Страница 240 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.66. На рисунке 128 изображены отрезки $BC$, $AD$, $KP$. Определите на глаз длину каждого отрезка в сантиметрах. Проверьте свой глазомер с помощью линейки.

Рис. 128

BC

Сначала определим длину отрезка на глаз. Визуально его длина кажется равной примерно 4 см. Затем, для проверки глазомера, измерим отрезок с помощью линейки. Точное измерение показывает, что длина отрезка BC составляет 4,5 см.

Ответ: 4,5 см.

AD

При оценке на глаз отрезок AD может показаться немного длиннее отрезка BC, его предполагаемая длина — около 5 см. Однако, измерение с помощью линейки показывает, что это обман зрения, или оптическая иллюзия. В действительности длина отрезка AD равна длине отрезка BC и составляет 4,5 см.

Ответ: 4,5 см.

KP

Визуально отрезок KP воспринимается как самый длинный из представленных. Его длина на глаз оценивается примерно в 6 см. После измерения линейкой получаем, что его точная длина составляет примерно 6,1 см.

Ответ: 6,1 см.

6.67. Постройте в тетради три произвольных отрезка и выполните предыдущее задание.

Поскольку в задании 6.67 требуется выполнить "предыдущее задание" для трех произвольно выбранных отрезков, будем считать, что предыдущее задание (6.66) состояло из двух частей: а) проверить, можно ли из заданных отрезков построить треугольник; б) если можно, то построить его. Чтобы дать развернутый ответ, рассмотрим два случая: когда построение треугольника возможно и когда невозможно.

Случай 1: Построение треугольника возможно

Возьмем три произвольных отрезка, длины которых обозначим $a$, $b$ и $c$. Пусть их длины равны $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 7$ см.

а) Проверка возможности построения треугольника

Для того чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, должно выполняться неравенство треугольника: длина любого отрезка должна быть меньше суммы длин двух других. Проверим это условие:
$a + b > c \implies 5 + 6 > 7 \implies 11 > 7$ (верно)
$a + c > b \implies 5 + 7 > 6 \implies 12 > 6$ (верно)
$b + c > a \implies 6 + 7 > 5 \implies 13 > 5$ (верно)
Все три неравенства выполняются, следовательно, из данных отрезков можно построить треугольник.

Ответ: Да, из отрезков с длинами 5 см, 6 см и 7 см можно построить треугольник.

б) Построение треугольника

Построим треугольник $ABC$ со сторонами $AB = c = 7$ см, $AC = b = 6$ см и $BC = a = 5$ см с помощью циркуля и линейки без делений.
1. Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$.
2. Раствором циркуля, равным длине отрезка $c$, откладываем от точки $A$ на прямой отрезок $AB$.
3. Раствором циркуля, равным длине отрезка $b$, проводим дугу окружности с центром в точке $A$.
4. Раствором циркуля, равным длине отрезка $a$, проводим дугу окружности с центром в точке $B$.
5. Точку пересечения построенных дуг обозначаем буквой $C$.
6. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник со сторонами, равными заданным отрезкам, построен.

Случай 2: Построение треугольника невозможно

Возьмем три других произвольных отрезка. Пусть их длины равны $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 8$ см.

а) Проверка возможности построения треугольника

Проверим выполнение неравенства треугольника для этих отрезков:
$a + b > c \implies 3 + 4 > 8 \implies 7 > 8$ (неверно)
Так как одно из неравенств не выполняется (сумма длин двух сторон не больше третьей стороны), то построить треугольник из данных отрезков невозможно. Нет необходимости проверять остальные два неравенства.

Ответ: Нет, из отрезков с длинами 3 см, 4 см и 8 см невозможно построить треугольник.

б) Построение треугольника

Если мы попытаемся выполнить построение, то столкнемся со следующей ситуацией:
1. Проводим прямую и откладываем на ней самый длинный отрезок $AB$ длиной $c = 8$ см.
2. Проводим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $a = 3$ см.
3. Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b = 4$ см.
Поскольку сумма радиусов $a+b = 3+4=7$ см меньше, чем расстояние между центрами $AB = 8$ см, эти дуги не пересекутся. Следовательно, найти третью вершину $C$ и построить треугольник невозможно.

Ответ: Построение невозможно, так как дуги окружностей, проведенные из концов наибольшего отрезка, не пересекаются.

6.68. Постройте в тетради отрезки длиной 3,5 см, 5 см и 6,5 см. Разделите на глаз каждый отрезок на 3 равные части. Проверьте свой глазомер с помощью линейки.

Отрезок длиной 3,5 см
Для выполнения задания сначала необходимо построить отрезок длиной 3,5 см с помощью линейки. После этого, на глаз, отметьте на отрезке две точки, которые, по вашему мнению, делят его на три равных фрагмента.
Чтобы проверить точность вашего глазомера, нужно вычислить, какой должна быть длина каждой части. Для этого разделим общую длину отрезка на 3:
$3,5 \text{ см} \div 3 = \frac{3,5}{3} = \frac{7/2}{3} = \frac{7}{6} \text{ см} \approx 1,17 \text{ см}$.
Это примерно равно 1 см и 1,7 мм. Теперь измерьте линейкой каждую из трех частей, которые вы отметили на глаз. Сравните полученные длины с расчетным значением. Чем меньше разница, тем точнее ваш глазомер.
Ответ: Длина каждой из трех равных частей составляет примерно 1,17 см.

Отрезок длиной 5 см
Постройте в тетради отрезок длиной 5 см. Визуально разделите его на три равные части, поставив две соответствующие отметки.
Для проверки необходимо рассчитать точную длину одной трети отрезка:
$5 \text{ см} \div 3 = \frac{5}{3} \text{ см} \approx 1,67 \text{ см}$.
Это примерно равно 1 см и 6,7 мм. Измерьте линейкой полученные вами три части и сравните их длину с расчетной. Чем ближе измеренные длины к этому значению и друг к другу, тем лучше вы справились с задачей.
Ответ: Длина каждой из трех равных частей составляет примерно 1,67 см.

Отрезок длиной 6,5 см
Начертите отрезок длиной 6,5 см. Отметьте на нем две точки, которые, как вам кажется, делят его на три равные части.
Чтобы проверить себя, вычислим правильную длину каждой части:
$6,5 \text{ см} \div 3 = \frac{6,5}{3} = \frac{13/2}{3} = \frac{13}{6} \text{ см} \approx 2,17 \text{ см}$.
Это примерно равно 2 см и 1,7 мм. С помощью линейки измерьте каждую из трех отмеченных вами частей. Сравните результаты измерений с расчетным значением, чтобы оценить точность вашего глазомера.
Ответ: Длина каждой из трех равных частей составляет примерно 2,17 см.

6.69. Постройте отрезок длиной 8,5 см. Разделите на глаз этот отрезок на 5 равных частей; на 6 равных частей.

Для выполнения задания сначала необходимо построить отрезок длиной 8,5 см с помощью линейки.

на 5 равных частей

Чтобы разделить построенный отрезок на 5 равных частей "на глаз", нужно поставить на нем 4 точки так, чтобы получившиеся 5 отрезков были визуально равны по длине. Для проверки точности можно вычислить теоретическую длину каждой части.
Расчет длины одной части:
$ \frac{8,5 \text{ см}}{5} = 1,7 \text{ см} $
Таким образом, каждая из пяти частей должна иметь длину 1,7 см (или 17 мм).

Ответ: При делении отрезка 8,5 см на 5 равных частей, длина каждой части составляет 1,7 см.

на 6 равных частей

Чтобы разделить отрезок на 6 равных частей "на глаз", можно сначала разделить его пополам, а затем каждую половину разделить еще на 3 равные части. Для этого на отрезке нужно поставить 5 точек. Для проверки точности можно вычислить теоретическую длину каждой части.
Расчет длины одной части:
$ \frac{8,5 \text{ см}}{6} = \frac{17}{12} \text{ см} \approx 1,417 \text{ см} $
Таким образом, каждая из шести частей должна иметь длину примерно 1,4 см (или чуть больше 14 мм).

Ответ: При делении отрезка 8,5 см на 6 равных частей, длина каждой части составляет примерно 1,4 см.

6.70. На рисунке 129 изображены отрезки $AB$ и $CD$. Приняв за единицу измерения отрезок $CD$, измерьте на глаз отрезок $AB$ с точностью до 1 с недостатком. Проверьте свой глазомер с помощью циркуля.

$1$

$C$ $D$

$A$ $B$

Рис. 129

Измерение на глаз
Примем длину отрезка $CD$ за единицу измерения, то есть $|CD| = 1$. Визуально оценивая длину отрезка $AB$, можно предположить, что отрезок $CD$ укладывается в нем три полных раза и остается небольшой остаток. Согласно условию, необходимо измерить отрезок с точностью до 1 с недостатком, то есть найти, сколько целых единичных отрезков помещается в отрезке $AB$. На глаз это число равно 3.
Ответ: 3.

Проверка с помощью циркуля
Чтобы проверить глазомер, выполним измерение с помощью циркуля.
1. Установим раствор циркуля равным длине отрезка $CD$, поместив его ножки в точки $C$ и $D$.
2. Не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $A$ и сделаем на отрезке $AB$ отметку (точку $P_1$). Длина отрезка $|AP_1|$ равна 1.
3. Переместим иглу циркуля в точку $P_1$ и сделаем следующую отметку (точку $P_2$). Длина отрезка $|AP_2|$ равна 2.
4. Переместим иглу циркуля в точку $P_2$ и сделаем еще одну отметку (точку $P_3$). Длина отрезка $|AP_3|$ равна 3.
5. Точка $P_3$ находится на отрезке $AB$, но если мы попытаемся отложить еще один единичный отрезок от точки $P_3$, то выйдем за пределы точки $B$.
Это означает, что длина отрезка $AB$ больше или равна 3, но строго меньше 4. Это можно записать в виде неравенства: $3 \le |AB| < 4$.
Таким образом, измерение с точностью до 1 с недостатком дает результат 3. Наш глазомер оказался верным.
Ответ: 3.

6.71. Длина отрезка $AB$ выражена числом 5,375. Запишите приближенную длину отрезка $AB$ с точностью до 1; до 0,1; до 0,01 с недостатком.

Приближение числа с недостатком (или округление вниз) до определённого разряда означает, что все цифры справа от этого разряда отбрасываются, а цифра в данном разряде остаётся без изменений. Дано число $5,375$.

до 1

Чтобы записать приближённую длину с точностью до 1 (до целых) с недостатком, нужно отбросить всю дробную часть числа. Целая часть числа $5,375$ равна 5.

$5,375 \approx 5$

Ответ: 5

до 0,1

Чтобы записать приближённую длину с точностью до $0,1$ (до десятых) с недостатком, нужно оставить только одну цифру после запятой (разряд десятых), отбросив все последующие цифры.

$5,375 \approx 5,3$

Ответ: 5,3

до 0,01

Чтобы записать приближённую длину с точностью до $0,01$ (до сотых) с недостатком, нужно оставить две цифры после запятой (разряд сотых), отбросив все последующие цифры.

$5,375 \approx 5,37$

Ответ: 5,37

6.72. Длина отрезка $AB$ равна:

а) $3 \frac{1}{8}$,

б) $2 \frac{5}{16}$,

в) $3 \frac{61}{99}$,

г) $4 \frac{14}{27}$.

Выразите длину отрезка десятичной дробью с точностью до $1$; до $0,1$; до $0,01$ с недостатком.

Для решения задачи необходимо каждое смешанное число перевести в десятичную дробь, а затем найти его приближенное значение с недостатком с указанной точностью. Нахождение приближенного значения с недостатком означает отбрасывание всех цифр, следующих за требуемым разрядом.

а) Дана длина отрезка $3 \frac{1}{8}$.
1. Переведем дробную часть в десятичную дробь:
$\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0.125$
Следовательно, $3 \frac{1}{8} = 3.125$.
2. Выразим полученное число с требуемой точностью с недостатком:
- с точностью до 1 (до целых): 3
- с точностью до 0,1 (до десятых): 3,1
- с точностью до 0,01 (до сотых): 3,12
Ответ: 3; 3,1; 3,12.

б) Дана длина отрезка $2 \frac{5}{16}$.
1. Переведем дробную часть в десятичную дробь:
$\frac{5}{16} = 5 \div 16 = 0.3125$
Следовательно, $2 \frac{5}{16} = 2.3125$.
2. Выразим полученное число с требуемой точностью с недостатком:
- с точностью до 1: 2
- с точностью до 0,1: 2,3
- с точностью до 0,01: 2,31
Ответ: 2; 2,3; 2,31.

в) Дана длина отрезка $3 \frac{61}{99}$.
1. Переведем дробную часть в десятичную дробь. Это будет периодическая дробь:
$\frac{61}{99} = 61 \div 99 = 0.616161... = 0.(61)$
Следовательно, $3 \frac{61}{99} = 3.616161...$.
2. Выразим полученное число с требуемой точностью с недостатком:
- с точностью до 1: 3
- с точностью до 0,1: 3,6
- с точностью до 0,01: 3,61
Ответ: 3; 3,6; 3,61.

г) Дана длина отрезка $4 \frac{14}{27}$.
1. Переведем дробную часть в десятичную дробь. Это будет периодическая дробь:
$\frac{14}{27} = 14 \div 27 = 0.518518... = 0.(518)$
Следовательно, $4 \frac{14}{27} = 4.518518...$.
2. Выразим полученное число с требуемой точностью с недостатком:
- с точностью до 1: 4
- с точностью до 0,1: 4,5
- с точностью до 0,01: 4,51
Ответ: 4; 4,5; 4,51.

6.73. Выразите длину отрезка $AB$ десятичной дробью с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 с недостатком, если $AB = 3 \frac{19}{99}$.

Для решения задачи необходимо сначала перевести смешанную дробь $AB = 3 \frac{19}{99}$ в десятичную.

Целая часть числа равна 3. Дробную часть $\frac{19}{99}$ можно перевести в десятичную дробь, разделив числитель 19 на знаменатель 99, или воспользовавшись правилом для дробей со знаменателем, состоящим из девяток. Дробь вида $\frac{N}{99}$, где N - двузначное число, равна периодической десятичной дроби $0,(N)$.

Таким образом, $\frac{19}{99} = 0,191919... = 0,(19)$.

Следовательно, длина отрезка $AB$ в виде десятичной дроби: $AB = 3 + 0,(19) = 3,191919...$.

Теперь выразим это число десятичной дробью с недостатком с указанной точностью. Найти приближенное значение числа с недостатком до определенного разряда означает отбросить все цифры, стоящие правее этого разряда.

с точностью до 0,1:
Для получения приближения с недостатком с точностью до 0,1 (до десятых), необходимо оставить одну цифру после запятой, отбросив остальные.
$3,1919... \approx 3,1$
Ответ: 3,1

с точностью до 0,01:
Для получения приближения с недостатком с точностью до 0,01 (до сотых), необходимо оставить две цифры после запятой, отбросив остальные.
$3,1919... \approx 3,19$
Ответ: 3,19

с точностью до 0,001:
Для получения приближения с недостатком с точностью до 0,001 (до тысячных), необходимо оставить три цифры после запятой, отбросив остальные.
$3,1919... \approx 3,191$
Ответ: 3,191

с точностью до 0,0001:
Для получения приближения с недостатком с точностью до 0,0001 (до десятитысячных), необходимо оставить четыре цифры после запятой, отбросив остальные.
$3,1919... \approx 3,1919$
Ответ: 3,1919