Страница 236 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.59. Какими свойствами арифметических действий воспользовались при вычислениях:

а) $125 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 3 = 125 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 3 = 1000 \cdot 21 = 21\,000;$

б) $4\frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} \cdot 4\frac{2}{3} = 4\frac{2}{3} \cdot \left(7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}\right) = 4\frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{14 \cdot 10}{3} = 46\frac{2}{3};$

в) $4\frac{2}{5} \cdot 7\frac{13}{19} \cdot \frac{5}{22} = \frac{22}{5} \cdot \frac{5}{22} \cdot 7\frac{13}{19} = 7\frac{13}{19}?$

а) В выражении $125 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 3$ множители 7 и 8 поменяли местами, чтобы получить $125 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 3$. Это было сделано на основе переместительного свойства умножения (также известного как коммутативность), которое гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$).
Затем множители были сгруппированы для удобства вычислений: $(125 \cdot 8) \cdot (7 \cdot 3)$. Это стало возможным благодаря сочетательному свойству умножения (ассоциативности), которое позволяет произвольно группировать множители ($(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$).
Совместное применение этих двух свойств позволяет переставлять и группировать множители в любом удобном порядке.
Ответ: Переместительное и сочетательное свойства умножения.

б) В выражении $4\frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} \cdot 4\frac{2}{3}$ для упрощения был вынесен за скобки общий множитель $4\frac{2}{3}$.
Для этого сначала во втором слагаемом ($2\frac{2}{3} \cdot 4\frac{2}{3}$) применили переместительное свойство умножения, поменяв множители местами, чтобы получить $4\frac{2}{3} \cdot 2\frac{2}{3}$.
После этого всё выражение приняло вид $4\frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{3} + 4\frac{2}{3} \cdot 2\frac{2}{3}$.
Затем был вынесен за скобки общий множитель $4\frac{2}{3}$ на основании распределительного свойства умножения относительно сложения ($a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$). В результате получилось $4\frac{2}{3} \cdot (7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3})$.
Ответ: Переместительное свойство умножения и распределительное свойство умножения относительно сложения.

в) В выражении $4\frac{2}{5} \cdot 7\frac{13}{19} \cdot \frac{5}{22}$ сначала смешанное число $4\frac{2}{5}$ было преобразовано в неправильную дробь $\frac{22}{5}$.
Далее, чтобы упростить вычисление, поменяли местами множители $7\frac{13}{19}$ и $\frac{5}{22}$. Это было сделано на основе переместительного свойства умножения.
После перестановки выражение стало $\frac{22}{5} \cdot \frac{5}{22} \cdot 7\frac{13}{19}$. Затем с помощью сочетательного свойства умножения была выполнена группировка: $(\frac{22}{5} \cdot \frac{5}{22}) \cdot 7\frac{13}{19}$.
Произведение взаимно обратных чисел $\frac{22}{5}$ и $\frac{5}{22}$ равно 1. После этого результат $1 \cdot 7\frac{13}{19} = 7\frac{13}{19}$ получен на основе свойства умножения на единицу (произведение любого числа и единицы равно этому числу).
Ответ: Переместительное и сочетательное свойства умножения.

6.60. Известно, что если $a < b$, то $a + c < b + c$ для любого действительного числа $c$. Проиллюстрируйте это свойство действительных чисел на примере, взяв $a = -4,7$, $b = -4,25$, $c = -2,3$.

Для иллюстрации свойства, согласно которому если $a < b$, то $a + c < b + c$, воспользуемся предложенными значениями: $a = -4,7$, $b = -4,25$ и $c = -2,3$.

1. В первую очередь, убедимся, что начальное условие $a < b$ выполняется:

$-4,7 < -4,25$

Это неравенство является верным, так как на числовой оси отрицательное число $-4,7$ находится левее, чем $-4,25$.

2. Теперь прибавим к обеим частям этого верного неравенства число $c = -2,3$. Свойство утверждает, что знак неравенства должен сохраниться, то есть должно выполняться неравенство $a+c < b+c$.

Вычислим левую часть нового неравенства:

$a + c = -4,7 + (-2,3) = -4,7 - 2,3 = -7$

Вычислим правую часть нового неравенства:

$b + c = -4,25 + (-2,3) = -4,25 - 2,3 = -6,55$

3. Сравним полученные результаты:

$-7 < -6,55$

Это неравенство также является верным, поскольку число $-7$ меньше числа $-6,55$.

Таким образом, на заданном примере было показано, что из верного неравенства $a < b$ следует верное неравенство $a+c < b+c$.

Ответ: подстановка значений $a=-4,7$, $b=-4,25$, $c=-2,3$ подтверждает свойство: из верного неравенства $-4,7 < -4,25$ после прибавления к обеим частям $-2,3$ следует верное неравенство $-7 < -6,55$.

6.61. Найдите два числа x, удовлетворяющие условию:

а) $|x - 5,3| = 1;$

б) $|x - 5,3| < 1;$

в) $|x - 5,3| > 1.$

Сколько таких чисел можно найти в каждом случае?

а)

Чтобы решить уравнение $|x - 5,3| = 1$, необходимо рассмотреть два случая, так как модуль числа равен 1, если само число равно 1 или -1.

1) Выражение под модулем равно 1:

$x - 5,3 = 1$

$x = 1 + 5,3$

$x_1 = 6,3$

2) Выражение под модулем равно -1:

$x - 5,3 = -1$

$x = -1 + 5,3$

$x_2 = 4,3$

Таким образом, мы нашли два числа, удовлетворяющие данному условию. В этом случае существует ровно два решения.

Ответ: $x_1 = 6,3$ и $x_2 = 4,3$. Всего можно найти 2 таких числа.

б)

Чтобы решить неравенство $|x - 5,3| < 1$, нужно записать его в виде двойного неравенства. Модуль числа меньше 1, если само число находится в интервале от -1 до 1.

$-1 < x - 5,3 < 1$

Теперь прибавим 5,3 ко всем частям неравенства, чтобы найти $x$:

$-1 + 5,3 < x - 5,3 + 5,3 < 1 + 5,3$

$4,3 < x < 6,3$

Решением является любой число из интервала $(4,3; 6,3)$. Например, можно взять числа 5 и 5,5. В этом интервале содержится бесконечно много чисел.

Ответ: $x$ - любое число из интервала $(4,3; 6,3)$, например, $x=5$ и $x=6$. Всего можно найти бесконечно много таких чисел.

в)

Чтобы решить неравенство $|x - 5,3| > 1$, необходимо рассмотреть два случая. Модуль числа больше 1, если само число больше 1 или меньше -1.

1) Выражение под модулем больше 1:

$x - 5,3 > 1$

$x > 1 + 5,3$

$x > 6,3$

2) Выражение под модулем меньше -1:

$x - 5,3 < -1$

$x < -1 + 5,3$

$x < 4,3$

Решением является объединение двух интервалов: $x < 4,3$ или $x > 6,3$. Это можно записать как $(-\infty; 4,3) \cup (6,3; \infty)$. Любое число из этих интервалов удовлетворяет условию. Например, можно взять числа 0 и 10. В этих интервалах содержится бесконечно много чисел.

Ответ: $x$ - любое число из объединения интервалов $(-\infty; 4,3) \cup (6,3; \infty)$, например, $x=0$ и $x=10$. Всего можно найти бесконечно много таких чисел.

Вычислите (0.82 - 0.58);

6.62. a) $68 \cdot 48 + 68 \cdot 52;$

б) $59 \cdot 37 + 59 \cdot 63;$

в) $87 \cdot 29 + 87 \cdot 71;$

г) $17 \cdot 73 - 63 \cdot 17;$

д) $382 \cdot 400 - 500 \cdot 382;$

е) $756 \cdot 350 + 756 \cdot 650.$

а) $68 \cdot 48 + 68 \cdot 52$

Для решения этого примера используем распределительное свойство умножения относительно сложения, вынеся общий множитель за скобки. Общий множитель здесь — $68$.

$68 \cdot 48 + 68 \cdot 52 = 68 \cdot (48 + 52)$

Сначала выполним сложение в скобках:

$48 + 52 = 100$

Теперь умножим полученный результат на общий множитель:

$68 \cdot 100 = 6800$

Ответ: $6800$.

б) $59 \cdot 37 + 59 \cdot 63$

Вынесем общий множитель $59$ за скобки, используя распределительное свойство:

$59 \cdot (37 + 63)$

Вычислим сумму в скобках:

$37 + 63 = 100$

Выполним умножение:

$59 \cdot 100 = 5900$

Ответ: $5900$.

в) $87 \cdot 29 + 87 \cdot 71$

Вынесем общий множитель $87$ за скобки:

$87 \cdot (29 + 71)$

Вычислим сумму в скобках:

$29 + 71 = 100$

Выполним умножение:

$87 \cdot 100 = 8700$

Ответ: $8700$.

г) $17 \cdot 73 - 63 \cdot 17$

Здесь применяется распределительное свойство умножения относительно вычитания. Общий множитель — $17$.

$17 \cdot 73 - 17 \cdot 63 = 17 \cdot (73 - 63)$

Вычислим разность в скобках:

$73 - 63 = 10$

Выполним умножение:

$17 \cdot 10 = 170$

Ответ: $170$.

д) $382 \cdot 400 - 500 \cdot 382$

Вынесем общий множитель $382$ за скобки:

$382 \cdot (400 - 500)$

Вычислим разность в скобках:

$400 - 500 = -100$

Выполним умножение:

$382 \cdot (-100) = -38200$

Ответ: $-38200$.

е) $756 \cdot 350 + 756 \cdot 650$

Вынесем общий множитель $756$ за скобки:

$756 \cdot (350 + 650)$

Вычислим сумму в скобках:

$350 + 650 = 1000$

Выполним умножение:

$756 \cdot 1000 = 756000$

Ответ: $756000$.

6.63. а) $352 \cdot 18 : 9;$

б) $748 \cdot 12 : 6;$

в) $126 \cdot 96 : 32;$

г) $172 \cdot 128 : 64.$

а) Решим выражение $352 \cdot 18 : 9$.
В выражениях, содержащих только умножение и деление, действия выполняются по порядку слева направо. Однако для удобства вычислений можно изменить порядок действий и сначала выполнить деление.
1) Сначала разделим $18$ на $9$:
$18 : 9 = 2$
2) Теперь умножим $352$ на полученный результат:
$352 \cdot 2 = 704$
Таким образом, $352 \cdot 18 : 9 = 704$.
Ответ: 704.

б) Решим выражение $748 \cdot 12 : 6$.
Для упрощения вычислений удобнее сначала выполнить деление.
1) Разделим $12$ на $6$:
$12 : 6 = 2$
2) Умножим $748$ на результат:
$748 \cdot 2 = 1496$
Таким образом, $748 \cdot 12 : 6 = 1496$.
Ответ: 1496.

в) Решим выражение $126 \cdot 96 : 32$.
Начнем с деления для упрощения расчетов.
1) Разделим $96$ на $32$:
$96 : 32 = 3$
2) Теперь выполним умножение:
$126 \cdot 3 = 378$
Таким образом, $126 \cdot 96 : 32 = 378$.
Ответ: 378.

г) Решим выражение $172 \cdot 128 : 64$.
Сначала выполним деление.
1) Разделим $128$ на $64$:
$128 : 64 = 2$
2) Затем выполним умножение:
$172 \cdot 2 = 344$
Таким образом, $172 \cdot 128 : 64 = 344$.
Ответ: 344.

6.64. a) $25 \cdot 7 \cdot 8;$

б) $13 \cdot 12 \cdot 25;$

в) $2 \frac{1}{2} \cdot 3 \frac{1}{3};$

г) $\frac{1}{7} \cdot 8 \frac{1}{6} \cdot 6;$

д) $78 : 3 \cdot \left(\frac{1}{8} - 2 \frac{1}{8}\right);$

е) $\left(75 - 100 \frac{1}{2}\right) \cdot 0.04.$

а) $25 \cdot 7 \cdot 8$
Чтобы упростить вычисление, воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители:
$(25 \cdot 8) \cdot 7 = 200 \cdot 7 = 1400$.
Ответ: 1400.

б) $13 \cdot 12 \cdot 25$
Для удобства вычислений сгруппируем множители. Представим 12 как $3 \cdot 4$:
$13 \cdot (3 \cdot 4) \cdot 25 = (13 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 25) = 39 \cdot 100 = 3900$.
Ответ: 3900.

в) $2\frac{1}{2} \cdot 3\frac{1}{3}$
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$
Теперь перемножим дроби и выделим целую часть:
$\frac{5}{2} \cdot \frac{10}{3} = \frac{5 \cdot 10}{2 \cdot 3} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$.
Ответ: $8\frac{1}{3}$.

г) $1\frac{1}{7} \cdot 8\frac{1}{6} \cdot 6$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$
$8\frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{49}{6}$
Выполним умножение, сокращая дроби:
$\frac{8}{7} \cdot \frac{49}{6} \cdot 6 = \frac{8 \cdot 49 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{8 \cdot 49}{7} = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56.

д) $78 : 3 \cdot (\frac{1}{8} - 2\frac{1}{8})$
1. Вычислим значение в скобках:
$\frac{1}{8} - 2\frac{1}{8} = \frac{1}{8} - \frac{17}{8} = \frac{1 - 17}{8} = \frac{-16}{8} = -2$.
2. Выполним остальные действия по порядку слева направо:
$78 : 3 \cdot (-2) = 26 \cdot (-2) = -52$.
Ответ: -52.

е) $(75 - 100\frac{1}{2}) \cdot 0,04$
1. Выполним вычитание в скобках. Удобно представить $100\frac{1}{2}$ как десятичную дробь 100,5:
$75 - 100,5 = -25,5$.
2. Теперь выполним умножение:
$-25,5 \cdot 0,04 = -1,02$.
Ответ: -1,02.

6.65. a) $12,5(67) - 12,5(67);$

Б) $6,7(89) \cdot 0;$

В) $4,51(2) \div 1;$

Г) $0 \div 0,0(654).$

а) 12,5(67) – 12,5(67)

Данное выражение представляет собой разность двух одинаковых чисел. При вычитании из числа самого себя в результате всегда получается ноль. Это свойство справедливо для любых действительных чисел, включая периодические дроби.

$12,5(67) - 12,5(67) = 0$

Ответ: 0

б) 6,7(89) · 0

В этом выражении число умножается на ноль. Согласно свойству умножения, произведение любого числа (в том числе и периодической дроби) на ноль равно нулю.

$6,7(89) \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

в) 4,51(2) : 1

Здесь выполняется деление числа на единицу. При делении любого числа на 1, результатом является само это число. Это правило действует и для периодических дробей.

$4,51(2) : 1 = 4,51(2)$

Ответ: 4,51(2)

г) 0 : 0,0(654)

Это выражение представляет собой деление нуля на другое число. Делитель $0,0(654)$ является ненулевым числом ($0,0(654) = 0,0654654... \neq 0$). При делении нуля на любое число, не равное нулю, в результате получается ноль.

$0 : 0,0(654) = 0$

Ответ: 0