Страница 234 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.38 Что называют целой частью положительной бесконечной десятичной дроби?

Положительная бесконечная десятичная дробь — это число, представленное в виде $\alpha = a_0,a_1a_2a_3...$, где $a_0$ — целое неотрицательное число, а $a_1, a_2, a_3, ...$ — бесконечная последовательность цифр после запятой.

Целой частью такой дроби называют целое неотрицательное число $a_0$, которое образовано цифрами, стоящими в её записи слева от десятичной запятой. По сути, это результат отбрасывания всей дробной части (всех цифр после запятой).

Например:

• У числа $\pi = 3,14159265...$ целая часть равна 3.
• У числа $\frac{7}{3} = 2,333...$ целая часть равна 2.
• У числа $\sqrt{2} = 1,41421356...$ целая часть равна 1.
• У числа $\frac{1}{6} = 0,1666...$ целая часть равна 0.

Формально, целая часть числа $\alpha$ (обозначается $[\alpha]$ или $\lfloor \alpha \rfloor$) — это самое большое целое число, которое не больше, чем $\alpha$.

Ответ: Целой частью положительной бесконечной десятичной дроби называют целое неотрицательное число, которое стоит в записи этой дроби до запятой.

6.39. Назовите цифры пятого, шестого, седьмого разрядов после запятой у дроби:

а) $13.\overline{27}$;

б) $17.12345678...$;

в) $0.000\overline{12}$.

а) В периодической дроби $13,(27)$ группа цифр в скобках, называемая периодом, бесконечно повторяется. Чтобы найти нужные цифры, запишем дробь в развернутом виде: $13,27272727...$
Разряды после запятой:
1-й: 2
2-й: 7
3-й: 2
4-й: 7
5-й: 2
6-й: 7
7-й: 2
Таким образом, цифра пятого разряда — 2, шестого — 7, седьмого — 2.
Ответ: 2, 7, 2.

б) В дроби $17,12345678...$ цифры после запятой представляют собой последовательность натуральных чисел.
Разряды после запятой:
1-й: 1
2-й: 2
3-й: 3
4-й: 4
5-й: 5
6-й: 6
7-й: 7
Следовательно, цифра пятого разряда — 5, шестого — 6, седьмого — 7.
Ответ: 5, 6, 7.

в) В смешанной периодической дроби $0,000(12)$ после запятой сначала идет непериодическая часть (предпериод) $000$, а затем бесконечно повторяется период $12$. Запишем эту дробь в развернутом виде: $0,000121212...$
Разряды после запятой:
1-й: 0
2-й: 0
3-й: 0
4-й: 1
5-й: 2
6-й: 1
7-й: 2
Значит, цифра пятого разряда — 2, шестого — 1, седьмого — 2.
Ответ: 2, 1, 2.

6.40. Какие числа называют противоположными? Приведите примеры.

Какие числа называют противоположными?

Противоположными называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Иными словами, это числа, имеющие одинаковый модуль (абсолютную величину), но противоположные знаки. На координатной прямой точки, соответствующие противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета (нуля), но в разных направлениях от него.

Главное свойство противоположных чисел заключается в том, что их сумма равна нулю. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Их сумма: $a + (-a) = 0$.

Число 0 противоположно самому себе, так как $-0 = 0$.

Ответ: Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.

Приведите примеры.

Вот несколько примеров пар противоположных чисел:

• Для числа 15 противоположным является число -15.
• Для числа -3.8 противоположным является число 3.8.
• Для дроби $\frac{4}{9}$ противоположным числом является $-\frac{4}{9}$.
• Для числа 0 противоположным является само число 0.

Ответ: Примеры пар противоположных чисел: 15 и -15; -3.8 и 3.8; $\frac{4}{9}$ и $-\frac{4}{9}$.

6.41. Как обозначают число, противоположное числу $a$?

6.41.

Противоположными числами называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. На координатной прямой они находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчёта (точки 0), но в противоположных направлениях.

Основное свойство противоположных чисел заключается в том, что их сумма равна нулю. Если $a$ — это некоторое число, то противоположное ему число при сложении с $a$ даст 0.

Для обозначения числа, противоположного числу $a$, используется знак «минус». Таким образом, число, противоположное числу $a$, обозначается как $-a$.

Это можно записать в виде равенства: $a + (-a) = 0$.

Примеры:
- число, противоположное 8, это $-8$;
- число, противоположное $-3$, это $-(-3)$, что равно 3;
- число, противоположное 0, это 0, так как $-0=0$.

Ответ: $-a$.

6.42 Если число обозначено через $-a$, значит ли это, что оно отрицательное? Приведите примеры.

Нет, обозначение $-a$ не всегда означает, что число отрицательное. Выражение $-a$ представляет собой число, противоположное числу $a$. Знак этого числа целиком и полностью зависит от знака самого числа $a$.

Рассмотрим все возможные случаи на примерах:

1. Если $a$ — положительное число.
Например, пусть $a = 5$. Тогда число $-a$ будет равно $-5$. В этом случае $-a$ является отрицательным числом.

2. Если $a$ — отрицательное число.
Например, пусть $a = -10$. Тогда число $-a$ будет равно $-(-10)$. Как известно, минус на минус дает плюс, поэтому $-(-10) = 10$. В этом случае $-a$ является положительным числом.

3. Если $a$ равно нулю.
Пусть $a = 0$. Тогда $-a = -0$, что равно $0$. Число $0$ не является ни положительным, ни отрицательным.

Таким образом, только по записи $-a$ нельзя однозначно определить знак числа. Необходимо знать значение самого $a$.

Ответ: Нет, обозначение $-a$ не означает, что число обязательно отрицательное. Оно может быть положительным (если $a$ — отрицательное число), отрицательным (если $a$ — положительное число) или нулем (если $a=0$).

6.43. Что называют модулем (абсолютной величиной) действительного числа? Приведите примеры.

Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа $a$ называют само это число, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если $a$ — отрицательное. Модуль числа обозначается двумя вертикальными чертами: $|a|$.

Таким образом, формальное определение модуля можно записать с помощью системы:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Проще говоря, модуль числа — это само число без учёта его знака. Например, модуль числа $5$ и модуль числа $-5$ равны $5$.

С геометрической точки зрения, модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта (нуля). Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной ($|a| \ge 0$ для любого числа $a$).

Примеры

• Модуль положительного числа равен самому числу: $|12| = 12$.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу: $|-9| = -(-9) = 9$.
• Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$.
• Примеры с дробными числами: $|-4.75| = 4.75$; $|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$; $|-\frac{15}{4}| = \frac{15}{4}$.

Ответ: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называют расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль равен самому числу, если оно неотрицательное, и равен противоположному числу, если оно отрицательное. Например, $|7| = 7$, $|-7| = 7$ и $|0| = 0$.

6.44. Как сравнить два действительных числа? Приведите примеры.

Чтобы сравнить два действительных числа, нужно определить, какое из них больше, какое меньше, или же они равны. Для этого существует несколько способов, основанных на определении и свойствах действительных чисел.

Основное правило сравнения (через разность)

Этот способ является формальным определением сравнения чисел. Чтобы сравнить два действительных числа $a$ и $b$, находят их разность $a - b$ и определяют ее знак:

• Если разность $a - b$ — положительное число ($a - b > 0$), то число $a$ больше числа $b$ ($a > b$).
• Если разность $a - b$ — отрицательное число ($a - b < 0$), то число $a$ меньше числа $b$ ($a < b$).
• Если разность $a - b$ равна нулю ($a - b = 0$), то числа $a$ и $b$ равны ($a = b$).

Пример: Сравнить числа $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$.
Решение: Найдем их разность: $\frac{5}{8} - \frac{8}{13} = \frac{5 \cdot 13 - 8 \cdot 8}{8 \cdot 13} = \frac{65 - 64}{104} = \frac{1}{104}$.
Так как разность $\frac{1}{104} > 0$, то первое число больше второго.
Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{8}{13}$.

Геометрический способ (с помощью числовой прямой)

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. Из двух чисел большим считается то, которое расположено на прямой правее, а меньшим — то, которое левее.

Пример: Сравнить числа $-3$ и $2$.
Решение: На числовой прямой точка $2$ находится правее точки $-3$. Следовательно, $2 > -3$.
Ответ: $2 > -3$.

Поразрядное сравнение десятичных записей

Этот метод удобен для чисел, представленных в виде десятичных дробей.

1. Сначала сравниваются знаки чисел. Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
2. Если оба числа положительные, сравниваются их целые части. Больше то число, у которого целая часть больше.
3. Если целые части равны, сравнивают дробные части поразрядно слева направо (десятые, сотые, тысячные и т.д.), до первого несовпадения. Больше то число, у которого соответствующая цифра в этом разряде больше.
4. Если оба числа отрицательные, то большим будет то, модуль (абсолютная величина) которого меньше.

Пример: Сравнить числа $7,538$ и $7,54$.
Решение: Сравниваем числа поразрядно. Целые части равны ($7=7$). Десятые доли равны ($5=5$). Сотые доли различаются: $3 < 4$. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $7,538 < 7,54$.

Сравнение иррациональных чисел (содержащих корни)

Если оба сравниваемых числа $a$ и $b$ неотрицательны, то соотношение между ними ($>$, $<$, или $=$) будет таким же, как и соотношение между их квадратами $a^2$ и $b^2$ (или любыми другими натуральными степенями).

Пример: Сравнить числа $3\sqrt{7}$ и $2\sqrt{15}$.
Решение: Оба числа положительны. Возведем их в квадрат, чтобы избавиться от корней: $(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
$(2\sqrt{15})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.
Так как $63 > 60$, то и $3\sqrt{7} > 2\sqrt{15}$.
Ответ: $3\sqrt{7} > 2\sqrt{15}$.

6.45 Если $|a| < |b|$, то всегда ли верно неравенство $a < b$?

Нет, утверждение, что из неравенства $|a| < |b|$ всегда следует неравенство $a < b$, является неверным. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один контрпример, то есть случай, когда исходное условие выполняется, а заключение — нет.

Рассмотрим случай, когда оба числа, $a$ и $b$, являются отрицательными. Например, пусть $a = -2$ и $b = -3$.

Сначала проверим, выполняется ли для этих чисел условие $|a| < |b|$:

$|a| = |-2| = 2$

$|b| = |-3| = 3$

Так как $2 < 3$, условие $|a| < |b|$ выполняется.

Теперь проверим, верно ли для этих же чисел неравенство $a < b$:

$-2 < -3$

Данное неравенство является ложным, поскольку на числовой оси точка $-2$ расположена правее точки $-3$, а значит $-2 > -3$.

Мы нашли пример, в котором условие $|a| < |b|$ истинно, а неравенство $a < b$ ложно. Это доказывает, что утверждение не всегда верно.

Ответ: Нет, не всегда.

6.46. Пусть $|a|=|b|$. В каких случаях $a=b$ и в каких $a=-b$?

Равенство $|a| = |b|$ означает, что числа $a$ и $b$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой. Это возможно, если числа либо совпадают ($a=b$), либо являются противоположными ($a=-b$). Рассмотрим подробно, при каких условиях выполняется каждое из этих равенств.

В каких случаях a = b

Равенство $a = b$ при условии $|a| = |b|$ выполняется тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или оба равны нулю. Проанализируем это, исходя из определения модуля числа:
1. Если оба числа неотрицательны ($a \ge 0$ и $b \ge 0$), то по определению модуля $|a| = a$ и $|b| = b$. В этом случае исходное равенство $|a| = |b|$ принимает вид $a = b$.
2. Если оба числа отрицательны ($a < 0$ и $b < 0$), то по определению модуля $|a| = -a$ и $|b| = -b$. Исходное равенство принимает вид $-a = -b$, что после умножения на $-1$ равносильно $a = b$.
Таким образом, равенство $a = b$ верно, когда знаки чисел $a$ и $b$ совпадают.

Ответ: Равенство $a=b$ выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или оба равны нулю. Это можно записать одним условием: $a \cdot b \ge 0$.

в каких a = -b

Равенство $a = -b$ при условии $|a| = |b|$ выполняется тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки или оба равны нулю. Проанализируем это:
1. Если $a$ неотрицательно, а $b$ неположительно ($a \ge 0$ и $b \le 0$), то по определению модуля $|a| = a$ и $|b| = -b$. Исходное равенство $|a| = |b|$ принимает вид $a = -b$.
2. Если $a$ неположительно, а $b$ неотрицательно ($a \le 0$ и $b \ge 0$), то по определению модуля $|a| = -a$ и $|b| = b$. Исходное равенство принимает вид $-a = b$, что равносильно $a = -b$.
Таким образом, равенство $a = -b$ верно, когда знаки чисел $a$ и $b$ противоположны. Отметим, что случай $a=b=0$ также удовлетворяет этому условию, так как $0 = -0$.

Ответ: Равенство $a=-b$ выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки или оба равны нулю. Это можно записать одним условием: $a \cdot b \le 0$.

6.47. Поясните, как надо понимать записи:

а) $a \le b$;

б) $a < b < c$;

в) $a \le b < c$;

г) $a < b \le c$;

д) $a \le b \le c$.

а) Запись $a \le b$ является нестрогим (или двойным) неравенством. Она читается как "$a$ меньше или равно $b$". Это означает, что должно выполняться одно из двух условий: либо $a < b$ (число $a$ строго меньше числа $b$), либо $a = b$ (число $a$ равно числу $b$).
Ответ: $a$ меньше или равно $b$.

б) Запись $a < b < c$ представляет собой двойное строгое неравенство. Это краткая форма записи системы двух строгих неравенств, которые должны выполняться одновременно: $a < b$ и $b < c$. Это означает, что число $a$ строго меньше числа $b$, и при этом число $b$ строго меньше числа $c$. По свойству транзитивности отсюда следует, что $a < c$.
Ответ: $a$ меньше $b$, и $b$ меньше $c$.

в) Запись $a \le b < c$ представляет собой двойное смешанное неравенство. Это краткая форма записи системы двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $a \le b$ (нестрогое) и $b < c$ (строгое). Это означает, что число $a$ меньше или равно числу $b$, а число $b$ строго меньше числа $c$. Из этого следует, что $a$ всегда строго меньше $c$.
Ответ: $a$ меньше или равно $b$, и $b$ меньше $c$.

г) Запись $a < b \le c$ также является двойным смешанным неравенством. Это краткая форма записи системы двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $a < b$ (строгое) и $b \le c$ (нестрогое). Это означает, что число $a$ строго меньше числа $b$, а число $b$ меньше или равно числу $c$. Из этого также следует, что $a$ всегда строго меньше $c$.
Ответ: $a$ меньше $b$, и $b$ меньше или равно $c$.

д) Запись $a \le b \le c$ представляет собой двойное нестрогое неравенство. Это краткая форма записи системы двух нестрогих неравенств, которые должны выполняться одновременно: $a \le b$ и $b \le c$. Это означает, что число $a$ меньше или равно числу $b$, а число $b$ меньше или равно числу $c$. По свойству транзитивности отсюда следует, что $a \le c$.
Ответ: $a$ меньше или равно $b$, и $b$ меньше или равно $c$.