Страница 225 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.13. В каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь?

Для того чтобы обыкновенную несократимую дробь $\frac{m}{n}$ можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо, чтобы ее можно было привести к знаменателю, равному степени числа 10. Поскольку разложение числа 10 на простые множители — это $2 \cdot 5$, то и любая степень десяти ($10^k = 2^k \cdot 5^k$) будет состоять только из этих простых множителей.

Это означает, что конечную десятичную дробь можно получить только из тех несократимых обыкновенных дробей, знаменатели которых в своем разложении на простые множители содержат только числа 2 и 5.

Следовательно, несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь в том случае, если ее знаменатель содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5. При делении числителя на такой знаменатель получится бесконечная периодическая десятичная дробь.

Например, дробь $\frac{7}{30}$ является несократимой. Ее знаменатель $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Так как в разложении присутствует множитель 3, дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной: $\frac{7}{30} = 0,233... = 0,2(3)$.

Ответ: Несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь, если разложение ее знаменателя на простые множители содержит хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.

6.14. Каким способом любую обыкновенную дробь можно разложить в десятичную?

Чтобы любую обыкновенную дробь вида $\frac{a}{b}$ разложить, или преобразовать, в десятичную, необходимо выполнить деление числителя $a$ на знаменатель $b$. Чаще всего это делают с помощью деления в столбик (уголком).

При выполнении этого действия возможны два исхода:

• Получается конечная десятичная дробь.
  Это происходит, когда в процессе деления на каком-то шаге остаток становится равным нулю. Деление на этом завершается.
  Например, преобразуем дробь $\frac{7}{8}$ в десятичную. Разделим 7 на 8 в столбик:
  $7 \div 8 = 0,875$.

• Получается бесконечная периодическая десятичная дробь.
  Это происходит, когда в процессе деления остатки начинают повторяться, из-за чего в частном также начинает повторяться определенная цифра или группа цифр. Такое деление никогда не заканчивается. Повторяющаяся группа цифр называется периодом, и при записи ее заключают в скобки.
  Например, преобразуем дробь $\frac{5}{11}$ в десятичную. Разделим 5 на 11 в столбик:
  $5 \div 11 = 0,454545... = 0,(45)$.

Следовательно, деление числителя на знаменатель является универсальным способом для преобразования любой обыкновенной дроби в десятичную.

Ответ: Чтобы разложить обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить ее числитель на знаменатель.

6.15. Какие десятичные дроби можно получить при делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель?

При делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель можно получить два вида десятичных дробей. Это зависит от того, обращается ли остаток от деления в ноль на каком-либо шаге или нет.

1. Конечная десятичная дробь

Этот вид дроби получается, когда процесс деления завершается, то есть на одном из шагов остаток становится равным нулю. Обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя на простые множители нет других чисел, кроме 2 и 5.

Например, преобразуем дробь $ \frac{3}{8} $ в десятичную. Знаменатель $ 8 = 2^3 $.

$ 3 \div 8 = 0.375 $

Деление заканчивается, так как мы получаем остаток 0, и результатом является конечная десятичная дробь.

2. Бесконечная периодическая десятичная дробь

Этот вид дроби получается, если в процессе деления остаток никогда не становится равным нулю. Поскольку при делении на число n количество возможных остатков конечно (оно меньше n), то на каком-то шаге один из остатков обязательно повторится. С этого момента последовательность цифр в частном также начнёт циклически повторяться. Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби.

Например, преобразуем дробь $ \frac{2}{3} $ в десятичную.

$ 2 \div 3 = 0.666... = 0.(6) $

Здесь остаток 2 постоянно повторяется, что приводит к бесконечному повторению цифры 6 в частном. Эта дробь является бесконечной периодической.

Таким образом, любая обыкновенная дробь, которая представляет собой рациональное число, может быть записана либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Ответ: Можно получить конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.

? 6.16.

Как узнать, в какую десятичную дробь разлагается обыкновенная дробь — в конечную или в бесконечную? Приведите примеры.

Чтобы узнать, в какую десятичную дробь разлагается обыкновенная дробь (в конечную или в бесконечную), нужно проанализировать знаменатель этой дроби после того, как она будет приведена к несократимому виду.

Основное правило

Несократимая обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$ может быть преобразована в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда её знаменатель $b$ при разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5.

Если в разложении знаменателя на простые множители содержится хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), то дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Алгоритм определения:

1. Если дробь сократимая, сократить её.
2. Разложить знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители.
3. Посмотреть на состав множителей:
   • Если в разложении есть только множители 2 и 5 (в любых степенях), дробь будет конечной.
   • Если в разложении есть любой другой простой множитель (3, 7, 11 и т.д.), дробь будет бесконечной.

Примеры

1. Дробь $\frac{13}{40}$
Дробь является несократимой. Разложим знаменатель 40 на простые множители: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^1$.
В разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5. Следовательно, эта дробь разлагается в конечную десятичную дробь.
Проверка: $\frac{13}{40} = \frac{13 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{325}{1000} = 0.325$.
Ответ: Конечная десятичная дробь.

2. Дробь $\frac{1}{6}$
Дробь является несократимой. Разложим знаменатель 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.
В разложении знаменателя, кроме множителя 2, есть множитель 3. Следовательно, эта дробь разлагается в бесконечную десятичную дробь.
Проверка: $1 \div 6 = 0.1666... = 0.1(6)$.
Ответ: Бесконечная десятичная дробь.

3. Дробь $\frac{12}{75}$
Сначала сократим дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3: $\frac{12}{75} = \frac{12 \div 3}{75 \div 3} = \frac{4}{25}$.
Теперь анализируем несократимую дробь $\frac{4}{25}$. Разложим знаменатель 25 на простые множители: $25 = 5^2$.
В разложении знаменателя содержится только множитель 5. Следовательно, эта дробь разлагается в конечную десятичную дробь.
Проверка: $\frac{4}{25} = \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{16}{100} = 0.16$.
Ответ: Конечная десятичная дробь.