Номер 6.16, страница 225 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.2. Бесконечные периодические десятичные дроби - номер 6.16, страница 225.

Условие.

? 6.16.

Как узнать, в какую десятичную дробь разлагается обыкновенная дробь — в конечную или в бесконечную? Приведите примеры.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы узнать, в какую десятичную дробь разлагается обыкновенная дробь (в конечную или в бесконечную), нужно проанализировать знаменатель этой дроби после того, как она будет приведена к несократимому виду.

Основное правило

Несократимая обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$ может быть преобразована в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда её знаменатель $b$ при разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5.

Если в разложении знаменателя на простые множители содержится хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), то дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Алгоритм определения:

1. Если дробь сократимая, сократить её.
2. Разложить знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители.
3. Посмотреть на состав множителей:
   • Если в разложении есть только множители 2 и 5 (в любых степенях), дробь будет конечной.
   • Если в разложении есть любой другой простой множитель (3, 7, 11 и т.д.), дробь будет бесконечной.

Примеры

1. Дробь $\frac{13}{40}$
Дробь является несократимой. Разложим знаменатель 40 на простые множители: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^1$.
В разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5. Следовательно, эта дробь разлагается в конечную десятичную дробь.
Проверка: $\frac{13}{40} = \frac{13 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{325}{1000} = 0.325$.
Ответ: Конечная десятичная дробь.

2. Дробь $\frac{1}{6}$
Дробь является несократимой. Разложим знаменатель 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.
В разложении знаменателя, кроме множителя 2, есть множитель 3. Следовательно, эта дробь разлагается в бесконечную десятичную дробь.
Проверка: $1 \div 6 = 0.1666... = 0.1(6)$.
Ответ: Бесконечная десятичная дробь.

3. Дробь $\frac{12}{75}$
Сначала сократим дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3: $\frac{12}{75} = \frac{12 \div 3}{75 \div 3} = \frac{4}{25}$.
Теперь анализируем несократимую дробь $\frac{4}{25}$. Разложим знаменатель 25 на простые множители: $25 = 5^2$.
В разложении знаменателя содержится только множитель 5. Следовательно, эта дробь разлагается в конечную десятичную дробь.
Проверка: $\frac{4}{25} = \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{16}{100} = 0.16$.
Ответ: Конечная десятичная дробь.