Номер 6.44, страница 234 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.5. Действительные числа - номер 6.44, страница 234.

Условие.

6.44. Как сравнить два действительных числа? Приведите примеры.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы сравнить два действительных числа, нужно определить, какое из них больше, какое меньше, или же они равны. Для этого существует несколько способов, основанных на определении и свойствах действительных чисел.

Основное правило сравнения (через разность)

Этот способ является формальным определением сравнения чисел. Чтобы сравнить два действительных числа $a$ и $b$, находят их разность $a - b$ и определяют ее знак:

• Если разность $a - b$ — положительное число ($a - b > 0$), то число $a$ больше числа $b$ ($a > b$).
• Если разность $a - b$ — отрицательное число ($a - b < 0$), то число $a$ меньше числа $b$ ($a < b$).
• Если разность $a - b$ равна нулю ($a - b = 0$), то числа $a$ и $b$ равны ($a = b$).

Пример: Сравнить числа $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$.
Решение: Найдем их разность: $\frac{5}{8} - \frac{8}{13} = \frac{5 \cdot 13 - 8 \cdot 8}{8 \cdot 13} = \frac{65 - 64}{104} = \frac{1}{104}$.
Так как разность $\frac{1}{104} > 0$, то первое число больше второго.
Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{8}{13}$.

Геометрический способ (с помощью числовой прямой)

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. Из двух чисел большим считается то, которое расположено на прямой правее, а меньшим — то, которое левее.

Пример: Сравнить числа $-3$ и $2$.
Решение: На числовой прямой точка $2$ находится правее точки $-3$. Следовательно, $2 > -3$.
Ответ: $2 > -3$.

Поразрядное сравнение десятичных записей

Этот метод удобен для чисел, представленных в виде десятичных дробей.

1. Сначала сравниваются знаки чисел. Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
2. Если оба числа положительные, сравниваются их целые части. Больше то число, у которого целая часть больше.
3. Если целые части равны, сравнивают дробные части поразрядно слева направо (десятые, сотые, тысячные и т.д.), до первого несовпадения. Больше то число, у которого соответствующая цифра в этом разряде больше.
4. Если оба числа отрицательные, то большим будет то, модуль (абсолютная величина) которого меньше.

Пример: Сравнить числа $7,538$ и $7,54$.
Решение: Сравниваем числа поразрядно. Целые части равны ($7=7$). Десятые доли равны ($5=5$). Сотые доли различаются: $3 < 4$. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $7,538 < 7,54$.

Сравнение иррациональных чисел (содержащих корни)

Если оба сравниваемых числа $a$ и $b$ неотрицательны, то соотношение между ними ($>$, $<$, или $=$) будет таким же, как и соотношение между их квадратами $a^2$ и $b^2$ (или любыми другими натуральными степенями).

Пример: Сравнить числа $3\sqrt{7}$ и $2\sqrt{15}$.
Решение: Оба числа положительны. Возведем их в квадрат, чтобы избавиться от корней: $(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
$(2\sqrt{15})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.
Так как $63 > 60$, то и $3\sqrt{7} > 2\sqrt{15}$.
Ответ: $3\sqrt{7} > 2\sqrt{15}$.