Страница 231 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.31. Какое число называют:

а) рациональным;

б) иррациональным;

в) действительным?

а) рациональным;

Рациональным числом (от лат. ratio — отношение, деление, дробь) называют число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где числитель $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$.

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, число $7$ является рациональным, так как его можно представить как дробь $\frac{7}{1}$. Число $-0,5$ также рационально, так как $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Число $0,(3) = 0,333...$ рационально, так как оно равно $\frac{1}{3}$.

Ответ: число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число, а $n$ – натуральное число.

б) иррациональным;

Иррациональным числом называют число, которое не является рациональным, то есть его нельзя представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $m \in \mathbb{Z}$ и $n \in \mathbb{N}$.

Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью. Примерами иррациональных чисел служат корень из двух $\sqrt{2} \approx 1,41421...$, число Пи $\pi \approx 3,14159...$, число Эйлера $e \approx 2,71828...$.

Ответ: число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число, а $n$ – натуральное число. В виде десятичной дроби оно представляется как бесконечная непериодическая дробь.

в) действительным?

Действительным (или вещественным) числом называют любое число, которое является либо рациональным, либо иррациональным. Таким образом, множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) представляет собой объединение множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множества иррациональных чисел.

Действительные числа — это все числа, которые можно отметить на числовой прямой. Они включают в себя все целые, дробные, положительные, отрицательные числа и ноль.

Ответ: любое рациональное или иррациональное число.

6.32. Любое ли иррациональное число является действительным?

Да, любое иррациональное число является действительным. Для полного понимания этого утверждения необходимо рассмотреть определения числовых множеств.

Действительные (или вещественные) числа — это все числа, которые можно отметить на числовой прямой. Множество действительных чисел, обозначаемое символом $\mathbb{R}$, состоит из двух больших групп чисел: рациональных и иррациональных.

• Рациональные числа ($\mathbb{Q}$) — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Их десятичное представление является либо конечным, либо бесконечным периодическим. Примеры: $7$, $-\frac{3}{4}$, $0.5$, $0.(3)$.

• Иррациональные числа ($\mathbb{I}$) — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$ (число пи), $e$ (число Эйлера).

Таким образом, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является объединением множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и множества иррациональных чисел $\mathbb{I}$. Это можно записать как $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$. Из этого определения следует, что иррациональные числа являются неотъемлемой частью действительных чисел. Любое иррациональное число по определению входит в множество действительных чисел.

Ответ: Да, любое иррациональное число является действительным.

ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ

6.33. Придумайте какие-нибудь пять бесконечных непериодических дробей (иррациональных чисел).

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Десятичное представление иррационального числа является бесконечным и непериодическим. Ниже приведены пять примеров таких чисел.

1. Квадратный корень из двух. Это число, обозначаемое как $\sqrt{2}$, которое при умножении само на себя дает 2. Доказано, что оно является иррациональным, так как его десятичное представление бесконечно и не содержит повторяющегося блока цифр (периода). Его приблизительное значение: $1,41421356...$
Ответ: $\sqrt{2}$

2. Число $\pi$ (пи). Это фундаментальная математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. Число $\pi$ является трансцендентным, а значит, и иррациональным. Его десятичное представление начинается как $3,14159265...$ и продолжается бесконечно без какой-либо периодичности.
Ответ: $\pi$

3. Число Эйлера $e$. Это основание натурального логарифма, еще одна важнейшая математическая константа, которая широко применяется в математическом анализе. Как и $\pi$, число $e$ является трансцендентным и иррациональным. Его значение приблизительно равно $2,71828182...$
Ответ: $e$

4. Золотое сечение $\phi$ (фи). Это иррациональное число, равное $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Оно часто встречается в природе, искусстве и геометрии. Его десятичное представление также является бесконечным и непериодическим: $1,61803398...$
Ответ: $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

5. Искусственно сконструированная дробь. Можно составить бесконечную непериодическую дробь, следуя правилу, которое исключает повторение. Например, число, у которого после запятой последовательно записаны все натуральные числа (постоянная Чемпернауна). Так как последовательность натуральных чисел бесконечна и не повторяется, полученная дробь будет иррациональной: $0,123456789101112131415...$
Ответ: $0,123456789101112...$

6.34. Существует ли рациональное число, равное бесконечной непериодической дроби?

Нет, такого рационального числа не существует. Разберемся, почему.

1. Определение рационального числа. Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

2. Десятичное представление рациональных чисел. При делении числителя $m$ на знаменатель $n$ (чтобы получить десятичную дробь), остатки от деления могут принимать лишь конечное число значений (от 0 до $n-1$).

• Если на каком-то шаге деления остаток становится равен нулю, то деление заканчивается, и мы получаем конечную десятичную дробь. Например, $\frac{3}{4} = 0.75$.
• Если остаток никогда не становится нулем, то через некоторое количество шагов (не более $n-1$) остатки начнут повторяться. Это приведет к повторению последовательности цифр в частном. В этом случае мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь. Например, $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$ или $\frac{1}{7} = 0.142857142857... = 0.(142857)$.

Таким образом, любое рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

3. Определение иррационального числа. Бесконечная непериодическая дробь — это по определению иррациональное число. Примеры иррациональных чисел: $\pi \approx 3.14159265...$, $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$

Вывод: Множества рациональных и иррациональных чисел не пересекаются. Рациональное число не может быть равно бесконечной непериодической дроби, так как это противоречит самому определению рационального числа.

Ответ: нет, не существует.

6.35. Каким числом (рациональным или иррациональным) является число:

а) $0,275$;

б) $0,(2)$;

в) $1,323232...$;

г) $1,15(45)$;

д) $3,10110111011110...$;

е) $0,12345678...?$

Для определения, является ли число рациональным или иррациональным, нужно проанализировать его десятичное представление. Рациональные числа имеют конечное или бесконечное периодическое десятичное представление. Иррациональные числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление.

а) Число 0,275 является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным степени 10. В данном случае:

$0,275 = \frac{275}{1000}$

Эту дробь можно сократить:

$\frac{275}{1000} = \frac{11 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{11}{40}$

Поскольку число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

б) Число 0,(2) является бесконечной периодической десятичной дробью, где цифра 2 повторяется бесконечно ($0,222...$). Любая бесконечная периодическая дробь является рациональным числом. Преобразуем ее в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,(2) = 0,222...$

Умножим обе части на 10:

$10x = 2,222...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 2,222... - 0,222...$

$9x = 2$

$x = \frac{2}{9}$

Поскольку число равно дроби $\frac{2}{9}$, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

в) Число 1,323232... является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом 32. Его можно записать как $1,(32)$. Преобразуем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 1,323232...$

Умножим обе части на 100, чтобы сдвинуть дробную часть на один период:

$100x = 132,323232...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 132,323232... - 1,323232...$

$99x = 131$

$x = \frac{131}{99}$

Поскольку число можно представить в виде дроби, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

г) Число 1,15(45) является смешанной бесконечной периодической десятичной дробью ($1,154545...$). Такие числа также являются рациональными. Преобразуем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 1,154545...$

Умножим на 100, чтобы часть после запятой стала чисто периодической:

$100x = 115,454545...$

Умножим еще на 100, чтобы сдвинуть на один период:

$10000x = 11545,454545...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10000x - 100x = 11545,454545... - 115,454545...$

$9900x = 11430$

$x = \frac{11430}{9900} = \frac{1143}{990} = \frac{127}{110}$

Поскольку число можно представить в виде дроби, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

д) Данное число 3,10110111011110... является бесконечной десятичной дробью. Проанализируем последовательность цифр после запятой: 10, 110, 1110, 11110, и так далее. Количество единиц между нулями каждый раз увеличивается на одну. Это означает, что в последовательности цифр нет повторяющегося блока (периода). Бесконечная непериодическая десятичная дробь по определению является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

е) Предполагается, что в числе 0,12345678... последовательность цифр после запятой продолжается по предсказуемому закону: это последовательно выписанные натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...). Получается число $0,123456789101112...$

Эта десятичная дробь является бесконечной. Чтобы она была рациональной, она должна быть периодической. Однако в этой последовательности нет периода. Например, в ней встречаются сколь угодно длинные последовательности нулей (в десятичной записи чисел $10, 100, 1000, ...$) и сколь угодно длинные последовательности любых других цифр. Это делает невозможным существование конечного блока цифр, который бы повторялся. Следовательно, эта дробь непериодическая.

Поскольку число является бесконечной непериодической десятичной дробью, оно иррационально.

Ответ: иррациональное число.

6.36. Запишите четыре числа:

а) натуральных;

б) положительных;

в) отрицательных;

г) целых;

д) рациональных;

е) иррациональных;

ж) чётных;

з) нечётных;

и) простых;

к) составных;

л) кратных 3;

м) кратных 2 и 5.

а) натуральных. Натуральные числа — это числа, используемые при счёте предметов (1, 2, 3, ...). Они являются целыми и положительными. Примеры натуральных чисел:
Ответ: 1, 7, 42, 1000.

б) положительных. Положительные числа — это все числа, которые больше нуля. Это могут быть натуральные, дробные или иррациональные числа. Примеры положительных чисел:
Ответ: 3, 15.7, $\frac{1}{2}$, $\pi$.

в) отрицательных. Отрицательные числа — это все числа, которые меньше нуля. Примеры отрицательных чисел:
Ответ: -5, -2.1, $-\frac{3}{4}$, -100.

г) целых. Целые числа — это множество, включающее натуральные числа, им противоположные (отрицательные целые) и ноль. Примеры целых чисел:
Ответ: -12, 0, 8, 150.

д) рациональных. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. К ним относятся целые числа, конечные и периодические десятичные дроби. Примеры рациональных чисел:
Ответ: 7, $-\frac{2}{3}$, 0.25, -4.8.

е) иррациональных. Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью. Примеры иррациональных чисел:
Ответ: $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\pi$, $e$.

ж) чётных. Чётные числа — это целые числа, которые делятся на 2 без остатка. Примеры чётных чисел:
Ответ: 4, 16, 58, 200.

з) нечётных. Нечётные числа — это целые числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Примеры нечётных чисел:
Ответ: 1, 9, 23, 101.

и) простых. Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Примеры простых чисел:
Ответ: 2, 5, 11, 19.

к) составных. Составные числа — это натуральные числа больше 1, которые не являются простыми, то есть имеют более двух натуральных делителей. Примеры составных чисел:
Ответ: 4, 9, 15, 20.

л) кратных 3. Числа, кратные 3, — это числа, которые делятся на 3 без остатка. Примеры чисел, кратных 3:
Ответ: 3, 12, 27, 99.

м) кратных 2 и 5. Числа, кратные одновременно 2 и 5, должны делиться на их наименьшее общее кратное, то есть на $2 \times 5 = 10$. Это числа, которые оканчиваются на 0. Примеры чисел, кратных 2 и 5:
Ответ: 10, 30, 80, 200.