Страница 222 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.

Чтобы обыкновенная несократимая дробь могла быть представлена в виде конечной десятичной дроби, её знаменатель при разложении на простые множители должен содержать только простые делители 2 и 5. Иными словами, если дробь имеет вид $p/q$, то знаменатель $q$ должен быть представим в виде $q = 2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа.

Это правило следует из того, что любая конечная десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Поскольку разложение числа 10 на простые множители это $10 = 2 \cdot 5$, то любая степень десяти ($10^k$) в своем разложении на простые множители также будет содержать только 2 и 5. Если знаменатель исходной дроби имеет такой же набор простых множителей, мы всегда можем домножить числитель и знаменатель на недостающие множители, чтобы получить в знаменателе степень десяти.

Примеры

Примеры дробей, которые разлагаются в конечную десятичную:

- Дробь $7/20$. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5^1$. Содержит только множители 2 и 5. Преобразование: $7/20 = 35/100 = 0,35$.

- Дробь $3/8$. Знаменатель $8 = 2^3$. Содержит только множитель 2. Преобразование: $3/8 = 375/1000 = 0,375$.

- Дробь $11/25$. Знаменатель $25 = 5^2$. Содержит только множитель 5. Преобразование: $11/25 = 44/100 = 0,44$.

Примеры дробей, которые НЕ разлагаются в конечную десятичную (превращаются в бесконечные периодические):

- Дробь $5/6$. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. Содержит простой множитель 3. Результат: $0,8(3)$.

- Дробь $4/15$. Знаменатель $15 = 3 \cdot 5$. Содержит простой множитель 3. Результат: $0,2(6)$.

Ответ: Знаменатель обыкновенной несократимой дроби должен иметь в своем разложении на простые множители только числа 2 и 5.

6.3. Какими способами можно разложить обыкновенную дробь в десятичную? Приведите примеры.

Обыкновенную дробь можно разложить в десятичную двумя основными способами.

Способ 1: Приведение знаменателя к степени 10

Этот способ подходит для дробей, которые можно представить в виде конечной десятичной дроби. Это возможно, если знаменатель несократимой дроби в разложении на простые множители содержит только множители 2 и 5. Суть способа в том, чтобы, используя основное свойство дроби, умножить её числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д.

Пример 1. Перевести дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную.

Знаменатель равен 4. Ближайшая степень десяти, которая делится на 4 без остатка, — это 100. Чтобы получить 100, нужно 4 умножить на 25. Умножаем и числитель, и знаменатель на 25:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75$

Пример 2. Перевести дробь $\frac{7}{20}$ в десятичную.

Знаменатель равен 20. Чтобы получить 100, нужно 20 умножить на 5. Умножаем числитель и знаменатель на 5:

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35$

Ответ: Привести знаменатель к 10, 100, 1000 и т.д., домножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель, например: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75$.

Способ 2: Деление числителя на знаменатель

Это универсальный способ, который подходит для любой обыкновенной дроби. Необходимо просто разделить числитель на знаменатель "уголком". В результате можно получить как конечную, так и бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример 1 (конечная дробь). Перевести дробь $\frac{3}{4}$.

Делим 3 на 4. Получаем 0,75. $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$.

Пример 2 (бесконечная периодическая дробь). Перевести дробь $\frac{1}{3}$.

При делении 1 на 3 "уголком" получается бесконечная последовательность цифр 3 после запятой: $0,333...$ Такую дробь записывают с использованием периода: $0,(3)$.

$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$

Пример 3 (смешанная периодическая дробь). Перевести дробь $\frac{7}{12}$.

При делении 7 на 12 "уголком" получаем $0,58333...$. Цифра 3 начинает бесконечно повторяться после цифр 5 и 8. Это записывается как $0,58(3)$.

$\frac{7}{12} = 7 \div 12 = 0,58333... = 0,58(3)$

Ответ: Разделить числитель на знаменатель. Этот способ работает всегда и позволяет получить как конечные ($\frac{3}{4} = 0,75$), так и бесконечные периодические дроби ($\frac{1}{3} = 0,(3)$).

6.4. Какие простые множители содержит знаменатель дроби:

а) $\frac{1}{64}$;

б) $\frac{1}{48}$;

в) $\frac{1}{56}$;

г) $\frac{1}{24}$;

д) $\frac{1}{128}$;

е) $\frac{1}{78}$;

ж) $\frac{1}{256}$;

з) $\frac{1}{625}$;

и) $\frac{1}{10}$;

к) $\frac{1}{100}$;

л) $\frac{1}{1000}$;

м) $\frac{1}{10000}$?

а) Знаменатель дроби $\frac{1}{64}$ равен 64. Чтобы найти простые множители, разложим число 64 на множители. Поскольку 64 — это степень двойки, его единственным простым множителем будет 2.
$64 = 2 \cdot 32 = 2 \cdot 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.
Ответ: 2.

б) Знаменатель дроби $\frac{1}{48}$ равен 48. Разложим число 48 на простые множители:
$48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot (2 \cdot 12) = 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 6) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3$.
Простыми множителями являются 2 и 3.
Ответ: 2, 3.

в) Знаменатель дроби $\frac{1}{56}$ равен 56. Разложим число 56 на простые множители:
$56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot (2 \cdot 14) = 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 7) = 2^3 \cdot 7$.
Простыми множителями являются 2 и 7.
Ответ: 2, 7.

г) Знаменатель дроби $\frac{1}{24}$ равен 24. Разложим число 24 на простые множители:
$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot (2 \cdot 6) = 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3$.
Простыми множителями являются 2 и 3.
Ответ: 2, 3.

д) Знаменатель дроби $\frac{1}{128}$ равен 128. Разложим число 128 на простые множители. 128 — это степень двойки.
$128 = 2 \cdot 64 = 2 \cdot 2^6 = 2^7$.
Единственный простой множитель — 2.
Ответ: 2.

е) Знаменатель дроби $\frac{1}{78}$ равен 78. Разложим число 78 на простые множители:
$78 = 2 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 13$.
Простыми множителями являются 2, 3 и 13.
Ответ: 2, 3, 13.

ж) Знаменатель дроби $\frac{1}{256}$ равен 256. Разложим число 256 на простые множители. 256 — это степень двойки.
$256 = 2 \cdot 128 = 2 \cdot 2^7 = 2^8$.
Единственный простой множитель — 2.
Ответ: 2.

з) Знаменатель дроби $\frac{1}{625}$ равен 625. Разложим число 625 на простые множители. 625 — это степень пятерки.
$625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.
Единственный простой множитель — 5.
Ответ: 5.

и) Знаменатель дроби $\frac{1}{10}$ равен 10. Разложим число 10 на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$.
Простыми множителями являются 2 и 5.
Ответ: 2, 5.

к) Знаменатель дроби $\frac{1}{100}$ равен 100. Разложим число 100 на простые множители:
$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.
Простыми множителями являются 2 и 5.
Ответ: 2, 5.

л) Знаменатель дроби $\frac{1}{1000}$ равен 1000. Разложим число 1000 на простые множители:
$1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.
Простыми множителями являются 2 и 5.
Ответ: 2, 5.

м) Знаменатель дроби $\frac{1}{10000}$ равен 10000. Разложим число 10000 на простые множители:
$10000 = 100 \cdot 100 = (2^2 \cdot 5^2) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^4 \cdot 5^4$.
Простыми множителями являются 2 и 5.
Ответ: 2, 5.

6.5. Сократите дробь:

а) $\frac{24}{60}$;

б) $\frac{15}{20}$;

в) $\frac{65}{100}$;

г) $\frac{94}{100}$;

д) $\frac{21}{30}$;

е) $\frac{16}{400}$;

ж) $\frac{8}{100}$;

з) $\frac{8}{1000}$.

а) Чтобы сократить дробь, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Для дроби $ \frac{24}{60} $ найдем НОД чисел 24 и 60. Наибольшее число, на которое делятся и 24, и 60, это 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:
$ \frac{24}{60} = \frac{24 \div 12}{60 \div 12} = \frac{2}{5} $
Ответ: $ \frac{2}{5} $

б) Для дроби $ \frac{15}{20} $ найдем наибольший общий делитель для 15 и 20. Оба числа делятся на 5. Это и есть их НОД. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} $
Ответ: $ \frac{3}{4} $

в) Для дроби $ \frac{65}{100} $ найдем НОД для 65 и 100. Оба числа оканчиваются на 5 или 0, следовательно, они делятся на 5. НОД(65, 100) = 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{65}{100} = \frac{65 \div 5}{100 \div 5} = \frac{13}{20} $
Ответ: $ \frac{13}{20} $

г) Для дроби $ \frac{94}{100} $ найдем НОД для 94 и 100. Оба числа являются четными, значит, они делятся на 2. $94 = 2 \times 47$, а $100 = 2 \times 50$. Поскольку 47 — простое число, НОД(94, 100) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{94}{100} = \frac{94 \div 2}{100 \div 2} = \frac{47}{50} $
Ответ: $ \frac{47}{50} $

д) Для дроби $ \frac{21}{30} $ найдем НОД для 21 и 30. Оба числа делятся на 3. НОД(21, 30) = 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{21}{30} = \frac{21 \div 3}{30 \div 3} = \frac{7}{10} $
Ответ: $ \frac{7}{10} $

е) Для дроби $ \frac{16}{400} $ найдем НОД для 16 и 400. Заметим, что $400 = 16 \times 25$. Значит, НОД(16, 400) = 16. Разделим числитель и знаменатель на 16:
$ \frac{16}{400} = \frac{16 \div 16}{400 \div 16} = \frac{1}{25} $
Ответ: $ \frac{1}{25} $

ж) Для дроби $ \frac{8}{100} $ найдем НОД для 8 и 100. Оба числа делятся на 4. НОД(8, 100) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{8}{100} = \frac{8 \div 4}{100 \div 4} = \frac{2}{25} $
Ответ: $ \frac{2}{25} $

з) Для дроби $ \frac{8}{1000} $ найдем НОД для 8 и 1000. Заметим, что 1000 делится на 8, так как $1000 = 8 \times 125$. Значит, НОД(8, 1000) = 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$ \frac{8}{1000} = \frac{8 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{1}{125} $
Ответ: $ \frac{1}{125} $

6.6. Запишите в виде обыкновенной несократимой дроби:

а) $0,4$;

б) $0,12$;

в) $0,125$;

г) $1,2$;

д) $0,45$;

е) $0,04$;

ж) $1,008$;

з) $0,0018$.

а) Чтобы записать десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной несократимой дроби, сначала представим её в виде дроби со знаменателем 10: $0,4 = \frac{4}{10}$. Затем сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2: $\frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5}$. Ответ: $\frac{2}{5}$

б) Десятичную дробь 0,12 запишем как дробь со знаменателем 100: $0,12 = \frac{12}{100}$. Наибольший общий делитель для 12 и 100 равен 4. Сокращаем дробь: $\frac{12 \div 4}{100 \div 4} = \frac{3}{25}$. Ответ: $\frac{3}{25}$

в) Десятичную дробь 0,125 запишем как дробь со знаменателем 1000: $0,125 = \frac{125}{1000}$. Наибольший общий делитель для 125 и 1000 равен 125. Сокращаем дробь: $\frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8}$. Ответ: $\frac{1}{8}$

г) Десятичную дробь 1,2 представим в виде неправильной дроби со знаменателем 10: $1,2 = \frac{12}{10}$. Наибольший общий делитель для 12 и 10 равен 2. Сокращаем дробь: $\frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5}$. Ответ: $\frac{6}{5}$

д) Десятичную дробь 0,45 запишем как дробь со знаменателем 100: $0,45 = \frac{45}{100}$. Наибольший общий делитель для 45 и 100 равен 5. Сокращаем дробь: $\frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$. Ответ: $\frac{9}{20}$

е) Десятичную дробь 0,04 запишем как дробь со знаменателем 100: $0,04 = \frac{4}{100}$. Наибольший общий делитель для 4 и 100 равен 4. Сокращаем дробь: $\frac{4 \div 4}{100 \div 4} = \frac{1}{25}$. Ответ: $\frac{1}{25}$

ж) Десятичную дробь 1,008 представим в виде неправильной дроби со знаменателем 1000: $1,008 = \frac{1008}{1000}$. Наибольший общий делитель для 1008 и 1000 равен 8. Сокращаем дробь: $\frac{1008 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{126}{125}$. Ответ: $\frac{126}{125}$

з) Десятичную дробь 0,0018 запишем как дробь со знаменателем 10000: $0,0018 = \frac{18}{10000}$. Наибольший общий делитель для 18 и 10000 равен 2. Сокращаем дробь: $\frac{18 \div 2}{10000 \div 2} = \frac{9}{5000}$. Ответ: $\frac{9}{5000}$

6.7. Приведите дробь к знаменателю 10, или 100, или 1000:

а) $\frac{1}{2}$; б) $\frac{1}{4}$; в) $\frac{3}{5}$; г) $\frac{1}{25}$;

д) $\frac{11}{20}$; е) $\frac{9}{8}$; ж) $\frac{3}{8}$; з) $\frac{7}{40}$.

а) Чтобы привести дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 10, нужно найти число, на которое следует умножить и числитель, и знаменатель. Для этого разделим новый знаменатель на старый: $10 \div 2 = 5$. Этот множитель называется дополнительным. Умножим числитель и знаменатель дроби на 5:
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} $.
Ответ: $ \frac{5}{10} $

б) Для дроби $ \frac{1}{4} $ подходящим знаменателем будет 100, так как 10 на 4 без остатка не делится. Найдем дополнительный множитель: $100 \div 4 = 25$. Умножим числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} $.
Ответ: $ \frac{25}{100} $

в) Чтобы привести дробь $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 10, найдем дополнительный множитель: $10 \div 5 = 2$. Умножим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $.
Ответ: $ \frac{6}{10} $

г) Для дроби $ \frac{1}{25} $ подходящим знаменателем будет 100. Найдем дополнительный множитель: $100 \div 25 = 4$. Умножим числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100} $.
Ответ: $ \frac{4}{100} $

д) Для дроби $ \frac{11}{20} $ подходящим знаменателем будет 100. Найдем дополнительный множитель: $100 \div 20 = 5$. Умножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100} $.
Ответ: $ \frac{55}{100} $

е) Для дроби $ \frac{9}{8} $ знаменатели 10 и 100 не подходят, так как не делятся на 8 нацело. Подходит знаменатель 1000. Найдем дополнительный множитель: $1000 \div 8 = 125$. Умножим числитель и знаменатель на 125:
$ \frac{9}{8} = \frac{9 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{1125}{1000} $.
Ответ: $ \frac{1125}{1000} $

ж) Для дроби $ \frac{3}{8} $, как и в предыдущем примере, подходит знаменатель 1000. Дополнительный множитель равен 125 ($1000 \div 8 = 125$). Умножим числитель и знаменатель на 125:
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} $.
Ответ: $ \frac{375}{1000} $

з) Для дроби $ \frac{7}{40} $ знаменатель 100 не подходит ($100 \div 40 = 2.5$). Подходит знаменатель 1000. Найдем дополнительный множитель: $1000 \div 40 = 25$. Умножим числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{175}{1000} $.
Ответ: $ \frac{175}{1000} $

6.8. Разложите двумя способами в десятичную дробь:

а) $ \frac{1}{4} $;

б) $ \frac{4}{5} $;

в) $ \frac{24}{15} $;

г) $ \frac{15}{24} $.

а)

Способ 1: Приведение знаменателя к степени 10.
Чтобы представить дробь $ \frac{1}{4} $ в виде десятичной, нужно привести ее к знаменателю 10, 100, 1000 и т.д. Знаменатель 4 можно привести к 100, умножив его на 25. Чтобы значение дроби не изменилось, на 25 нужно умножить и числитель:
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0.25 $

Способ 2: Деление числителя на знаменатель.
Разделим числитель 1 на знаменатель 4 "уголком". Так как 1 меньше 4, в частном пишем 0 и ставим запятую. Дописываем к 1 ноль, получаем 10. Делим 10 на 4, получаем 2 в частном и 2 в остатке. К остатку 2 дописываем ноль, получаем 20. Делим 20 на 4, получаем 5 в частном и 0 в остатке. Деление окончено.
$ 1 \div 4 = 0.25 $

Ответ: 0.25

б)

Способ 1: Приведение знаменателя к степени 10.
Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{4}{5} $ на 2, чтобы в знаменателе получилось 10:
$ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0.8 $

Способ 2: Деление числителя на знаменатель.
Разделим 4 на 5 "уголком". Так как 4 меньше 5, в частном пишем 0 и ставим запятую. Дописываем к 4 ноль и делим 40 на 5, получаем 8 в частном и 0 в остатке.
$ 4 \div 5 = 0.8 $

Ответ: 0.8

в)

Сначала сократим дробь $ \frac{24}{15} $, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$ \frac{24}{15} = \frac{24 \div 3}{15 \div 3} = \frac{8}{5} $

Способ 1: Приведение знаменателя к степени 10.
Домножим числитель и знаменатель полученной дроби $ \frac{8}{5} $ на 2, чтобы в знаменателе получилось 10:
$ \frac{8}{5} = \frac{8 \times 2}{5 \times 2} = \frac{16}{10} = 1.6 $

Способ 2: Деление числителя на знаменатель.
Разделим 24 на 15 "уголком". Делим 24 на 15, получаем 1 в частном и остаток 9. Ставим запятую в частном. К остатку 9 дописываем ноль и делим 90 на 15, получаем 6 в частном и 0 в остатке.
$ 24 \div 15 = 1.6 $

Ответ: 1.6

г)

Сначала сократим дробь $ \frac{15}{24} $, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$ \frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8} $

Способ 1: Приведение знаменателя к степени 10.
Знаменатель 8 можно привести к 1000 ($ 8 \times 125 = 1000 $). Домножим на 125 числитель и знаменатель дроби $ \frac{5}{8} $:
$ \frac{5}{8} = \frac{5 \times 125}{8 \times 125} = \frac{625}{1000} = 0.625 $

Способ 2: Деление числителя на знаменатель.
Разделим 5 на 8 "уголком". Так как 5 меньше 8, пишем 0 с запятой. Далее делим 50 на 8 (получаем 6 в частном, остаток 2), затем 20 на 8 (получаем 2 в частном, остаток 4), и наконец 40 на 8 (получаем 5 в частном, остаток 0).
$ 5 \div 8 = 0.625 $

Ответ: 0.625

6.9. а) $\frac{7}{5}$;

б) $\frac{3}{16}$;

в) $\frac{48}{15}$;

г) $\frac{3}{2000}$;

д) $\frac{17}{40}$;

е) $\frac{28}{140}$;

ж) $\frac{3}{12}$;

з) $\frac{7}{56}$.

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, можно привести её к знаменателю, равному степени числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.), либо просто разделить числитель на знаменатель. Если дробь сократима, её следует сначала сократить.

а)

Приведем знаменатель 5 к 10, умножив числитель и знаменатель на 2.

$\frac{7}{5} = \frac{7 \times 2}{5 \times 2} = \frac{14}{10} = 1,4$

Ответ: 1,4

б)

Знаменатель 16 равен $2^4$. Чтобы получить в знаменателе степень 10, нужно домножить его на $5^4=625$.

$\frac{3}{16} = \frac{3 \times 625}{16 \times 625} = \frac{1875}{10000} = 0,1875$

Ответ: 0,1875

в)

Сначала сократим дробь на 3.

$\frac{48}{15} = \frac{48 \div 3}{15 \div 3} = \frac{16}{5}$

Теперь приведем полученную дробь к знаменателю 10.

$\frac{16}{5} = \frac{16 \times 2}{5 \times 2} = \frac{32}{10} = 3,2$

Ответ: 3,2

г)

Чтобы привести знаменатель 2000 к 10000, домножим числитель и знаменатель на 5.

$\frac{3}{2000} = \frac{3 \times 5}{2000 \times 5} = \frac{15}{10000} = 0,0015$

Ответ: 0,0015

д)

Знаменатель 40 равен $4 \times 10$. Чтобы получить в знаменателе 1000, домножим числитель и знаменатель на 25.

$\frac{17}{40} = \frac{17 \times 25}{40 \times 25} = \frac{425}{1000} = 0,425$

Ответ: 0,425

е)

Сначала сократим дробь на 28.

$\frac{28}{140} = \frac{28 \div 28}{140 \div 28} = \frac{1}{5}$

Теперь приведем полученную дробь к знаменателю 10.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0,2$

Ответ: 0,2

ж)

Сначала сократим дробь на 3.

$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$

Приведем полученную дробь к знаменателю 100.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$

Ответ: 0,25

з)

Сначала сократим дробь на 7.

$\frac{7}{56} = \frac{7 \div 7}{56 \div 7} = \frac{1}{8}$

Приведем полученную дробь к знаменателю 1000, домножив числитель и знаменатель на 125.

$\frac{1}{8} = \frac{1 \times 125}{8 \times 125} = \frac{125}{1000} = 0,125$

Ответ: 0,125

6.10. а) $\frac{6}{24}$;

б) $\frac{7}{4}$;

в) $\frac{3}{2}$;

г) $\frac{9}{5}$;

д) $\frac{3}{25}$;

е) $\frac{12}{75}$;

ж) $\frac{17}{200}$;

з) $\frac{123}{20}$.

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо числитель дроби разделить на ее знаменатель. Если знаменатель дроби можно представить в виде произведения простых множителей 2 и 5, то такую дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь. Для этого дробь приводят к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т.д.

а)

Сначала сократим дробь $\frac{6}{24}$. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 6.

$\frac{6}{24} = \frac{6 \div 6}{24 \div 6} = \frac{1}{4}$

Теперь приведем полученную дробь к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 25.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$

Ответ: 0,25.

б)

Чтобы представить дробь $\frac{7}{4}$ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 25.

$\frac{7}{4} = \frac{7 \times 25}{4 \times 25} = \frac{175}{100} = 1,75$

Ответ: 1,75.

в)

Приведем дробь $\frac{3}{2}$ к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 5.

$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = 1,5$

Ответ: 1,5.

г)

Приведем дробь $\frac{9}{5}$ к знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2.

$\frac{9}{5} = \frac{9 \times 2}{5 \times 2} = \frac{18}{10} = 1,8$

Ответ: 1,8.

д)

Приведем дробь $\frac{3}{25}$ к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 4.

$\frac{3}{25} = \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = \frac{12}{100} = 0,12$

Ответ: 0,12.

е)

Сначала сократим дробь $\frac{12}{75}$. Наибольший общий делитель для 12 и 75 равен 3.

$\frac{12}{75} = \frac{12 \div 3}{75 \div 3} = \frac{4}{25}$

Теперь приведем полученную дробь к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 4.

$\frac{4}{25} = \frac{4 \times 4}{25 \times 4} = \frac{16}{100} = 0,16$

Ответ: 0,16.

ж)

Приведем дробь $\frac{17}{200}$ к знаменателю 1000. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5.

$\frac{17}{200} = \frac{17 \times 5}{200 \times 5} = \frac{85}{1000} = 0,085$

Ответ: 0,085.

з)

Приведем дробь $\frac{123}{20}$ к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 5.

$\frac{123}{20} = \frac{123 \times 5}{20 \times 5} = \frac{615}{100} = 6,15$

Ответ: 6,15.