Номер 6.34, страница 231 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.4. Непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.34, страница 231.

Условие.

6.34. Существует ли рациональное число, равное бесконечной непериодической дроби?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Нет, такого рационального числа не существует. Разберемся, почему.

1. Определение рационального числа. Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

2. Десятичное представление рациональных чисел. При делении числителя $m$ на знаменатель $n$ (чтобы получить десятичную дробь), остатки от деления могут принимать лишь конечное число значений (от 0 до $n-1$).

• Если на каком-то шаге деления остаток становится равен нулю, то деление заканчивается, и мы получаем конечную десятичную дробь. Например, $\frac{3}{4} = 0.75$.
• Если остаток никогда не становится нулем, то через некоторое количество шагов (не более $n-1$) остатки начнут повторяться. Это приведет к повторению последовательности цифр в частном. В этом случае мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь. Например, $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$ или $\frac{1}{7} = 0.142857142857... = 0.(142857)$.

Таким образом, любое рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

3. Определение иррационального числа. Бесконечная непериодическая дробь — это по определению иррациональное число. Примеры иррациональных чисел: $\pi \approx 3.14159265...$, $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$

Вывод: Множества рациональных и иррациональных чисел не пересекаются. Рациональное число не может быть равно бесконечной непериодической дроби, так как это противоречит самому определению рационального числа.

Ответ: нет, не существует.