Номер 6.29, страница 230 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби - номер 6.29, страница 230.

Условие.

6.29. Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

а) $1.\overline{8}$;

б) $0.\overline{3}$;

в) $0.\overline{7}$;

г) $3.\overline{5}$;

д) $0.1\overline{2}$;

е) $1.12\overline{3}$;

ж) $7.5\overline{4}$;

з) $0.\overline{35}$;

и) $0.\overline{59}$;

к) $0.\overline{12}$;

л) $1.0\overline{12}$;

м) $8.7\overline{21}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) 1,(8)
Пусть $x = 1,(8) = 1,888...$. Умножим обе части на 10:
$10x = 18,888...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 18,888... - 1,888...$
$9x = 17$
$x = \frac{17}{9}$.
Ответ: $\frac{17}{9}$

б) 0,(3)
Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$. Умножим на 10:
$10x = 3,333...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) 0,(7)
Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$. Умножим на 10:
$10x = 7,777...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$x = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$

г) 3,(5)
Пусть $x = 3,(5) = 3,555...$. Умножим на 10:
$10x = 35,555...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 35,555... - 3,555...$
$9x = 32$
$x = \frac{32}{9}$.
Ответ: $\frac{32}{9}$

д) 0,1(2)
Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$.
Умножим на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:
$10x = 1,222...$
Умножим еще на 10, чтобы сдвинуть запятую на один периодический знак:
$100x = 12,222...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$
$90x = 11$
$x = \frac{11}{90}$.
Ответ: $\frac{11}{90}$

е) 1,12(3)
Пусть $x = 1,12(3) = 1,12333...$.
Умножим на 100, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:
$100x = 112,333...$
Умножим еще на 10:
$1000x = 1123,333...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$1000x - 100x = 1123,333... - 112,333...$
$900x = 1011$
$x = \frac{1011}{900} = \frac{1011 \div 3}{900 \div 3} = \frac{337}{300}$.
Ответ: $\frac{337}{300}$

ж) 7,5(4)
Пусть $x = 7,5(4) = 7,5444...$.
Умножим на 10:
$10x = 75,444...$
Умножим еще на 10:
$100x = 754,444...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$100x - 10x = 754,444... - 75,444...$
$90x = 679$
$x = \frac{679}{90}$.
Ответ: $\frac{679}{90}$

з) 0,(35)
Пусть $x = 0,(35) = 0,353535...$. Период состоит из двух цифр, поэтому умножим на 100:
$100x = 35,353535...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 35,353535... - 0,353535...$
$99x = 35$
$x = \frac{35}{99}$.
Ответ: $\frac{35}{99}$

и) 0,(59)
Пусть $x = 0,(59) = 0,595959...$. Период состоит из двух цифр, умножим на 100:
$100x = 59,595959...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 59,595959... - 0,595959...$
$99x = 59$
$x = \frac{59}{99}$.
Ответ: $\frac{59}{99}$

к) 0,(12)
Пусть $x = 0,(12) = 0,121212...$. Период состоит из двух цифр, умножим на 100:
$100x = 12,121212...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99} = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$.
Ответ: $\frac{4}{33}$

л) 1,0(12)
Пусть $x = 1,0(12) = 1,0121212...$.
Умножим на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:
$10x = 10,121212...$
Период состоит из двух цифр, умножим еще на 100:
$1000x = 1012,121212...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$1000x - 10x = 1012,121212... - 10,121212...$
$990x = 1002$
$x = \frac{1002}{990} = \frac{1002 \div 6}{990 \div 6} = \frac{167}{165}$.
Ответ: $\frac{167}{165}$

м) 8,7(21)
Пусть $x = 8,7(21) = 8,7212121...$.
Умножим на 10:
$10x = 87,212121...$
Период состоит из двух цифр, умножим еще на 100:
$1000x = 8721,212121...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$1000x - 10x = 8721,212121... - 87,212121...$
$990x = 8634$
$x = \frac{8634}{990} = \frac{8634 \div 6}{990 \div 6} = \frac{1439}{165}$.
Ответ: $\frac{1439}{165}$