Номер 6.67, страница 240 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.6. Длина отрезка. Шкалы - номер 6.67, страница 240.

Условие.

6.67. Постройте в тетради три произвольных отрезка и выполните предыдущее задание.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку в задании 6.67 требуется выполнить "предыдущее задание" для трех произвольно выбранных отрезков, будем считать, что предыдущее задание (6.66) состояло из двух частей: а) проверить, можно ли из заданных отрезков построить треугольник; б) если можно, то построить его. Чтобы дать развернутый ответ, рассмотрим два случая: когда построение треугольника возможно и когда невозможно.

Случай 1: Построение треугольника возможно

Возьмем три произвольных отрезка, длины которых обозначим $a$, $b$ и $c$. Пусть их длины равны $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 7$ см.

а) Проверка возможности построения треугольника

Для того чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, должно выполняться неравенство треугольника: длина любого отрезка должна быть меньше суммы длин двух других. Проверим это условие:
$a + b > c \implies 5 + 6 > 7 \implies 11 > 7$ (верно)
$a + c > b \implies 5 + 7 > 6 \implies 12 > 6$ (верно)
$b + c > a \implies 6 + 7 > 5 \implies 13 > 5$ (верно)
Все три неравенства выполняются, следовательно, из данных отрезков можно построить треугольник.

Ответ: Да, из отрезков с длинами 5 см, 6 см и 7 см можно построить треугольник.

б) Построение треугольника

Построим треугольник $ABC$ со сторонами $AB = c = 7$ см, $AC = b = 6$ см и $BC = a = 5$ см с помощью циркуля и линейки без делений.
1. Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$.
2. Раствором циркуля, равным длине отрезка $c$, откладываем от точки $A$ на прямой отрезок $AB$.
3. Раствором циркуля, равным длине отрезка $b$, проводим дугу окружности с центром в точке $A$.
4. Раствором циркуля, равным длине отрезка $a$, проводим дугу окружности с центром в точке $B$.
5. Точку пересечения построенных дуг обозначаем буквой $C$.
6. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник со сторонами, равными заданным отрезкам, построен.

Случай 2: Построение треугольника невозможно

Возьмем три других произвольных отрезка. Пусть их длины равны $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 8$ см.

а) Проверка возможности построения треугольника

Проверим выполнение неравенства треугольника для этих отрезков:
$a + b > c \implies 3 + 4 > 8 \implies 7 > 8$ (неверно)
Так как одно из неравенств не выполняется (сумма длин двух сторон не больше третьей стороны), то построить треугольник из данных отрезков невозможно. Нет необходимости проверять остальные два неравенства.

Ответ: Нет, из отрезков с длинами 3 см, 4 см и 8 см невозможно построить треугольник.

б) Построение треугольника

Если мы попытаемся выполнить построение, то столкнемся со следующей ситуацией:
1. Проводим прямую и откладываем на ней самый длинный отрезок $AB$ длиной $c = 8$ см.
2. Проводим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $a = 3$ см.
3. Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b = 4$ см.
Поскольку сумма радиусов $a+b = 3+4=7$ см меньше, чем расстояние между центрами $AB = 8$ см, эти дуги не пересекутся. Следовательно, найти третью вершину $C$ и построить треугольник невозможно.

Ответ: Построение невозможно, так как дуги окружностей, проведенные из концов наибольшего отрезка, не пересекаются.