Номер 6.23, страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.2. Бесконечные периодические десятичные дроби - номер 6.23, страница 226.

Условие.

6.23. Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной:

а) $0,(1);$

б) $0,(3);$

в) $0,(5);$

г) $0,(7);$

д) $0,(25);$

е) $0,(37);$

ж) $0,(10);$

з) $0,(05).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для преобразования чистой периодической дроби в обыкновенную, нужно в числитель поставить число в периоде, а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. Продемонстрируем это на примерах.

а) Пусть $x = 0,(1) = 0.111...$ В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части уравнения на 10: $10x = 1.111...$ Теперь вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 1.111... - 0.111...$ $9x = 1$ $x = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Пусть $x = 0,(3) = 0.333...$ В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10: $10x = 3.333...$ Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3.333... - 0.333...$ $9x = 3$ $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Пусть $x = 0,(5) = 0.555...$ В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10: $10x = 5.555...$ Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 5.555... - 0.555...$ $9x = 5$ $x = \frac{5}{9}$
Ответ: $\frac{5}{9}$

г) Пусть $x = 0,(7) = 0.777...$ В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10: $10x = 7.777...$ Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 7.777... - 0.777...$ $9x = 7$ $x = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

д) Пусть $x = 0,(25) = 0.252525...$ В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100: $100x = 25.252525...$ Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 25.252525... - 0.252525...$ $99x = 25$ $x = \frac{25}{99}$
Ответ: $\frac{25}{99}$

е) Пусть $x = 0,(37) = 0.373737...$ В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100: $100x = 37.373737...$ Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 37.373737... - 0.373737...$ $99x = 37$ $x = \frac{37}{99}$
Ответ: $\frac{37}{99}$

ж) Пусть $x = 0,(10) = 0.101010...$ В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100: $100x = 10.101010...$ Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 10.101010... - 0.101010...$ $99x = 10$ $x = \frac{10}{99}$
Ответ: $\frac{10}{99}$

з) Пусть $x = 0,(05) = 0.050505...$ В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100: $100x = 5.050505...$ Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 5.050505... - 0.050505...$ $99x = 5$ $x = \frac{5}{99}$
Ответ: $\frac{5}{99}$