Номер 6.24, страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.2. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.24, страница 226.

Условие.

ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ

6.24. a) Запишите три любые обыкновенные дроби со знаменателем 999 в виде периодических десятичных дробей.

б) Запишите три любые периодические десятичные дроби с периодом, состоящим из трёх цифр, в виде обыкновенных дробей.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь со знаменателем 999 в периодическую десятичную, необходимо числитель дроби записать в виде трехзначного числа (добавив при необходимости нули слева) и поместить его в период после запятой. Это правило следует из того, что знаменатель состоит из трех девяток, что определяет длину периода равной трем.

Рассмотрим три примера:

1. Возьмем дробь $\frac{123}{999}$. Числитель 123 уже является трехзначным числом. Следовательно, десятичная дробь будет $0.(123)$.

2. Возьмем дробь $\frac{45}{999}$. Числитель 45 — двузначное число. Дополним его нулем слева до трехзначного: 045. Следовательно, десятичная дробь будет $0.(045)$.

3. Возьмем дробь $\frac{7}{999}$. Числитель 7 — однозначное число. Дополним его двумя нулями слева: 007. Следовательно, десятичная дробь будет $0.(007)$.

Ответ: Например, $\frac{123}{999} = 0.(123)$; $\frac{45}{999} = 0.(045)$; $\frac{7}{999} = 0.(007)$.

б)

Чтобы преобразовать чистую периодическую десятичную дробь с периодом из трех цифр в обыкновенную, нужно число, составляющее период, записать в числитель, а в знаменатель записать число 999. После этого, если возможно, следует сократить полученную дробь.

Рассмотрим три примера:

1. Возьмем периодическую дробь $0.(257)$. Период — 257. Записываем в виде обыкновенной дроби: $0.(257) = \frac{257}{999}$. Эта дробь несократима, так как 257 является простым числом.

2. Возьмем периодическую дробь $0.(015)$. Период — 015, то есть 15. Записываем дробь и сокращаем ее: $0.(015) = \frac{15}{999}$. И числитель, и знаменатель делятся на 3.
$\frac{15 \div 3}{999 \div 3} = \frac{5}{333}$.

3. Возьмем периодическую дробь $0.(540)$. Период — 540. Записываем дробь и сокращаем ее: $0.(540) = \frac{540}{999}$. Сумма цифр и числителя ($5+4+0=9$), и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 9, значит, дробь сократима на 9.
$\frac{540 \div 9}{999 \div 9} = \frac{60}{111}$.
Теперь числитель и знаменатель можно сократить на 3.
$\frac{60 \div 3}{111 \div 3} = \frac{20}{37}$.

Ответ: Например, $0.(257) = \frac{257}{999}$; $0.(015) = \frac{5}{333}$; $0.(540) = \frac{20}{37}$.