Страница 230 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.25. Какие остатки могут получиться при делении натуральных чисел на:

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5;

д) 9;

е) 11?

По определению деления с остатком, при делении натурального числа на натуральное число $d$ (делитель), остаток $r$ всегда является целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя. Это можно выразить неравенством: $0 \le r < d$.
Следовательно, чтобы найти все возможные остатки при делении на число $d$, нужно перечислить все целые числа от $0$ до $d-1$ включительно.

а) При делении на 2, делитель $d=2$. Возможные остатки — это все целые числа $r$, удовлетворяющие условию $0 \le r < 2$.
Ответ: 0, 1.

б) При делении на 3, делитель $d=3$. Возможные остатки — это все целые числа $r$, удовлетворяющие условию $0 \le r < 3$.
Ответ: 0, 1, 2.

в) При делении на 4, делитель $d=4$. Возможные остатки — это все целые числа $r$, удовлетворяющие условию $0 \le r < 4$.
Ответ: 0, 1, 2, 3.

г) При делении на 5, делитель $d=5$. Возможные остатки — это все целые числа $r$, удовлетворяющие условию $0 \le r < 5$.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

д) При делении на 9, делитель $d=9$. Возможные остатки — это все целые числа $r$, удовлетворяющие условию $0 \le r < 9$.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

е) При делении на 11, делитель $d=11$. Возможные остатки — это все целые числа $r$, удовлетворяющие условию $0 \le r < 11$.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

ДОКАЗЫВАЕМ

6.26. Докажите, что если при делении натурального числа $p$ на натуральное число $q$ ($q > 1$) получается бесконечная периодическая дробь, то её период состоит не более чем из $(q - 1)$ цифр.

Рассмотрим алгоритм деления натурального числа $p$ на натуральное число $q$ ($q > 1$) "в столбик". Процесс получения цифр дробной части основан на последовательном вычислении остатков.

На каждом шаге алгоритма для нахождения очередной цифры дробной части мы умножаем предыдущий остаток на 10 и делим результат на $q$. Пусть $r_{n-1}$ — остаток на предыдущем шаге. Тогда следующая цифра $d_n$ и новый остаток $r_n$ находятся из соотношения: $10 \cdot r_{n-1} = d_n \cdot q + r_n$, где $0 \le r_n < q$.

По условию, дробь $p/q$ является бесконечной периодической. Это означает, что в процессе деления мы никогда не получим остаток, равный нулю. Если бы на каком-то шаге остаток стал равен 0, деление бы закончилось, и дробь была бы конечной.

Следовательно, все остатки $r_1, r_2, r_3, \dots$, получаемые при вычислении дробной части, являются натуральными числами. Поскольку остаток от деления на $q$ всегда строго меньше $q$, то каждый остаток может принимать только одно из значений из множества $\{1, 2, 3, \dots, q-1\}$.

Таким образом, существует всего $q-1$ возможных различных значений для ненулевых остатков. Рассмотрим последовательность первых $q$ остатков: $r_1, r_2, \dots, r_q$. В этой последовательности $q$ членов, но возможных значений для них всего $q-1$. Согласно принципу Дирихле, в этой последовательности по крайней мере два остатка должны совпасть. То есть найдутся такие индексы $j$ и $k$, что $1 \le j < k \le q$ и $r_j = r_k$.

Как только остаток повторяется, например $r_j = r_k$, то и все последующие вычисления для нахождения цифр и остатков будут циклически повторяться. Из $r_j = r_k$ следует, что $d_{j+1} = d_{k+1}$ и $r_{j+1} = r_{k+1}$, и так далее. Последовательность цифр $d_{j+1}, d_{j+2}, \dots, d_k$ образует период дроби. Длина этого периода равна $k-j$.

Поскольку $1 \le j < k \le q$, то максимальная длина периода $k-j$ не может превышать $q-1$ (например, при $k=q$ и $j=1$). Таким образом, доказано, что период дроби состоит не более чем из $q-1$ цифры.

Ответ: Утверждение доказано. Длина периода не превышает $q-1$, так как существует всего $q-1$ возможных ненулевых остатков при делении на $q$. По принципу Дирихле, один из остатков должен повториться не позднее чем через $q$ шагов вычисления дробной части, что и порождает периодичность.

6.27. а) Сколько цифр может быть в периоде десятичного разложения обыкновенной несократимой дроби со знаменателем 7?

б) В каком случае разложение обыкновенной дроби в десятичную является: конечным; бесконечным?

в) Почему десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ периодическое?

а) При переводе обыкновенной несократимой дроби $\frac{p}{q}$ в десятичную путем деления числителя на знаменатель "в столбик", мы на каждом шаге получаем некоторый остаток. При делении на 7 возможные ненулевые остатки — это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего их 6. Как только какой-либо остаток повторится, последовательность цифр в частном начнет повторяться, образуя период. Поскольку существует не более $7-1=6$ различных ненулевых остатков, длина периода не может превышать 6.
Для дробей со знаменателем 7 длина периода как раз и составляет 6 цифр. Например, для дроби $\frac{1}{7}$:
$\frac{1}{7} = 0,142857142857... = 0,(142857)$
Период состоит из 6 цифр. Для других несократимых дробей со знаменателем 7 (например, $\frac{2}{7}$, $\frac{3}{7}$ и т.д.) период будет состоять из тех же цифр, но в другой последовательности, и его длина также будет равна 6.
Ответ: 6 цифр.

б) Разложение обыкновенной несократимой дроби в десятичную является:
- конечным, если в разложении ее знаменателя на простые множители нет других чисел, кроме 2 и 5. То есть знаменатель имеет вид $q = 2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа.
- бесконечным (периодическим), если в разложении ее знаменателя на простые множители есть хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.).
Ответ: Разложение конечно, если знаменатель несократимой дроби содержит только простые множители 2 и 5. Разложение бесконечно, если знаменатель содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

в) Десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ является периодическим, потому что эта дробь несократима, и ее знаменатель (число 7) содержит простой множитель (само число 7), который отличен от 2 и 5. Согласно правилу, изложенному в пункте б), такая дробь представляется в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Также это можно объяснить процессом деления. При делении 3 на 7 в столбик получаемые остатки могут быть только из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Так как количество возможных остатков конечно, на каком-то шаге один из них обязательно повторится. С этого момента начнется повторение цифр в частном.
Процесс деления $3 \div 7$:
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2) - остаток 2 повторился, начался новый цикл.
Таким образом, $\frac{3}{7} = 0,428571428571... = 0,(428571)$.
Ответ: Потому что знаменатель дроби, равный 7, содержит простой множитель, отличный от 2 и 5.

6.28. Разложите обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель уголком:

а) $\frac{1}{11}$;

б) $\frac{2}{11}$;

в) $\frac{1}{12}$;

г) $\frac{5}{12}$;

д) $\frac{1}{7}$;

е) $\frac{5}{7}$;

ж) $\frac{2}{7}$;

з) $\frac{1}{33}$.

а) Чтобы разложить дробь $1/11$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 11 уголком.
1. Так как 1 меньше 11, в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. К 1 приписываем 0, получаем 10. 10 меньше 11, поэтому в частном после запятой пишем 0.
3. Приписываем еще один 0, получаем 100. Делим 100 на 11, получаем 9. $11 \cdot 9 = 99$. Остаток от деления: $100 - 99 = 1$.
4. К остатку 1 приписываем 0, получаем 10. 10 меньше 11, поэтому в частном пишем 0.
5. Приписываем еще один 0, получаем 100. Делим 100 на 11, получаем 9. Остаток 1.
Процесс повторяется, так как остаток 1 снова появился. В частном повторяется группа цифр "09".
Таким образом, $1/11 = 0,0909... = 0,(09)$.
Ответ: $0,(09)$

б) Разделим числитель 2 на знаменатель 11 уголком, чтобы разложить дробь $2/11$.
1. 2 меньше 11, поэтому в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. К 2 приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 11, получаем 1. $11 \cdot 1 = 11$. Остаток: $20 - 11 = 9$.
3. К остатку 9 приписываем 0, получаем 90. Делим 90 на 11, получаем 8. $11 \cdot 8 = 88$. Остаток: $90 - 88 = 2$.
4. Остаток 2 равен исходному числителю. Это означает, что деление будет повторяться. В частном повторяется группа цифр "18".
Таким образом, $2/11 = 0,1818... = 0,(18)$.
Ответ: $0,(18)$

в) Разделим числитель 1 на знаменатель 12 уголком, чтобы разложить дробь $1/12$.
1. 1 меньше 12, поэтому в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. К 1 приписываем 0, получаем 10. 10 меньше 12, поэтому в частном после запятой пишем 0.
3. Приписываем еще один 0, получаем 100. Делим 100 на 12, получаем 8. $12 \cdot 8 = 96$. Остаток: $100 - 96 = 4$.
4. К остатку 4 приписываем 0, получаем 40. Делим 40 на 12, получаем 3. $12 \cdot 3 = 36$. Остаток: $40 - 36 = 4$.
5. Остаток 4 повторяется, значит, в частном будет повторяться цифра 3.
Таким образом, $1/12 = 0,0833... = 0,08(3)$.
Ответ: $0,08(3)$

г) Разделим числитель 5 на знаменатель 12 уголком, чтобы разложить дробь $5/12$.
1. 5 меньше 12, в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. К 5 приписываем 0, получаем 50. Делим 50 на 12, получаем 4. $12 \cdot 4 = 48$. Остаток: $50 - 48 = 2$.
3. К остатку 2 приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 12, получаем 1. $12 \cdot 1 = 12$. Остаток: $20 - 12 = 8$.
4. К остатку 8 приписываем 0, получаем 80. Делим 80 на 12, получаем 6. $12 \cdot 6 = 72$. Остаток: $80 - 72 = 8$.
5. Остаток 8 повторяется, значит, в частном будет повторяться цифра 6.
Таким образом, $5/12 = 0,4166... = 0,41(6)$.
Ответ: $0,41(6)$

д) Разделим числитель 1 на знаменатель 7 уголком, чтобы разложить дробь $1/7$.
1. 1 меньше 7, в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. 10 делим на 7, получаем 1. Остаток 3.
3. 30 делим на 7, получаем 4. Остаток 2.
4. 20 делим на 7, получаем 2. Остаток 6.
5. 60 делим на 7, получаем 8. Остаток 4.
6. 40 делим на 7, получаем 5. Остаток 5.
7. 50 делим на 7, получаем 7. Остаток 1.
8. Остаток 1 равен исходному числителю, значит, последовательность цифр "142857" будет повторяться.
Таким образом, $1/7 = 0,142857... = 0,(142857)$.
Ответ: $0,(142857)$

е) Разделим числитель 5 на знаменатель 7 уголком, чтобы разложить дробь $5/7$.
1. 5 меньше 7, в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. 50 делим на 7, получаем 7. Остаток 1.
3. 10 делим на 7, получаем 1. Остаток 3.
4. 30 делим на 7, получаем 4. Остаток 2.
5. 20 делим на 7, получаем 2. Остаток 6.
6. 60 делим на 7, получаем 8. Остаток 4.
7. 40 делим на 7, получаем 5. Остаток 5.
8. Остаток 5 равен исходному числителю, значит, последовательность цифр "714285" будет повторяться.
Таким образом, $5/7 = 0,714285... = 0,(714285)$.
Ответ: $0,(714285)$

ж) Разделим числитель 2 на знаменатель 7 уголком, чтобы разложить дробь $2/7$.
1. 2 меньше 7, в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. 20 делим на 7, получаем 2. Остаток 6.
3. 60 делим на 7, получаем 8. Остаток 4.
4. 40 делим на 7, получаем 5. Остаток 5.
5. 50 делим на 7, получаем 7. Остаток 1.
6. 10 делим на 7, получаем 1. Остаток 3.
7. 30 делим на 7, получаем 4. Остаток 2.
8. Остаток 2 равен исходному числителю, значит, последовательность цифр "285714" будет повторяться.
Таким образом, $2/7 = 0,285714... = 0,(285714)$.
Ответ: $0,(285714)$

з) Разделим числитель 1 на знаменатель 33 уголком, чтобы разложить дробь $1/33$.
1. 1 меньше 33, в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. К 1 приписываем 0, получаем 10. 10 меньше 33, поэтому в частном после запятой пишем 0.
3. Приписываем еще один 0, получаем 100. Делим 100 на 33, получаем 3. $33 \cdot 3 = 99$. Остаток: $100 - 99 = 1$.
4. Остаток 1 равен исходному числителю. Это означает, что деление будет повторяться. В частном повторяется группа цифр "03".
Таким образом, $1/33 = 0,0303... = 0,(03)$.
Ответ: $0,(03)$

6.29. Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

а) $1.\overline{8}$;

б) $0.\overline{3}$;

в) $0.\overline{7}$;

г) $3.\overline{5}$;

д) $0.1\overline{2}$;

е) $1.12\overline{3}$;

ж) $7.5\overline{4}$;

з) $0.\overline{35}$;

и) $0.\overline{59}$;

к) $0.\overline{12}$;

л) $1.0\overline{12}$;

м) $8.7\overline{21}$.

а) 1,(8)
Пусть $x = 1,(8) = 1,888...$. Умножим обе части на 10:
$10x = 18,888...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 18,888... - 1,888...$
$9x = 17$
$x = \frac{17}{9}$.
Ответ: $\frac{17}{9}$

б) 0,(3)
Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$. Умножим на 10:
$10x = 3,333...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) 0,(7)
Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$. Умножим на 10:
$10x = 7,777...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$x = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$

г) 3,(5)
Пусть $x = 3,(5) = 3,555...$. Умножим на 10:
$10x = 35,555...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 35,555... - 3,555...$
$9x = 32$
$x = \frac{32}{9}$.
Ответ: $\frac{32}{9}$

д) 0,1(2)
Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$.
Умножим на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:
$10x = 1,222...$
Умножим еще на 10, чтобы сдвинуть запятую на один периодический знак:
$100x = 12,222...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$
$90x = 11$
$x = \frac{11}{90}$.
Ответ: $\frac{11}{90}$

е) 1,12(3)
Пусть $x = 1,12(3) = 1,12333...$.
Умножим на 100, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:
$100x = 112,333...$
Умножим еще на 10:
$1000x = 1123,333...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$1000x - 100x = 1123,333... - 112,333...$
$900x = 1011$
$x = \frac{1011}{900} = \frac{1011 \div 3}{900 \div 3} = \frac{337}{300}$.
Ответ: $\frac{337}{300}$

ж) 7,5(4)
Пусть $x = 7,5(4) = 7,5444...$.
Умножим на 10:
$10x = 75,444...$
Умножим еще на 10:
$100x = 754,444...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$100x - 10x = 754,444... - 75,444...$
$90x = 679$
$x = \frac{679}{90}$.
Ответ: $\frac{679}{90}$

з) 0,(35)
Пусть $x = 0,(35) = 0,353535...$. Период состоит из двух цифр, поэтому умножим на 100:
$100x = 35,353535...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 35,353535... - 0,353535...$
$99x = 35$
$x = \frac{35}{99}$.
Ответ: $\frac{35}{99}$

и) 0,(59)
Пусть $x = 0,(59) = 0,595959...$. Период состоит из двух цифр, умножим на 100:
$100x = 59,595959...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 59,595959... - 0,595959...$
$99x = 59$
$x = \frac{59}{99}$.
Ответ: $\frac{59}{99}$

к) 0,(12)
Пусть $x = 0,(12) = 0,121212...$. Период состоит из двух цифр, умножим на 100:
$100x = 12,121212...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99} = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$.
Ответ: $\frac{4}{33}$

л) 1,0(12)
Пусть $x = 1,0(12) = 1,0121212...$.
Умножим на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:
$10x = 10,121212...$
Период состоит из двух цифр, умножим еще на 100:
$1000x = 1012,121212...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$1000x - 10x = 1012,121212... - 10,121212...$
$990x = 1002$
$x = \frac{1002}{990} = \frac{1002 \div 6}{990 \div 6} = \frac{167}{165}$.
Ответ: $\frac{167}{165}$

м) 8,7(21)
Пусть $x = 8,7(21) = 8,7212121...$.
Умножим на 10:
$10x = 87,212121...$
Период состоит из двух цифр, умножим еще на 100:
$1000x = 8721,212121...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$1000x - 10x = 8721,212121... - 87,212121...$
$990x = 8634$
$x = \frac{8634}{990} = \frac{8634 \div 6}{990 \div 6} = \frac{1439}{165}$.
Ответ: $\frac{1439}{165}$

6.30. Покажите, что периодическая дробь с периодом 9 равна конечной десятичной дроби:

а) $0,3(9) = 0,4$;

б) $1,2(9) = 1,3$.

а)

Чтобы доказать, что $0,3(9) = 0,4$, мы преобразуем периодическую дробь $0,3(9)$ в обыкновенную дробь.

Пусть $x = 0,3(9)$. Это означает, что $x = 0,3999...$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую вправо на один знак (за непериодическую часть):

$10x = 3,999...$

Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую вправо на два знака (за непериодическую часть и первый знак периода):

$100x = 39,999...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:

$100x - 10x = 39,999... - 3,999...$

$90x = 36$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{36}{90}$

Сократим полученную дробь:

$x = \frac{36 \div 18}{90 \div 18} = \frac{2}{5}$

Или, что то же самое, приведем к знаменателю 10:

$x = \frac{36 \div 9}{90 \div 9} = \frac{4}{10} = 0,4$

Таким образом, мы показали, что $0,3(9) = 0,4$.

Ответ: $0,3(9) = 0,4$

б)

Аналогично докажем, что $1,2(9) = 1,3$. Преобразуем периодическую дробь $1,2(9)$ в обыкновенную.

Пусть $x = 1,2(9)$. Это означает, что $x = 1,2999...$

Умножим обе части уравнения на 10:

$10x = 12,999...$

Умножим исходное уравнение на 100:

$100x = 129,999...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$100x - 10x = 129,999... - 12,999...$

$90x = 117$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{117}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:

$x = \frac{117 \div 9}{90 \div 9} = \frac{13}{10} = 1,3$

Таким образом, мы показали, что $1,2(9) = 1,3$.

Ответ: $1,2(9) = 1,3$