Номер 6.27, страница 230 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.27, страница 230.

Условие.

6.27. а) Сколько цифр может быть в периоде десятичного разложения обыкновенной несократимой дроби со знаменателем 7?

б) В каком случае разложение обыкновенной дроби в десятичную является: конечным; бесконечным?

в) Почему десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ периодическое?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) При переводе обыкновенной несократимой дроби $\frac{p}{q}$ в десятичную путем деления числителя на знаменатель "в столбик", мы на каждом шаге получаем некоторый остаток. При делении на 7 возможные ненулевые остатки — это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего их 6. Как только какой-либо остаток повторится, последовательность цифр в частном начнет повторяться, образуя период. Поскольку существует не более $7-1=6$ различных ненулевых остатков, длина периода не может превышать 6.
Для дробей со знаменателем 7 длина периода как раз и составляет 6 цифр. Например, для дроби $\frac{1}{7}$:
$\frac{1}{7} = 0,142857142857... = 0,(142857)$
Период состоит из 6 цифр. Для других несократимых дробей со знаменателем 7 (например, $\frac{2}{7}$, $\frac{3}{7}$ и т.д.) период будет состоять из тех же цифр, но в другой последовательности, и его длина также будет равна 6.
Ответ: 6 цифр.

б) Разложение обыкновенной несократимой дроби в десятичную является:
- конечным, если в разложении ее знаменателя на простые множители нет других чисел, кроме 2 и 5. То есть знаменатель имеет вид $q = 2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа.
- бесконечным (периодическим), если в разложении ее знаменателя на простые множители есть хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.).
Ответ: Разложение конечно, если знаменатель несократимой дроби содержит только простые множители 2 и 5. Разложение бесконечно, если знаменатель содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

в) Десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ является периодическим, потому что эта дробь несократима, и ее знаменатель (число 7) содержит простой множитель (само число 7), который отличен от 2 и 5. Согласно правилу, изложенному в пункте б), такая дробь представляется в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Также это можно объяснить процессом деления. При делении 3 на 7 в столбик получаемые остатки могут быть только из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Так как количество возможных остатков конечно, на каком-то шаге один из них обязательно повторится. С этого момента начнется повторение цифр в частном.
Процесс деления $3 \div 7$:
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2) - остаток 2 повторился, начался новый цикл.
Таким образом, $\frac{3}{7} = 0,428571428571... = 0,(428571)$.
Ответ: Потому что знаменатель дроби, равный 7, содержит простой множитель, отличный от 2 и 5.