99}$;

г) $\frac{89}{99}$;

д) $\frac{158}{999}$;

е) $\frac{580}{999}$;

ж) $\frac{58}{999}$;

з) $\frac{8}{999}$.

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{56}{99}$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, используется следующее правило: если знаменатель дроби состоит из нескольких девяток, то числитель образует период этой дроби. Количество цифр в периоде равно количеству девяток в знаменателе. В данном случае знаменатель 99 состоит из двух девяток, поэтому период будет состоять из двух цифр числителя — 56.
Таким образом, $\frac{56}{99} = 0.565656... = 0.(56)$.
Ответ: $0.(56)$

б) В дроби $\frac{67}{99}$ знаменатель также равен 99, поэтому период десятичной дроби будет состоять из двух цифр числителя — 67.
$\frac{67}{99} = 0.676767... = 0.(67)$.
Ответ: $0.(67)$

в) Для дроби $\frac{78}{99}$ знаменатель равен 99, следовательно, период будет состоять из двух цифр числителя — 78.
$\frac{78}{99} = 0.787878... = 0.(78)$.
Ответ: $0.(78)$

г) Для дроби $\frac{89}{99}$ знаменатель равен 99, следовательно, период будет состоять из двух цифр числителя — 89.
$\frac{89}{99} = 0.898989... = 0.(89)$.
Ответ: $0.(89)$

д) В дроби $\frac{158}{999}$ знаменатель 999 состоит из трех девяток. Это означает, что период десятичной дроби будет состоять из трех цифр числителя — 158.
$\frac{158}{999} = 0.158158158... = 0.(158)$.
Ответ: $0.(158)$

е) Для дроби $\frac{580}{999}$ знаменатель равен 999, поэтому период будет состоять из трех цифр числителя — 580.
$\frac{580}{999} = 0.580580580... = 0.(580)$.
Ответ: $0.(580)$

ж) В дроби $\frac{58}{999}$ знаменатель состоит из трех девяток, значит, в периоде должно быть три цифры. Поскольку числитель 58 является двузначным числом, его необходимо дополнить нулем слева, чтобы получить три знака: 058.
Таким образом, $\frac{58}{999} = 0.058058058... = 0.(058)$.
Ответ: $0.(058)$

з) В дроби $\frac{8}{999}$ знаменатель также состоит из трех девяток, поэтому в периоде должно быть три цифры. Числитель 8 является однозначным числом, поэтому его необходимо дополнить двумя нулями слева, чтобы получить три знака: 008.
Таким образом, $\frac{8}{999} = 0.008008008... = 0.(008)$.
Ответ: $0.(008)$

6.23. Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной:

а) $0,(1);$

б) $0,(3);$

в) $0,(5);$

г) $0,(7);$

д) $0,(25);$

е) $0,(37);$

ж) $0,(10);$

з) $0,(05).$

Для преобразования чистой периодической дроби в обыкновенную, нужно в числитель поставить число в периоде, а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. Продемонстрируем это на примерах.

а) Пусть $x = 0,(1) = 0.111...$ В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части уравнения на 10: $10x = 1.111...$ Теперь вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 1.111... - 0.111...$ $9x = 1$ $x = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Пусть $x = 0,(3) = 0.333...$ В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10: $10x = 3.333...$ Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3.333... - 0.333...$ $9x = 3$ $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Пусть $x = 0,(5) = 0.555...$ В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10: $10x = 5.555...$ Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 5.555... - 0.555...$ $9x = 5$ $x = \frac{5}{9}$
Ответ: $\frac{5}{9}$

г) Пусть $x = 0,(7) = 0.777...$ В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10: $10x = 7.777...$ Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 7.777... - 0.777...$ $9x = 7$ $x = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

д) Пусть $x = 0,(25) = 0.252525...$ В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100: $100x = 25.252525...$ Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 25.252525... - 0.252525...$ $99x = 25$ $x = \frac{25}{99}$
Ответ: $\frac{25}{99}$

е) Пусть $x = 0,(37) = 0.373737...$ В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100: $100x = 37.373737...$ Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 37.373737... - 0.373737...$ $99x = 37$ $x = \frac{37}{99}$
Ответ: $\frac{37}{99}$

ж) Пусть $x = 0,(10) = 0.101010...$ В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100: $100x = 10.101010...$ Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 10.101010... - 0.101010...$ $99x = 10$ $x = \frac{10}{99}$
Ответ: $\frac{10}{99}$

з) Пусть $x = 0,(05) = 0.050505...$ В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100: $100x = 5.050505...$ Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 5.050505... - 0.050505...$ $99x = 5$ $x = \frac{5}{99}$
Ответ: $\frac{5}{99}$

ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ

6.24. a) Запишите три любые обыкновенные дроби со знаменателем 999 в виде периодических десятичных дробей.

б) Запишите три любые периодические десятичные дроби с периодом, состоящим из трёх цифр, в виде обыкновенных дробей.

а)

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь со знаменателем 999 в периодическую десятичную, необходимо числитель дроби записать в виде трехзначного числа (добавив при необходимости нули слева) и поместить его в период после запятой. Это правило следует из того, что знаменатель состоит из трех девяток, что определяет длину периода равной трем.

Рассмотрим три примера:

1. Возьмем дробь $\frac{123}{999}$. Числитель 123 уже является трехзначным числом. Следовательно, десятичная дробь будет $0.(123)$.

2. Возьмем дробь $\frac{45}{999}$. Числитель 45 — двузначное число. Дополним его нулем слева до трехзначного: 045. Следовательно, десятичная дробь будет $0.(045)$.

3. Возьмем дробь $\frac{7}{999}$. Числитель 7 — однозначное число. Дополним его двумя нулями слева: 007. Следовательно, десятичная дробь будет $0.(007)$.

Ответ: Например, $\frac{123}{999} = 0.(123)$; $\frac{45}{999} = 0.(045)$; $\frac{7}{999} = 0.(007)$.

б)

Чтобы преобразовать чистую периодическую десятичную дробь с периодом из трех цифр в обыкновенную, нужно число, составляющее период, записать в числитель, а в знаменатель записать число 999. После этого, если возможно, следует сократить полученную дробь.

Рассмотрим три примера:

1. Возьмем периодическую дробь $0.(257)$. Период — 257. Записываем в виде обыкновенной дроби: $0.(257) = \frac{257}{999}$. Эта дробь несократима, так как 257 является простым числом.

2. Возьмем периодическую дробь $0.(015)$. Период — 015, то есть 15. Записываем дробь и сокращаем ее: $0.(015) = \frac{15}{999}$. И числитель, и знаменатель делятся на 3.
$\frac{15 \div 3}{999 \div 3} = \frac{5}{333}$.

3. Возьмем периодическую дробь $0.(540)$. Период — 540. Записываем дробь и сокращаем ее: $0.(540) = \frac{540}{999}$. Сумма цифр и числителя ($5+4+0=9$), и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 9, значит, дробь сократима на 9.
$\frac{540 \div 9}{999 \div 9} = \frac{60}{111}$.
Теперь числитель и знаменатель можно сократить на 3.
$\frac{60 \div 3}{111 \div 3} = \frac{20}{37}$.

Ответ: Например, $0.(257) = \frac{257}{999}$; $0.(015) = \frac{5}{333}$; $0.(540) = \frac{20}{37}$.