Номер 6.26, страница 230 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.26, страница 230.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

6.26. Докажите, что если при делении натурального числа $p$ на натуральное число $q$ ($q > 1$) получается бесконечная периодическая дробь, то её период состоит не более чем из $(q - 1)$ цифр.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим алгоритм деления натурального числа $p$ на натуральное число $q$ ($q > 1$) "в столбик". Процесс получения цифр дробной части основан на последовательном вычислении остатков.

На каждом шаге алгоритма для нахождения очередной цифры дробной части мы умножаем предыдущий остаток на 10 и делим результат на $q$. Пусть $r_{n-1}$ — остаток на предыдущем шаге. Тогда следующая цифра $d_n$ и новый остаток $r_n$ находятся из соотношения: $10 \cdot r_{n-1} = d_n \cdot q + r_n$, где $0 \le r_n < q$.

По условию, дробь $p/q$ является бесконечной периодической. Это означает, что в процессе деления мы никогда не получим остаток, равный нулю. Если бы на каком-то шаге остаток стал равен 0, деление бы закончилось, и дробь была бы конечной.

Следовательно, все остатки $r_1, r_2, r_3, \dots$, получаемые при вычислении дробной части, являются натуральными числами. Поскольку остаток от деления на $q$ всегда строго меньше $q$, то каждый остаток может принимать только одно из значений из множества $\{1, 2, 3, \dots, q-1\}$.

Таким образом, существует всего $q-1$ возможных различных значений для ненулевых остатков. Рассмотрим последовательность первых $q$ остатков: $r_1, r_2, \dots, r_q$. В этой последовательности $q$ членов, но возможных значений для них всего $q-1$. Согласно принципу Дирихле, в этой последовательности по крайней мере два остатка должны совпасть. То есть найдутся такие индексы $j$ и $k$, что $1 \le j < k \le q$ и $r_j = r_k$.

Как только остаток повторяется, например $r_j = r_k$, то и все последующие вычисления для нахождения цифр и остатков будут циклически повторяться. Из $r_j = r_k$ следует, что $d_{j+1} = d_{k+1}$ и $r_{j+1} = r_{k+1}$, и так далее. Последовательность цифр $d_{j+1}, d_{j+2}, \dots, d_k$ образует период дроби. Длина этого периода равна $k-j$.

Поскольку $1 \le j < k \le q$, то максимальная длина периода $k-j$ не может превышать $q-1$ (например, при $k=q$ и $j=1$). Таким образом, доказано, что период дроби состоит не более чем из $q-1$ цифры.

Ответ: Утверждение доказано. Длина периода не превышает $q-1$, так как существует всего $q-1$ возможных ненулевых остатков при делении на $q$. По принципу Дирихле, один из остатков должен повториться не позднее чем через $q$ шагов вычисления дробной части, что и порождает периодичность.