Номер 6.46, страница 234 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Действительные числа. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.46, страница 234.

Условие.

6.46. Пусть $|a|=|b|$. В каких случаях $a=b$ и в каких $a=-b$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Равенство $|a| = |b|$ означает, что числа $a$ и $b$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой. Это возможно, если числа либо совпадают ($a=b$), либо являются противоположными ($a=-b$). Рассмотрим подробно, при каких условиях выполняется каждое из этих равенств.

В каких случаях a = b

Равенство $a = b$ при условии $|a| = |b|$ выполняется тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или оба равны нулю. Проанализируем это, исходя из определения модуля числа:
1. Если оба числа неотрицательны ($a \ge 0$ и $b \ge 0$), то по определению модуля $|a| = a$ и $|b| = b$. В этом случае исходное равенство $|a| = |b|$ принимает вид $a = b$.
2. Если оба числа отрицательны ($a < 0$ и $b < 0$), то по определению модуля $|a| = -a$ и $|b| = -b$. Исходное равенство принимает вид $-a = -b$, что после умножения на $-1$ равносильно $a = b$.
Таким образом, равенство $a = b$ верно, когда знаки чисел $a$ и $b$ совпадают.

Ответ: Равенство $a=b$ выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или оба равны нулю. Это можно записать одним условием: $a \cdot b \ge 0$.

в каких a = -b

Равенство $a = -b$ при условии $|a| = |b|$ выполняется тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки или оба равны нулю. Проанализируем это:
1. Если $a$ неотрицательно, а $b$ неположительно ($a \ge 0$ и $b \le 0$), то по определению модуля $|a| = a$ и $|b| = -b$. Исходное равенство $|a| = |b|$ принимает вид $a = -b$.
2. Если $a$ неположительно, а $b$ неотрицательно ($a \le 0$ и $b \ge 0$), то по определению модуля $|a| = -a$ и $|b| = b$. Исходное равенство принимает вид $-a = b$, что равносильно $a = -b$.
Таким образом, равенство $a = -b$ верно, когда знаки чисел $a$ и $b$ противоположны. Отметим, что случай $a=b=0$ также удовлетворяет этому условию, так как $0 = -0$.

Ответ: Равенство $a=-b$ выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки или оба равны нулю. Это можно записать одним условием: $a \cdot b \le 0$.