Номер 6.15, страница 225 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.2. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.15, страница 225.

Условие.

6.15. Какие десятичные дроби можно получить при делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

При делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель можно получить два вида десятичных дробей. Это зависит от того, обращается ли остаток от деления в ноль на каком-либо шаге или нет.

1. Конечная десятичная дробь

Этот вид дроби получается, когда процесс деления завершается, то есть на одном из шагов остаток становится равным нулю. Обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя на простые множители нет других чисел, кроме 2 и 5.

Например, преобразуем дробь $ \frac{3}{8} $ в десятичную. Знаменатель $ 8 = 2^3 $.

$ 3 \div 8 = 0.375 $

Деление заканчивается, так как мы получаем остаток 0, и результатом является конечная десятичная дробь.

2. Бесконечная периодическая десятичная дробь

Этот вид дроби получается, если в процессе деления остаток никогда не становится равным нулю. Поскольку при делении на число n количество возможных остатков конечно (оно меньше n), то на каком-то шаге один из остатков обязательно повторится. С этого момента последовательность цифр в частном также начнёт циклически повторяться. Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби.

Например, преобразуем дробь $ \frac{2}{3} $ в десятичную.

$ 2 \div 3 = 0.666... = 0.(6) $

Здесь остаток 2 постоянно повторяется, что приводит к бесконечному повторению цифры 6 в частном. Эта дробь является бесконечной периодической.

Таким образом, любая обыкновенная дробь, которая представляет собой рациональное число, может быть записана либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Ответ: Можно получить конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.