Номер 6.12, страница 223 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.1. Разложение положительной обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.12, страница 223.

Условие.

6.12. Можно ли разложить данную обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь (ответ обосновать):

а) $\frac{1}{7}$;

б) $\frac{6}{48}$;

в) $\frac{7}{352}$;

г) $\frac{12}{56}$;

д) $\frac{120}{38}$;

е) $\frac{12}{96}$;

ж) $\frac{21}{75}$;

з) $\frac{7}{300}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, можно ли обыкновенную дробь разложить в конечную десятичную, необходимо следовать правилу: несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда разложение её знаменателя на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5.

Проверим каждую дробь согласно этому правилу.

а) $\frac{1}{7}$

Дробь является несократимой. Знаменатель равен 7. Это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь.

Ответ: нельзя.

б) $\frac{6}{48}$

Сначала сократим дробь: $\frac{6}{48} = \frac{6 \div 6}{48 \div 6} = \frac{1}{8}$. Знаменатель несократимой дроби равен 8. Разложим его на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Так как разложение знаменателя содержит только множитель 2, данную дробь можно разложить в конечную десятичную дробь.

Ответ: можно.

в) $\frac{7}{352}$

Проверим, является ли дробь сократимой. Число 352 не делится на 7 ($352 = 50 \cdot 7 + 2$), значит, дробь несократимая. Разложим знаменатель 352 на простые множители: $352 = 2 \cdot 176 = 2 \cdot 2 \cdot 88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22 = 2^5 \cdot 11$. Разложение знаменателя содержит простой множитель 11, который отличен от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь.

Ответ: нельзя.

г) $\frac{12}{56}$

Сначала сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4: $\frac{12}{56} = \frac{12 \div 4}{56 \div 4} = \frac{3}{14}$. Знаменатель несократимой дроби равен 14. Разложим его на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$. Разложение знаменателя содержит простой множитель 7, который отличен от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь.

Ответ: нельзя.

д) $\frac{120}{38}$

Сначала сократим дробь: $\frac{120}{38} = \frac{120 \div 2}{38 \div 2} = \frac{60}{19}$. Знаменатель несократимой дроби равен 19. Число 19 является простым и отличным от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь.

Ответ: нельзя.

е) $\frac{12}{96}$

Сначала сократим дробь: $\frac{12}{96} = \frac{12 \div 12}{96 \div 12} = \frac{1}{8}$. Знаменатель несократимой дроби равен 8. Разложим его на простые множители: $8 = 2^3$. Так как разложение знаменателя содержит только множитель 2, данную дробь можно разложить в конечную десятичную дробь.

Ответ: можно.

ж) $\frac{21}{75}$

Сначала сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{21}{75} = \frac{21 \div 3}{75 \div 3} = \frac{7}{25}$. Знаменатель несократимой дроби равен 25. Разложим его на простые множители: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$. Так как разложение знаменателя содержит только множитель 5, данную дробь можно разложить в конечную десятичную дробь.

Ответ: можно.

з) $\frac{7}{300}$

Проверим, является ли дробь сократимой. 300 не делится на 7. Дробь несократимая. Разложим знаменатель 300 на простые множители: $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$. Разложение знаменателя содержит простой множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь.

Ответ: нельзя.