Номер 6.30, страница 230 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби - номер 6.30, страница 230.

Условие.

6.30. Покажите, что периодическая дробь с периодом 9 равна конечной десятичной дроби:

а) $0,3(9) = 0,4$;

б) $1,2(9) = 1,3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать, что $0,3(9) = 0,4$, мы преобразуем периодическую дробь $0,3(9)$ в обыкновенную дробь.

Пусть $x = 0,3(9)$. Это означает, что $x = 0,3999...$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую вправо на один знак (за непериодическую часть):

$10x = 3,999...$

Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую вправо на два знака (за непериодическую часть и первый знак периода):

$100x = 39,999...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:

$100x - 10x = 39,999... - 3,999...$

$90x = 36$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{36}{90}$

Сократим полученную дробь:

$x = \frac{36 \div 18}{90 \div 18} = \frac{2}{5}$

Или, что то же самое, приведем к знаменателю 10:

$x = \frac{36 \div 9}{90 \div 9} = \frac{4}{10} = 0,4$

Таким образом, мы показали, что $0,3(9) = 0,4$.

Ответ: $0,3(9) = 0,4$

б)

Аналогично докажем, что $1,2(9) = 1,3$. Преобразуем периодическую дробь $1,2(9)$ в обыкновенную.

Пусть $x = 1,2(9)$. Это означает, что $x = 1,2999...$

Умножим обе части уравнения на 10:

$10x = 12,999...$

Умножим исходное уравнение на 100:

$100x = 129,999...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$100x - 10x = 129,999... - 12,999...$

$90x = 117$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{117}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:

$x = \frac{117 \div 9}{90 \div 9} = \frac{13}{10} = 1,3$

Таким образом, мы показали, что $1,2(9) = 1,3$.

Ответ: $1,2(9) = 1,3$