Номер 6.35, страница 231 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.4. Непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.35, страница 231.

Условие.

6.35. Каким числом (рациональным или иррациональным) является число:

а) $0,275$;

б) $0,(2)$;

в) $1,323232...$;

г) $1,15(45)$;

д) $3,10110111011110...$;

е) $0,12345678...?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для определения, является ли число рациональным или иррациональным, нужно проанализировать его десятичное представление. Рациональные числа имеют конечное или бесконечное периодическое десятичное представление. Иррациональные числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление.

а) Число 0,275 является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным степени 10. В данном случае:

$0,275 = \frac{275}{1000}$

Эту дробь можно сократить:

$\frac{275}{1000} = \frac{11 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{11}{40}$

Поскольку число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

б) Число 0,(2) является бесконечной периодической десятичной дробью, где цифра 2 повторяется бесконечно ($0,222...$). Любая бесконечная периодическая дробь является рациональным числом. Преобразуем ее в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,(2) = 0,222...$

Умножим обе части на 10:

$10x = 2,222...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 2,222... - 0,222...$

$9x = 2$

$x = \frac{2}{9}$

Поскольку число равно дроби $\frac{2}{9}$, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

в) Число 1,323232... является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом 32. Его можно записать как $1,(32)$. Преобразуем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 1,323232...$

Умножим обе части на 100, чтобы сдвинуть дробную часть на один период:

$100x = 132,323232...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 132,323232... - 1,323232...$

$99x = 131$

$x = \frac{131}{99}$

Поскольку число можно представить в виде дроби, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

г) Число 1,15(45) является смешанной бесконечной периодической десятичной дробью ($1,154545...$). Такие числа также являются рациональными. Преобразуем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 1,154545...$

Умножим на 100, чтобы часть после запятой стала чисто периодической:

$100x = 115,454545...$

Умножим еще на 100, чтобы сдвинуть на один период:

$10000x = 11545,454545...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10000x - 100x = 11545,454545... - 115,454545...$

$9900x = 11430$

$x = \frac{11430}{9900} = \frac{1143}{990} = \frac{127}{110}$

Поскольку число можно представить в виде дроби, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

д) Данное число 3,10110111011110... является бесконечной десятичной дробью. Проанализируем последовательность цифр после запятой: 10, 110, 1110, 11110, и так далее. Количество единиц между нулями каждый раз увеличивается на одну. Это означает, что в последовательности цифр нет повторяющегося блока (периода). Бесконечная непериодическая десятичная дробь по определению является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

е) Предполагается, что в числе 0,12345678... последовательность цифр после запятой продолжается по предсказуемому закону: это последовательно выписанные натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...). Получается число $0,123456789101112...$

Эта десятичная дробь является бесконечной. Чтобы она была рациональной, она должна быть периодической. Однако в этой последовательности нет периода. Например, в ней встречаются сколь угодно длинные последовательности нулей (в десятичной записи чисел $10, 100, 1000, ...$) и сколь угодно длинные последовательности любых других цифр. Это делает невозможным существование конечного блока цифр, который бы повторялся. Следовательно, эта дробь непериодическая.

Поскольку число является бесконечной непериодической десятичной дробью, оно иррационально.

Ответ: иррациональное число.